เมื่อ polynomial GI หมายถึง GI สีพหุนาม (edge)

Crossposted จากMO

(edge) isomorphism กราฟสีคือ GI ซึ่งเก็บรักษาสี (ของ edge ถ้ามันเป็น edge edge)

มีการลดหลายครั้งโดยใช้การแปลง / แกดเจ็ตของ (edge) coloured GI เป็น GI สำหรับ GI ที่มีสีขอบสิ่งที่ง่ายที่สุดคือการแทนที่ขอบสีด้วย Gadget การเก็บรักษา GI ที่เข้ารหัสสี สำหรับ GI สีที่มีจุดสุดยอดให้ติดแกดเจ็ตบางตัวกับจุดสุดยอด

GI สมมติว่าเป็นพหุนามสำหรับบางระดับกราฟC$C$

Q1 โพลิโนเมียลชนิดใดที่ GI หมายถึงพหุนาม (ขอบ) สี GI?$C$

การใช้ลดลงด้วย Gadget อาจทำให้กราฟไม่ได้เป็นสมาชิกของC$C$

ในทางตรงกันข้ามแกดเจ็ต / การเปลี่ยนแปลงบางอย่างอาจทำให้สมาชิกกราฟของคลาสโพลิโนเมียล GI อื่น ๆ

ตัวอย่างของการลดขอบสี '$G \to G'$

ทำให้คณะของ ) สีขอบในE ( G )กับ1 และขอบที่ไม่ใช่กับ0 มันเป็นฟังก์ชั่นสีที่เก็บรักษาGและการกู้คืนGจากG 'ใช้เวลาเพียงแค่ขอบสี1 G ′เป็นกลุ่ม, กราฟ, กราฟการเปลี่ยนแปลงและเกือบจะแน่ใจในชั้นเรียนที่ดีอื่น ๆ อีกมากมาย แบ่งขอบจำนวนคี่แปลก (แตกต่างสำหรับ0 , 1ลบสีและทำให้ กราฟสองฝ่ายที่สมบูรณ์แบบG ′ , รักษา isomorphism)$V(G)$$E(G)$$1$$0$$G$$G$$G'$$1$$G'$$0,1$$G'$

บางทีอีกวิธีหนึ่งคือการใช้กราฟเส้นของและเพิ่มจี้ (สากล) จุดเชื่อมต่อไปยังจุดที่สอดคล้องกับE ( G ' )$G'$$E(G')$

Q2 มีอุปกรณ์ / การเปลี่ยนแปลงที่ดีสำหรับสิ่งปลูกสร้างที่คล้ายกันหรือไม่?

คิดเกี่ยวกับ planarizing โดยเลือกภาพวาดสากลของกลุ่มและแทนที่การข้ามขอบโดยโปรแกรมเบ็ดเตล็ดบนภาพถ่ายที่มีสีต่างกันเช่นC 4 , C 6สำหรับสีที่เท่ากันและอย่างอื่นสำหรับสีที่ต่างกัน ไม่ทราบว่านี่จะรักษามอร์ฟิซึ่มส์หรือไม่$G'$$C_4,C_6$

อีกวิธีที่เป็นไปได้อาจจะ automorphism รักษาสีหรือแบ่งขอบของทุก ใช้ 3 สี0 , 1 , 2สำหรับจุดV ( G ) , E ( G ) , E ( ¯ G ) และพยายามที่จะรู้จักตัวเองกราฟเสริมโดย automorphism แลกเปลี่ยนE ( G )และE ( ¯ G )$K_n$${0,1,2}$$V(G),E(G),E(\overline{G})$$E(G)$$E(\overline{G})$

Q3 เป็นกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของแผนกย่อยของ สามารถคำนวณได้หรือไม่?$K_n$

คำสั่งซื้อหลังจากคำศัพท์เริ่มต้นไม่กี่คำคือ ซึ่งเป็นA052565$12 , 24 , 120 , 720 , 5040 , 40320 , 362880$

Dima แนะนำว่าสิ่งนี้อาจเป็นเรื่องง่ายสำหรับมีขนาดใหญ่พอและเงื่อนไขเริ่มต้นเป็นข้อยกเว้น$n$

Q4 ด้วยการแบ่งจุดยอดสีของสำหรับn > 4และกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของมันซึ่งจุดยอดสูงเป็นสี0บางองศา2 เป็น1และอีกอันคือ2ความซับซ้อนในการหาออโตมอร์ฟิซึมแลกเปลี่ยน1และ2คืออะไร?$K_n$$n > 4$$0$$2$$1$$2$$1$$2$

เพิ่มกระดาษในการจดจำกราฟ Cayley p 86 การอ้างสิทธิ์:

เมื่อให้คลาส C ของกราฟ Cayley และให้กราฟสีขอบ G ของ n จุดยอดและขอบ m เราสนใจในปัญหาของการตรวจสอบว่ามีมอร์ฟิซึ่มอยู่หรือไม่ colors รักษาสีดังกล่าวว่า G คือ isomorphic โดยφกับกราฟ ใน C สีโดยองค์ประกอบของชุดการสร้างของมัน ในบทความนี้เราให้อัลกอริทึม O (m log n) - เวลาเพื่อตรวจสอบว่า G เป็นสี - isomorphic กับกราฟ Cayley

สิ่งนี้ปรากฏใกล้กับคำถามมีความเกี่ยวข้องหรือไม่

Q2:ตัวอย่างที่ดีคือแกดเจ็ตการทำป้ายกำกับกราฟที่ใช้ในการพิสูจน์ว่า:

ทฤษฎีบท : ภาพถ่าย 3 เชื่อมต่อสี GI ระนาบ GI 3 ที่เกี่ยวโยงกัน$\leq_T^L$

ดู Thomas Thierauf, Fabian Wagner: ปัญหา Isomorphism สำหรับกราฟที่เชื่อมต่อระนาบ 3 อยู่ใน Logspace ที่ไม่คลุมเครือ ทฤษฎีการคำนวณ Syst 47 (3): 655-673 (2010)

"แกดเจ็ตการทำป้ายกำกับ" ที่ใช้รักษาข้อ จำกัด การเชื่อมต่อ 3 และข้อจำกัดความน่าเชื่อถือ

คำตอบบางส่วนไม่เข้าใจทฤษฎีกลุ่มเพียงพอ แต่มีรายงานสองฉบับที่ให้ผลลัพธ์บางส่วน

GI สำหรับ circulants คือพหุนาม ขอบสี GI สำหรับ circulants เสร็จสมบูรณ์ GI ผ่านทางลดลงอย่างง่าย '$G \to G'$

สร้างกลุ่มจากและระบายสีขอบe ∈ E ( G ′ ) ด้วย$V(G)$$e \in E(G')$$1$ iff และ0 เป็นอย่างอื่น การกู้คืนGจากG 'ใช้เวลาเพียงแค่ขอบสี1$e \in E(G)$$0$$G$$G'$$1$

โดยที่ isomorphism รักษาสีขอบไว้$G \cong H \iff G' \cong H'$

$G'$

บทความนี้อ้างว่า:

$O(n^2 (\log n)^6 )$$n$

คำจำกัดความที่แน่นอนของ "สีขอบ" ไม่ชัดเจนสำหรับฉัน

Paper พิสูจน์ circulant GI คือพหุนามในเชิงอรรถในการอ้างสิทธิ์ p.1:

โดยกราฟเราหมายถึงกราฟทั่วไปกราฟหรือกราฟสีขอบ

ถามเกี่ยวกับ MOว่าข้อ จำกัด ของสีคืออะไร