Parametricity เชิงสัมพันธ์อยู่ที่ไหนในโมเดลไฮเปอร์ดูครีนหรือโทโปส

แต่เดิม Reynolds เสนอความหมายเชิงสัมพันธ์สำหรับแคลคูลัสแลมบ์ดา polymorphic ลำดับที่สอง [1] อย่างไรก็ตามภายหลังเขาได้แสดงให้เห็นว่าวิธีนี้ไม่สอดคล้องกับทฤษฎีเซตแบบดั้งเดิม Pitts อธิบายกรอบของโมเดล hyperdoctrine และโมเดล topos [3] ซึ่งสอดคล้องกับตรรกะเชิงสร้างสรรค์

สันนิษฐานว่าได้มีการพัฒนา hyperdoctrine เชิงสัมพันธ์และโมเดล topos ฉันจะอ่านเกี่ยวกับพวกเขาได้ที่ไหน

• [1] ประเภท, นามธรรมและตัวแปรหลากหลาย
• [2] ความแตกต่างไม่ได้ตั้งทฤษฎี
• [3] ความแตกต่างคือตั้งทฤษฎี, สร้างสรรค์

• ด้วยเหตุผลทางเทคนิคยังไม่มีการทำงานกับแบบจำลองพารามิเตอร์ topos มากนัก ตรรกะภายในของ topos เป็นรูปแบบของทฤษฎีเซตและการจัดทำดัชนีแบบ Impredicative และความจริงของ powerset นั้นเข้ากันไม่ได้ ดูประเภทพลังงานที่ไม่สำคัญของ Andy Pitts ไม่สามารถเป็นประเภทย่อยของ Polymorphic ได้ :

  บทความนี้สร้างความสัมพันธ์ที่ จำกัด ใหม่ระหว่างแคลคูลัสแลมบ์ดา polymorphic และชนิดของทฤษฎีประเภทลำดับสูงกว่าซึ่งเป็นตัวเป็นตนในตรรกะของ toposes มันแสดงให้เห็นว่าใด ๆ ที่ฝังอยู่ใน topos ของคาร์ทีเซียนปิดหมวดหมู่ (ปิด) ประเภทของรูปแบบของ polymorphic แลมบ์ดาแคลคูลัสต้องวางประเภท polymorphic ห่างจาก powertypes, P (X) ของ topos ในความหมาย P (X) นั้นเป็นชนิดย่อยของ polymorphic type เฉพาะในกรณีที่ X ว่างเปล่า (ดังนั้น P (X) จึงเป็นเทอร์มินัล) ในฐานะที่เป็นข้อพิสูจน์เราได้รับการเสริมสร้างผลของเรย์โนลด์ในการไม่มีตัวตนของแบบจำลองทฤษฎีเซตของพหุสัณฐาน

  แม้ว่าคุณจะสามารถตีความเอกภพของ F ในรูปแบบของตรรกะ topos ได้ แต่คุณก็ไม่สามารถปล่อยให้มันโต้ตอบในรูปแบบที่น่าสนใจกับเอกภพในฉากต่างๆได้ อย่างไรก็ตามทั้งหมดจะไม่สูญหายไป!

  1. ความจริงที่ว่าจักรวาล (ไม่ใช่พารามิเตอร์) ของเซตการตีความ System F หมายความว่าคุณสามารถให้โมเดลพารามิเตอร์ของ System F ในตรรกะภายในของ topos ได้ง่ายกว่าที่คุณสามารถทำได้ในทฤษฎีเซตสามัญ โดยพื้นฐานแล้วคุณไม่ต้องยุ่งกับ PER เพราะคุณสามารถสันนิษฐานได้ว่าคุณมีคอลเลคชั่นชุดที่เหมาะสม Bob Atkey ใช้ความคิดนี้ในParametricity เชิงสัมพันธ์สำหรับบทความระดับสูงของเขาที่ซึ่งเขาหาค่าพารามิเตอร์สำหรับโดยการทำงานในแคลคูลัสที่ไม่ต้องคิดอะไร$F_\omega$

  2. ปฏิกิริยาต่อผลลัพธ์ของพิตส์ก็คือการไม่ทำงานกับทฤษฎีเซต แต่เป็นทฤษฎีแบบพึ่งพา เนื่องจากไม่มีประเภทของพลังงานในทฤษฎีชนิดพึ่งพาคุณไม่ต้องกังวลเกี่ยวกับการทำงานร่วมกันของประเภทพลังงานและความหลากหลาย ดู Atkey, Ghani และโยฮันน์เป็นแบบจำลองเชิงพารามิเตอร์ของทฤษฎีประเภทขึ้นอยู่กับ

• อย่างไรก็ตามไม่มีอุปสรรคดังกล่าวในการสร้างแบบจำลองไฮเปอร์โดครีน - ไอชซึ่งเงื่อนไขของระบบ F เป็นวัตถุของตรรกะ งานวิจัยตามบรรทัดเหล่านี้อาจจะถูกริเริ่มโดย Abadi และ Plotkin ในกระดาษน้ำเชื้อของพวกเขาตรรกะสำหรับ Parametric Polymorphism Lars Birkedal และผู้ทำงานร่วมกันของเขาทำงานอย่างหนักในการจัดทำโมเดลแบบจำลองสำหรับเรื่องนี้และ logics ที่คล้ายกัน --- ดูโดยเฉพาะอย่างยิ่ง Birkedal, Møgelbergและแบบจำลองเชิงทฤษฎีหมวดหมู่ของ Petersen ของ Linear Abadi และ Plotkin Logicซึ่งให้เหตุผลสำหรับเหตุผลเกี่ยวกับระบบเชิงเส้น F รวมทั้งหลักฐานที่แสดงว่าเป็นเสียงและสมบูรณ์พร้อมด้วยความเคารพต่อโมเดลหมวดหมู่บางประเภท