การใช้ -categories ใน TCS

ฉันไม่ใช่นักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎี ฉันเป็นนักทฤษฎี homotopy ที่เสถียรโดยใช้ -categories ฉันเคยเห็นการประยุกต์ใช้ทฤษฎีหมวดหมู่และทฤษฎี topos กับวิทยาการคอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎีและฉันสงสัยว่ามีวิธีใดที่เราสามารถใช้ -categories (และโดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับฉันทฤษฎี homotopy ที่มั่นคง) ในวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎี ฉันคิดว่า HoTT น่าจะเป็นแอปพลิเคชั่นดังกล่าว แต่ฉันอาจผิดเพราะฉันรู้ว่าไม่มีอะไรเกี่ยวกับ HoTT (ดังนั้นฉันจึงไม่ทราบว่ามีการใช้ HoTT ใน TCS อย่างไร)∞$\infty$$\infty$

การใช้ความคิดแบบ homotopy-theoretic ที่สูงขึ้นกับ CS ยังคงเป็นสนามที่พึ่งมาก! ความเข้าใจของฉันคือว่ามันไม่ได้เก่าแก่เหมือนสนามคณิตศาสตร์

แน่นอนว่า HoTT เป็นแรงผลักดันสำคัญสำหรับแนวคิดดังกล่าว แม้ว่าจะมีเพียงไม่กี่แอปพลิเคชันของทฤษฎีหมวดหมู่ของ "มิติ" ที่สูงกว่า 2

หนึ่งที่ดี "วิทยาการคอมพิวเตอร์-Y" หนึ่งHomotopical ทฤษฎี Patchโดย Anguili et al, พวกเขาแสดงให้เห็นว่าการดำเนินงานทั่วไปและคุณสมบัติบางอย่างที่มีอยู่ในตัวgitเช่นระบบควบคุมเวอร์ชันสามารถเข้าใจได้ดีที่สุดโดยใช้ทฤษฎีประเภท homotopy

อีกแนวคิดที่ไม่เกี่ยวข้องกับขบวนรถไฟแห่งความคิดก็คืองานที่น่าสนใจเกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่าง (2-) ทฤษฎี Homology และการรวมตัวกันของระบบการเขียนคำซ้ำ (หรือโครงสร้างที่ซับซ้อนมากขึ้นเช่น algebras ที่สูงขึ้น) ตัวอย่างบางส่วนคือ

วาย Guiraud บรรจบกันของการเขียนเชิงเส้นและคล้ายคลึงกันของ algebras

วาย Lafont & A. Proute โบสถ์ร็อทรัพย์สินและคล้ายคลึงกันของ monoids

นักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎีได้ทำหลายสิ่งซึ่งหนึ่งในนั้นคือการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของสิ่งต่างๆ ตัวอย่างเช่นเราต้องการจัดทำแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของภาษาการเขียนโปรแกรมเพื่อให้ผู้คนสามารถพิสูจน์สิ่งต่าง ๆ เกี่ยวกับโปรแกรม (เช่นการพิสูจน์ว่าโปรแกรมทำสิ่งที่ควรจะเป็น) ในแง่นี้มันเป็นเรื่องดีเสมอที่จะมีเทคนิคทางคณิตศาสตร์มากมายที่จะทำให้เรามีแบบจำลองสำหรับสิ่งต่าง ๆ ที่นักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์คิดขึ้นมา

ในความเป็นจริงนักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎีต้องคิดค้นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ขั้นสูงบางอย่างเพราะพวกเขาต้องการได้รับกราฟคณิตศาสตร์ที่ดีของสิ่งที่นักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ทำ บ่อยครั้งที่การตั้งทฤษฎีคลาสสิกก็พอไม่ดีสำหรับวัตถุประสงค์ของเราตัวอย่างเช่นเพราะเราต้องการไม่ใช่ tivial หมวดสินค้าขนาดเล็กที่สมบูรณ์หรือไม่น่ารำคาญชุดความพึงพอใจ DD ≅ D $D$$D \cong D^D$

เมื่อเร็ว ๆ นี้การเชื่อมต่อระหว่างทฤษฎีประเภท (ซึ่งเป็นลักษณะทั่วไปของภาษาโปรแกรมตรรกะและทฤษฎีเซต) และทฤษฎี homotopy ได้รับการเปิดเผย มันยังเร็วมากที่จะบอกว่าอะไรจะเกิดขึ้นจริง ๆ แต่ความเข้าใจของเราเกี่ยวกับทฤษฎีประเภทได้รับการพัฒนาขึ้นอย่างแน่นอนโดยแนวคิด homotopy-theoretic ในทางกลับกันมันก็กลายเป็นที่ชัดเจนว่าทฤษฎีประเภท intensional อะไรก็ตามที่เป็นภาษาทางการที่ดีมากสำหรับการอธิบายหมวดหมู่ คนสงสัยว่าควรจะมี "ทฤษฎีประเภทชี้นำ" ซึ่งจะสอดคล้องกับหมู่ แต่ยังไม่มีใครแน่ใจ นี่คือพื้นที่ของการวิจัยที่ใช้งานอยู่$(\infty,1)$$\infty$

การเชื่อมต่อระหว่างทฤษฎีเสถียรภาพฮอมอโทและทฤษฎีประเภทฉันรู้คือการทำงานของ Matthijs Vákárบนเส้นตรงประเภททฤษฎีขึ้น เห็นได้ชัดว่ารูปแบบหนึ่งของมันคือทฤษฎี homotopy ที่มีความเสถียร แต่สิ่งนี้ยังไม่ได้รับการตีพิมพ์

สถานที่ที่คุณสามารถมองสำหรับการใช้งานของทฤษฎี homotopy (มีเสถียรภาพหรือไม่) ในสาขาวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ก็คือโครงสร้างการคำนวณ มีลักษณะคล้ายคลึงกันถาวรเมื่อเร็ว ๆ นี้พบว่ามีการใช้งานมากมายและผู้คนกำลังมองหาการประยุกต์ใช้ในทางทฤษฏี homotopy ประเภทเดียวกัน แนวคิดพื้นฐานคือการใช้โทโพโลยีพีชคณิตเพื่อศึกษาคุณสมบัติของชุดข้อมูลขนาดใหญ่

ไม่ต้องสงสัยเลยว่ามีแอปพลิเคชั่นอื่น ๆ โคดี้กล่าวถึงการใช้ทฤษฎี homotopy (ในหน้ากากของทฤษฎีแบบ homotopy) เพื่อศึกษาระบบควบคุมการแก้ไข นอกจากนี้ยังมีการประยุกต์ใช้ทฤษฎี homotopy เพื่อศึกษาการคำนวณแบบขนานและแบบ cuncurrent เช่น " พีชคณิตทอพอโลยีและการเกิดพร้อมกัน " คนที่มีความรู้มากกว่านี้อาจใจดีพอที่จะให้การอ้างอิงที่ดีกว่า ไม่ว่าในกรณีใดคุณจะสังเกตเห็นว่าแอปพลิเคชั่นเหล่านี้ทั้งหมด (ยกเว้นทฤษฎีโฮโมสโตปแบบที่เป็นไปได้) นั้นค่อนข้างไม่ซับซ้อนจากมุมมองทางคณิตศาสตร์ - ซึ่งไม่ได้หมายความว่ามันไร้ค่า!

ความพยายามในการร่างการเชื่อมต่อทั่วไปเพิ่มเติม บางส่วนของโปรแกรมนี้ถือได้ว่าเป็นส่วนขยายล่าสุดและเพิ่มเติมอย่างละเอียดของการติดต่อแกงกะหรี่ - ฮาวเวิร์ดเก่าที่ตั้งข้อสังเกตระหว่างการพิสูจน์และโปรแกรม นอกจากนี้ยังมีการเชื่อมต่ออย่างใกล้ชิดกับการพิสูจน์ทฤษฎีบทอัตโนมัติ (ผู้ช่วยพิสูจน์) เทคนิคต่าง ๆ ที่ใช้ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทพิสูจน์โดยอัตโนมัติไม่ได้อยู่บนพื้นแข็งและทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ทฤษฎี homotopy เพิ่มดินแน่น

ข้อเสนอนี้โดยทีมงานขนาดใหญ่ที่รวบรวม / สำรวจความสัมพันธ์ที่รู้จักกันในปัจจุบันกับ CS: Homotopy ทฤษฎีประเภท: ปึกแผ่นพื้นฐานของคณิตศาสตร์และการคำนวณ (ข้อเสนอ MURI)

Licata จากทีมนั้นมีความสนใจในการประยุกต์ใช้ทางวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ของทฤษฎี homotopy บางส่วนของการพูดคุยของเขาและเป็นหนึ่งในผู้ก่อตั้ง Voevodsky ของความจริง Univalence สัจนิยม :

• การประยุกต์ใช้ทางคณิตศาสตร์และการคำนวณของทฤษฎีประเภท Homotopy Colloquium ที่มหาวิทยาลัยไอโอวา พ.ย. 2013 [ สไลด์ ]

• คอมพิวเตอร์ตรวจสอบหลักฐานในตรรกะของทฤษฎี Homotopy ได้รับเชิญให้พูดคุยที่สมาคมสำหรับการประชุมสัญลักษณ์อเมริกาเหนือ พฤษภาคม 2013 [ สไลด์ ]

• การโปรแกรมและการพิสูจน์ในทฤษฎีประเภท Homotopy Colloquium ที่ Wesleyan, Princeton และ Cornell Spring, 2013. [ สไลด์ ]

• วิทยาการคอมพิวเตอร์และทฤษฎี Homotopy , วิดีโอ 10m บรรยายโดย Voevodsky / IAS