เครื่องกำเนิดไฟฟ้า Pseudorandom สำหรับออโต จำกัด

Letเป็นค่าคงที่ วิธีที่เราสามารถสร้างสรรพสิ่ง pseudorandom กำเนิดที่โง่ -state จำกัด ออโต?$d$$d$

ที่นี่ออโตมาตา จำกัด ของ state มีโหนด , โหนดเริ่มต้น, ชุดของโหนดที่แสดงสถานะการยอมรับและสองขอบกำกับกำกับ 0, 1 ออกมาจากแต่ละโหนด มันเปลี่ยนสถานะในลักษณะที่เป็นธรรมชาติในขณะที่อ่านอินพุต เมื่อได้รับให้หาเช่นนั้นสำหรับทุก ๆ state finite automaton บางฟังก์ชัน ,$d$$d$$\epsilon$$f:\{0,1\}^{k}\to \{0,1\}^n$$d$$A$

ที่นี่หมายถึงการกระจายตัวแบบสม่ำเสมอบนตัวแปรและเราต้องการให้มีขนาดเล็กที่สุดเท่าที่จะทำได้ (เช่น ) ฉันคิดว่าการเป็นอยู่ในคำสั่งของแต่เรายังสามารถถามคำถามมากขึ้นโดยทั่วไป (อดีต. จะจำนวนบิตที่จำเป็นต้องเติบโตไปพร้อมกับ ?)$U_k$$k$$k$$\log n$$d$$n$$n$

พื้นหลังบางส่วน

การสร้างเครื่องกำเนิดไฟฟ้าเทียมเทียมมีความสำคัญในการทำให้เสื่อมเสีย แต่ปัญหาทั่วไป (PRG สำหรับอัลกอริธึมเวลาพหุนาม) ได้พิสูจน์แล้วว่ายากเกินไป อย่างไรก็ตามมีความคืบหน้าเกี่ยวกับ PRG สำหรับการคำนวณพื้นที่ - ขอบเขต สำหรับตัวอย่างนี้กระดาษที่ผ่านมา ( http://homes.cs.washington.edu/~anuprao/pubs/spaceFeb27.pdf ) ให้ผูกไว้ประมาณสำหรับปกติอ่านครั้งเดียวโปรแกรมแตกแขนง คำถามที่มีโปรแกรมการแยกย่อยแบบอ่านครั้งเดียวยังคงเปิดอยู่ (ด้วย ) ดังนั้นฉันสงสัยว่าคำตอบสำหรับการทำให้เข้าใจง่ายนี้เป็นที่รู้จักหรือไม่ (ออโตเมติก จำกัด เป็นเหมือนโปรแกรมการอ่านแขนงหนึ่งครั้งที่ทุกเลเยอร์เหมือนกัน)$\log n\log d$$k=\log n$

ถ้าเป็นลำดับของคุณสามารถเขียนโปรแกรมการแยกความกว้างคงที่เป็นออโตเมติกอัน จำกัด และไม่ทราบความยาวของเมล็ดลอการิทึม$d$$n$

แต่ถ้าเล็กมากจงพูดให้คงที่คุณทำได้ดีกว่าและบรรลุความยาวของเมล็ดลอการิทึม - ฉันคิดว่านี่เป็นสิ่งที่ฉันคิดเมื่อหลายปีก่อน แต่ไม่เคยเขียนลงไป เคล็ดลับคือการใช้นิสันของผลRL SC โดยทั่วไปเขาแสดงให้เห็นว่าถ้าคุณได้รับโปรแกรมการแตกแขนงแล้วคุณสามารถค้นหาการกระจายลอการิทึม - เมล็ดพันธุ์ที่โง่เขลา ผลลัพธ์ของเขาขยายไปถึงโปรแกรมการแยกย่อยจำนวนน้อย ดังนั้นถ้าเป็นค่าคงที่คุณสามารถระบุออโตมาตา จำกัด ที่เป็นไปได้ทั้งหมดและหาการแจกแจงที่ทำให้คนโง่ทั้งหมด นี้ยังคงทำงานได้นานเท่าที่จำนวนของโปรแกรมที่เป็นพหุนามในn⊆ d $d$$\subseteq$$d$$n$

บางสิ่งที่ใกล้เคียงกับสิ่งที่คุณขอดูเหมือนจะพิสูจน์ได้ใน Thm 2.10 p6 ของบันทึกการบรรยายเหล่านี้โดย O'Donnell, บทบรรยายที่ 16: PRG ของ Nisan สำหรับพื้นที่ขนาดเล็กแต่ไม่ได้อ้างอิงผู้อ้างอิงดั้งเดิมสำหรับการพิสูจน์ คำสั่งง่าย ๆ ของทฤษฎีบทในแง่ของ FSMs ไม่ได้รับในการอ้างอิงนี้ แต่สามารถแปลได้ (อาสาสมัคร?)ในทฤษฎีบทเป็นเมทริกซ์การเปลี่ยนแปลงที่กำหนด FSM มีทฤษฎีบทอื่นที่เกี่ยวข้องในบันทึก$M^n$

นี้หลักฐานเดียวกันเห็นได้ชัดนอกจากนี้ยังมีการอ้างโดย RJlipton ในบล็อกของเขา"รับประกัน Nisans เครื่องกำเนิดไฟฟ้า" เห็นได้ชัดว่าหลักฐานมาจากกระดาษเครื่องกำเนิดไฟฟ้าแบบหลอกเทียมของนิสันแข็งแกร่งแค่ไหน? David, Papakonstantinou, Sidiropoulos (2010) ขอให้สังเกตคำถามที่ลึกซึ้งยิ่งขึ้น & ขอบเขตที่ดีกว่านั้นเชื่อมโยงกับการแยกระดับความซับซ้อนที่สำคัญ:

เขาชี้ให้เห็นโดยไม่มีหลักฐานใด ๆ ว่าถ้ามี PRG ที่ไม่ผ่านหลาย polynomially และคนโง่ logspace เครื่องแล้ว{}$\mathsf{L} \neq \mathsf{NP}$