ความซับซ้อนของปัญหาจุดตัดโคเซ็ต

ให้กลุ่มสมมาตร$S_n$และกลุ่มย่อยสองกลุ่มและ ,ถืออยู่หรือไม่?$G, H\leq S_n$$\pi\in S_n$$G\pi\cap H=\emptyset$

เท่าที่ฉันรู้ปัญหานี้เป็นที่รู้จักกันว่าเป็นปัญหาการตัดกันของเอกภพ ฉันสงสัยว่าอะไรคือความซับซ้อน? โดยเฉพาะปัญหานี้เป็นที่รู้กันว่าอยู่ในทีมหรือไม่

ยิ่งไปกว่านั้นถ้าถูก จำกัด ให้เป็น abelian ความซับซ้อนจะเกิดอะไรขึ้น?$H$

เวลาเอ็กซ์โปเนนเชียลพอสมควรและ (ตรงข้ามกับปัญหาตามที่ระบุไว้: การแยก Coset โดยทั่วไปแล้วจะถือว่ามีคำตอบว่า "ใช่" ถ้าจักรวาลตัดกันตรงข้ามกับที่ระบุไว้ใน OQ)$\mathsf{coAM}$

Luks 1999 ( สำเนาของผู้เขียนอิสระ ) ให้อัลกอริธึมแบบในขณะที่ Babai (ดูวิทยานิพนธ์ปริญญาเอกของเขาปี 1983 รวมถึงBabai-Kantor-Luks FOCS 1983และวารสารรุ่นที่ปรากฏ) ให้2 ˜ O ( $2^{O(n)}$อัลกอริทึมเวลาซึ่งยังคงเป็นที่รู้จักกันดีในปัจจุบัน ตั้งแต่กราฟมอร์ฟลดกำลังสองกลางสี่แยก coset ปรับปรุงนี้เพื่อ2 ~ O (n 1 / 4 - ε )จะปรับปรุงสถานะของศิลปะกราฟมอร์ฟ$2^{\tilde{O}(\sqrt{n})}$$2^{\tilde{O}(n^{1/4-\epsilon})}$

พิจารณาส่วนประกอบคือที่ที่คุณจะถามเพื่อทดสอบว่า ∅ ขณะที่ผมชี้ให้เห็นในคำตอบนี้ , การทดสอบว่ากรัม∈ ⟨ กรัม1 , ... , กรัมk ⟩อยู่ในNC ⊆ P [1] ดังนั้นคุณสามารถคาดเดากรัม, เอช∈ S nและทดสอบในเวลาพหุนามว่ากรัม∈ G , H ∈ Hและกรัมπ =ชั่วโมง นี่ให้ผล$G \pi \cap H \not= \emptyset$$g \in \langle g_1, \ldots, g_k\rangle$$\text{NC} \subseteq \text{P}$$g, h \in S_n$$g \in G$$h \in H$$g \pi = h$$\text{NP}$ขอบเขตบนและดังนั้นปัญหาของคุณอยู่ในcoNP$\text{coNP}$

แก้ไข : มันแสดงใน [2, Thm 15] ว่าปัญหา coset สี่แยกอยู่ใน COAM ดังที่ระบุไว้ที่นี่หน้า 7 ปัญหาการแยกโคเซ็ตจึงไม่สมบูรณ์ NP เว้นแต่ว่าลำดับเวลาพหุนามยุบ ยิ่งกว่านั้นมีการบันทึกไว้ที่นี่หน้า 6, ว่า Luks แสดงให้เห็นว่าปัญหาอยู่ในPเมื่อHสามารถแก้ไขได้ซึ่งรวมถึงกรณีของAbelian $\text{NP} \cap \text{coAM}$$\text{P}$$H$$H$

[1]  L. Babai, EM Luks & A. Seress กลุ่มการเปลี่ยนแปลงในอร์ทแคโรไลนา พร การประชุมวิชาการ ACM ประจำปีครั้งที่ 19 เรื่องทฤษฎีการคำนวณหน้า 409-420, 1987

[2] L. Babai, S. Moran เกมอาร์เธอร์-เมอร์ลิน: การสุ่มระบบป้องกันและลำดับชั้นของการเรียนซับซ้อน วารสารวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์และระบบ 36 ฉบับที่ 2 หน้า 254-276, 1988