การคำนวณความเท่าเทียมกันของการเรียงสับเปลี่ยนแบบสตรีมมิ่ง

ฉันกำลังมองหาอัลกอริทึมแบบ one-pass ซึ่งคำนวณพาริตี้ของการเปลี่ยนแปลง ฉันคิดว่าการเปลี่ยนแปลงการป้อนข้อมูลจะได้รับจากกระแส ]ผลลัพธ์ควรเป็นความเท่าเทียมกันของการเปลี่ยนแปลง คำถามที่ฉันสนใจว่าควรใช้อัลกอริธึมกำหนดค่าความจำเท่าใด มีอัลกอริทึมแบบสุ่มสำหรับปัญหาหรือไม่ $\pi[1], \pi[2], \cdots, \pi[n]$

ฉันรู้ว่าการคำนวณจำนวนผู้รุกรานในหนึ่งรอบใช้หน่วยความจำขอบเขตบนสามารถหาได้ง่ายด้วย BST ใด ๆ ขอบเขตล่างถูกแสดงไว้ที่นี่: http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/versions?doi=10.1.1.1.112.5622 $\Theta(n)$

อนิจจาหลักฐานของขอบเขตล่างในกระดาษไม่สามารถขยายไปยังกรณีพาริตี้ (หรือไม่ชัดเจนดังนั้นสำหรับฉัน)

นอกจากนี้ฉันรู้ว่าการคำนวณความเท่าเทียมกันในพื้นที่เล็ก ๆ ด้วยการเข้าถึงการเปลี่ยนแปลงแบบสุ่มสามารถทำได้ในเวลาและหน่วยความจำโดยอัลกอริทึมที่กำหนดหรือในเวลาและหน่วยความจำโดยการสุ่ม ดูhttp://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.29.2256 $O(n \log n)$ $O(\log^2 n)$ $O(n \log n)$ $O(\log n)$

แนวคิดหลักคือความเท่าเทียมกันของการเปลี่ยนแปลงสามารถคำนวณได้โดยสูตรโดยที่คือจำนวนรอบและคือขนาด ผู้เขียนทำให้วงจรการสลายตัวของการเปลี่ยนแปลง ดังนั้นเราสามารถคำนวณจำนวนรอบได้อย่างง่ายดาย $sgn(\pi) = (-1)^{n - c}$ $c$ $n$

ไม่มีใครรู้ว่าอัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพหรือขอบเขตที่ต่ำกว่าในหน่วยความจำสำหรับการคำนวณความเท่าเทียมกันในรูปแบบการสตรีมมิ่ง? อัลกอริธึมแบบสุ่มดีกว่าเหรียญสุ่มก็น่าสนใจเช่นกัน

ds.algorithms permutations streaming-algorithms

— Vsevolod Oparin
แหล่งที่มา

มันน่าสนใจ คุณสามารถวาดหลักฐานหรือตั้งชื่อปัญหาซึ่งคุณลดความเท่าเทียมกันได้หรือไม่?

— Vsevolod Oparin

@ András: อัลกอริทึมพื้นที่ O (n) ใช้งานไม่ได้ง่ายๆโดยการติดตามว่ามีองค์ประกอบใดบ้างที่ได้เห็นแล้ว (พูดใน bitvector) จากนั้นสำหรับแต่ละองค์ประกอบใหม่ x เพิ่มความเท่าเทียมกันของ # ยัง องค์ประกอบที่มองเห็นมีขนาดเล็กกว่า x

— László Kozma

@laszlo ขอบเขตบน

ตอนนี้ดูเหมือนจะน่าเชื่อถือสำหรับฉันมากกว่าข้อโต้แย้งของฉันสำหรับขอบเขตล่างที่ใหญ่กว่า

O (n)

$O(n)$

— András Salamon

หนึ่งผลลัพธ์เชิงลบสำหรับขอบเขตล่าง ผู้เขียนกระดาษแรกให้การเปลี่ยนแปลง

ขึ้นอยู่กับสองชุดและB

พวกเขาใช้มันเพื่อคำนวณว่า

และ

ตัดกันหรือไม่ การคำนวณความเท่าเทียมกันของการเปลี่ยนแปลงใช้เวลาเพียง 3 บิตในการสื่อสารทางเดียว สามารถหาได้ง่ายโดยคำนวณอันดับของเมทริกซ์ที่เกี่ยวข้อง

π = \bar{A_{0}} B_{1} A_{0} \bar{B_{1}}

$\pi = \bar{A_0}B_1A_0\bar{B_1}$

A

$A$

B

$B$

A

$A$

B

$B$

— Vsevolod Oparin

ที่เกี่ยวข้อง: stackoverflow.com/questions/20702782/…

— domotorp

ฉันอยากจะขอไม่ให้ทุกคนโหวตเพราะนี่ไม่ใช่คำตอบ แต่เป็นการแสดงความคิดเห็นเพิ่มเติมซึ่งฉันอยากจะโต้แย้งว่าทำไมคำถามนี้ไม่ได้รับคำตอบใด ๆ ประเด็นหลักของฉันคือความซับซ้อนของการสื่อสารที่ต่ำกว่าขอบเขตจะไม่ทำงาน จากนี้ฉันหมายความว่าไม่ว่าเราจะตัดอินพุตเป็นสองส่วนและมอบให้ผู้เล่นสองคนคือ A และ B, A สามารถถ่ายโอนบิตไปยัง B ซึ่งเขาสามารถคำนวณความเท่าเทียมกันของการเปลี่ยนแปลง (สิ่งนี้ติดตามได้ง่ายๆโดยพิจารณาจากการรุกราน)

หลักฐานที่ใช้ขอบเขตอื่นนั้นยาก ดูความคิดเห็นนี้ได้ที่นี่โดย Noam Nisan (สำหรับเวอร์ชันที่ไม่ได้กำหนดไว้): ขอบเขตบนขนาดของ NFA ที่เล็กที่สุดสำหรับ L_k-different ,

คำถามที่เกี่ยวข้องนี้ด้วยตัวเองตอบโดยแฮร์มันน์ Gruber ซึ่งแสดงให้เห็นว่าความซับซ้อนของการสื่อสารขอบเขตล่างได้ไกลมากจากความจริง (อีกครั้งในรุ่นที่ไม่ใช่กำหนด) ขอบเขตล่างสำหรับ NFA ยอมรับ 3 ภาษาตัวอักษร

สิ่งที่เกี่ยวข้องกับการตัดสินใจว่าการเปลี่ยนรูปเป็นรอบเดียวดูเหมือนจะยากหรือไม่ดูบทความเรื่อง FOCS ของ Ran Raz และ Boris Spieker: http://www.computer.org/csdl/proceedings/focs/1993/4370/00 /0366870-abs.html

ดังนั้นฉันจึงสนใจที่จะเรียนรู้คำตอบสำหรับคำถามนี้

— domotorp
แหล่งที่มา

เมื่อคุณพูดว่า "ไม่ว่าเราจะตัดอินพุตเป็นสองส่วนหรือไม่" อาร์กิวเมนต์ของคุณออกกฎการลดลงเมื่อการเรียงสับเปลี่ยนแบ่งออกเป็นสองส่วนมากกว่าหรือไม่ ตัวอย่างเช่นในกระดาษที่เชื่อมโยงเกี่ยวกับการนับจำนวนผู้รุกรานมีการลดลงจากความไม่ต่อเนื่องของชุดที่ Alice และ Bob มีอินพุต

และพวกเขาฟอร์มพีชคณิต

และ

ดัชนี 0 หรือ 1 หมายถึงการแปลง

A, B \subseteq [n]

$A, B \subseteq [n]$

\bar{A_{0}} B_{1} A_{0} \bar{B_{1}}

$\bar{A_0} B_1 A_0 \bar{B_1}$

\bar{A_{1}} B_{0} A_{1} \bar{B_{0}}

$\bar{A_1} B_0 A_1 \bar{B_0}$

2 x

$2x$

2 x + 1

$2x+1$

@laszlo: ในปัญหานี้มันไม่สำคัญว่าคุณจะตัดอินพุตตราบเท่าที่คุณให้มันกับผู้เล่นเพียงสองคนเนื่องจากความเท่าเทียมกันของการเปลี่ยนแปลงถูกกำหนดโดยจำนวนรอบของมัน (ดังนั้นนี่คือเหตุผลที่มันแตกต่างจากจำนวน ของการรุกราน)

— domotorp

มันง่ายไหมที่จะเห็นว่า A สามารถคำนวณบิตจากอินพุตของเธอโดยใช้ B อันใดที่สามารถคำนวณพาริตีได้? ฉันเห็นว่าทั้ง A และ B รู้จำนวนรอบ "ในส่วนของพวกเขา" แต่พวกเขาพบความแตกต่างของ # ของวงจร "ข้าม" ได้อย่างไร

— László Kozma

@laszlo: สมมติว่าอินพุตของ A เป็นอะไรเช่น 1-> 7, 2-> 5, 3-> 8, 4-> 6 มีจำนวน inversions เท่ากับ 1-> 5, 2-> 6, 3-> 8, 4-> 7 โดยทั่วไปแล้ว B รู้ว่าตัวเลขใดของตัวเลขที่ถูกแมป การใช้จำนวนคู่ผกผัน A สามารถเปลี่ยนตัวเลขเหล่านี้เป็นลำดับที่เพิ่มขึ้นยกเว้นอาจเป็นไปได้สำหรับสองรายการสุดท้าย ความสัมพันธ์ของตัวเลขสองตัวสุดท้ายนี้คือหนึ่งบิตที่เธอส่ง

— domotorp

@ domotor: คำถามติดตาม - ถ้า A ได้รับ

a_{1}, \dots, a_{n}

$a_1, \dots, a_n$ , B ได้รับ

a_{n + 1}, \dots, a_{2 n}

$a_{n+1}, \dots, a_{2n}$ , C ได้รับ

a_{2 n + 1}, \dots, a_{3 n}

$a_{2n+1}, \dots, a_{3n}$ ของการเปลี่ยนแปลง

a

$a$ ของ

[3 n]

$[3n]$ พวกเขาสามารถสร้างความเท่าเทียมกันด้วย

o (n)

$o(n)$ บิตของการสื่อสาร

— László Kozma