ความซับซ้อนของปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนแปลง

กำหนดกลุ่มพีชคณิตบน[ n ] = { 1 , ⋯ , n }และสองเวกเตอร์U , V ∈ Γ nที่Γเป็นตัวอักษร จำกัด ซึ่งไม่เกี่ยวข้องค่อนข้างที่นี่คำถามคือว่ามีอยู่บางเธ∈ Gเช่นนั้นπ ( u ) = vโดยที่π ( u )หมายถึงการใช้การเปลี่ยนรูปแบบπกับคุณในวิธีที่คาดหวัง$G$$[n]=\{1, \cdots, n\}$$u,v\in \Gamma^n$$\Gamma$$\pi\in G$$\pi(u)=v$$\pi(u)$$\pi$$u$

สมมติเพิ่มเติมว่าได้รับเป็นอินพุตโดยชุด จำกัดSของเครื่องกำเนิดไฟฟ้า ความซับซ้อนของปัญหาคืออะไร โดยเฉพาะใน NP$G$$S$

ให้โดยที่S nคือกลุ่มการเปลี่ยนแปลงในองค์ประกอบn การทดสอบว่ากรัม∈ ⟨ กรัม1 , ... , กรัมk ⟩สามารถทำได้ในNC ⊆ Pโดย [1] Let U , V ∈ แกมมาnแล้วก็เดากรัม∈ S nทดสอบในเวลาพหุนามว่ากรัม∈ $g_1, \ldots, g_k, g \in S_n$$S_n$$n$$g \in \langle g_1, \ldots, g_k \rangle$$\text{NC} \subseteq \text{P}$$u, v \in \Gamma^n$$g \in S_n$$g \in G$และไม่ว่า V สิ่งนี้ให้ค่าขอบเขตNPบน$g(u) = v$$\text{NP}$

เพื่อเติมเต็มคำตอบนี้:

การเป็นสมาชิกของกลุ่มแสดงให้เห็นว่าเป็นของ (Furst และคณะ 1980) จากนั้นไปที่ NC 3สำหรับกลุ่มที่นับถือศาสนาคริสต์ (McKenzie & Cook 1987; Mulmuley 1987) ถึงNCสำหรับกลุ่มคนไร้ศีลอด(Luks & McKenzie 1988) กลุ่มที่แก้ไขได้ (Luks & McKenzie 1988) กลุ่มที่ไม่มีองค์ประกอบองค์ประกอบล้อมรอบที่ไม่ จำกัด (Luks 1986) และในที่สุดทุกกลุ่ม (Babai et al. 1987) การจำแนกความซับซ้อนที่คล้ายกันของการเป็นสมาชิก mon aperiodic นั้นเป็นไปตาม (Beaudry 1988; Beaudry และคณะ 1992; Kozen 1977) ซึ่งแสดงให้เห็นว่าการเป็นสมาชิกของความหลากหลาย mon aperiodic คงที่นั้นอยู่ในAC 0 , P , NPหรือ$\text{P}$$\text{NC}^3$$\text{NC}$$\text{AC}^0$$\text{P}$$\text{NP}$$\text{PSPACE}$ (และสมบูรณ์สำหรับชั้นเรียนนั้นมีข้อยกเว้นน้อยมาก)

[1] L. Babai, EM Luks & A. Seress กลุ่มการเปลี่ยนแปลงใน NC พร การประชุมสัมมนา ACM ประจำปีเกี่ยวกับทฤษฎีการคำนวณได้ pp. 409-420 1987$19^\text{th}$

$\Gamma$$G$$\mathsf{NP} \cap \mathsf{coAM}$

$N = \binom{n}{2}$$G \leq S_N$$S_n$

$\mathsf{coAM}$$G$$u$$v$$u$$v$