เป็นตัวแทนของฟังก์ชั่นบูลีนโดยพหุนาม

10

หากว่าเรามีฟังก์ชั่นบูลจาก }เป็นที่ชัดเจนว่าจริงหลายตัวแปรพหุนามเช่นว่าในสามารถ multilinear อะไรคือคลาสที่น่าสนใจของฟังก์ชันบูลีนซึ่งระดับน้อยที่สุด $f:\{0,1\}^n\rightarrow\{0,1\}$ $p(x)$ $f(x)=p(x)$ $x\in\{0,1\}^n$ $p(x)$ เป็นที่รู้จักกัน? เรามีตัวอย่างที่เป็นรูปธรรมหรือไม่

boolean-functions

— T ....
แหล่งที่มา

2

ที่เกี่ยวข้อง: cstheory.stackexchange.com/questions/25291/ …

— Andrej Bauer

1

หากคุณไม่คุ้นเคยกับมันงานที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดคืองานมากมายเกี่ยวกับ "degree degree" ซึ่งถามว่าอะไรคือระดับพหุนามต่ำที่สุดที่ "approximates"

? ฉันไม่รู้พอที่จะให้การอ้างอิงเฉพาะ แต่คนอื่นจะ

f

$f$

— usul

10

$n$

\sum_{x \in {0, 1}^{n}} (- 1)^{\sum_{i} x_{i}} f (x) \neq 0

$\sum_{x \in \{0,1\}^n} (-1)^{\sum_i x_i}f(x) \neq 0$

f

$f$

x_{1} \dots x_{n}

$x_1\cdots x_n$

(- 1)^{x_{i}} = \frac{1 - x_{i}}{2}

$(-1)^{x_i} = \frac{1-x_i}{2}$

f

$f$

\frac{1 - x_{i}}{2}

$\frac{1-x_i}{2}$

\prod_{i} \frac{1 - x_{i}}{2}

$\prod_i \frac{1-x_i}{2}$

\prod_{i} x_{i}

$\prod_i x_i$

$d$ $d2^d$ $d = 1$

— Yuval Filmus
แหล่งที่มา

นี่คือจุดที่มีประโยชน์ การอ้างอิงที่ดีสำหรับหัวข้อนี้คืออะไร

— ....

3

คุณสามารถดูหนังสือเล่มล่าสุดของ Ryan O'Donnell, ฟังก์ชั่น Analysis of Boolean

— Yuval Filmus

0

คลาสของฟังก์ชันบูลีนที่มีงานนำเสนอแบบหลายชั้นที่ไม่ซ้ำใครประกอบด้วย

ฟังก์ชัน Pseudo-Boolean เหนือ reals (ทฤษฎีบท 1.34 [1])
$[0,1]^n$

พื้นหลัง

"ฟังก์ชั่นบูลีนทุกตัวสามารถแสดงด้วยรูปแบบปกติที่ไม่ต่อเนื่องกันและโดยรูปแบบปกติที่ผันแปร" (ทฤษฎีบท 1.4 (p.16 [1])

$\vee (\wedge {x} \wedge \bar{x} )$ $\vee (\prod x \prod (1-x))$ $\sum c \prod x$ $F$ $\mathcal B^n$ $\mathcal P(N)$ $\oplus$ $f(x_1,\ldots,x_n)=\oplus_{A\in\mathcal P(N)} c(A)\prod_{i\in A} x_i$

และแอปพลิเคชันของพวกเขามี

$[0,1]^n$
$[0,1]^n$
(วงจร) ความซับซ้อนของการคำนวณพหุนามแบบหลายเชิงเส้นฟังก์ชันบูลีน
(การวิเคราะห์ฟูริเยร์) ขอบเขตที่ต่ำกว่าสำหรับการคำนวณพหุนามฟังก์ชันบูลีน

อ้างอิง

[1] ทฤษฎีฟังก์ชันบูลีน, อัลกอริทึมและแอปพลิเคชัน (Yves Crama, Peter L. Hammer, 2011)

— hhh
แหล่งที่มา

1

ใช่แน่นอน ทีนี้ตอบคำถามอย่างไร?

— Emil Jeřábek