การลดขนาดออโตมาตาโดยยอมรับ -words (เช่นคำที่ไม่สิ้นสุด)

วิธีมาตรฐานในการลดBüchi-Automata คืออะไร (หรือMüller-Automata) การถ่ายโอนเทคนิคปกติจากคำที่ จำกัด กล่าวคือการตั้งค่าสถานะที่สองให้เท่ากันหากคำว่า "หมด" ของรัฐที่ยอมรับกันจะไม่ทำงาน ตัวอย่างเช่นพิจารณาBüchi-Automoton ยอมรับทุกคำด้วยจำนวนอนันต์ของ a ประกอบด้วยสองสถานะคือสถานะเริ่มต้นและสถานะสุดท้ายและสถานะสุดท้ายจะถูกป้อนทุกครั้งที่อ่านและสถานะเริ่มต้นจะถูกป้อนทุกครั้ง อ่านสัญลักษณ์ที่แตกต่างกัน ทั้งสองรัฐได้รับการพิจารณาว่าเท่าเทียมกันโดยการสูญเสียข้างต้น แต่การยุบลงนั้นทำให้ออโตมาตะประกอบด้วยรัฐเดียวและดังนั้นจึงยอมรับทุกคำ

โดยทั่วไปภาษา omega-ปกติอาจไม่มี DBW ขั้นต่ำที่ไม่ซ้ำกัน ตัวอย่างเช่นภาษา "a a many many และอนันต์ของ b" มี 3 DBWs สองสถานะ (ในภาพแทนที่ by ): ¬ $\omega$$\neg a$$b$

อย่างที่คุณเห็นพวกมันไม่เทียบเท่าทอพอโลยี

ดังนั้นปัญหาการลดเป็นหนักกว่ากรณีที่ จำกัด และในความเป็นจริงมันเป็นNP-สมบูรณ์

คำถามนี้สร้างวรรณคดีจำนวนมากในยุค 80 ส่วนหนึ่งเนื่องจากปัญหาที่ไม่ดี นี่เป็นเรื่องราวที่ค่อนข้างยาวที่ฉันจะพยายามสรุปในคำตอบนี้

1. กรณีของคำ จำกัด

เราสามารถค้นหาคำจำกัดความของ DFA ที่น้อยที่สุดได้ในวรรณคดี คนแรกคือการกำหนด DFA น้อยที่สุดของภาษาปกติเป็น DFA ที่สมบูรณ์ด้วยจำนวนขั้นต่ำของรัฐที่รับภาษา อันที่สองนั้นมีความยาวมากกว่าที่จะให้คำจำกัดความ แต่มีความน่าสนใจทางคณิตศาสตร์มากกว่าอันแรกและมันให้คุณสมบัติที่แข็งแกร่งกว่า

ให้เราเรียกว่า DFAคือสามารถเข้าถึงได้ถ้าทุกมีคำเช่นที่Q จะเสร็จสมบูรณ์หากถูกกำหนดไว้สำหรับและทั้งหมดq ∈ Q u ∈ A ∗ฉัน⋅ u = q q ⋅ a q ∈ Q a ∈ $(Q, A, \cdot, i, F)$$q \in Q$$u \in A^*$$i \cdot u = q$$q \cdot a$$q \in Q$$a \in A$

ให้และเป็น DFA ที่สมบูรณ์และเข้าถึงได้สองแห่ง morphism จากถึง เป็นฟังก์ชันเช่นนั้น A 2 =( Q 2 ,A,⋅, i 2 , F 2 ) A 1 A 2 φ: Q 1 → Q ${\cal A}_1 = (Q_1, A, \cdot, i_1, F_1)$${\cal A}_2 = (Q_2, A, \cdot, i_2, F_2)$$\mathcal{A}_1$$\mathcal{A}_2$$\varphi:Q_1 \to Q_2$

1. $\varphi(i_1) = i_2$ ,
2. $\varphi^{-1}(F_2) = F_1$ ,
3. สำหรับทุกและ ,ก) ∈ φ ( Q ) ⋅ = φ ( Q ⋅ $q \in Q_1$$a \in A$$\varphi(q)\cdot a=\varphi(q\cdot a)$

เราสามารถแสดงให้เห็นว่าเงื่อนไขเหล่านี้บ่งบอกว่าจำเป็นต้องมีความจำเป็น (และ ) นอกจากนี้ยังมี morphism อย่างน้อยหนึ่งรายการจากถึงและหากมี morphism นี้อยู่แล้วและรู้จักภาษาเดียวกัน ตอนนี้หนึ่งสามารถแสดงให้เห็นว่าทุกภาษามีที่ไม่ซ้ำกันที่สมบูรณ์สามารถเข้าถึง DFAยอมรับและเช่นว่าสำหรับทุกเข้าถึง DFA สมบูรณ์ยอมรับมีซึ่มส์จากบน | คำถาม2 | ⩽ | คำถามที่1 | 1 2 1 2 L L L L L L L $\varphi$$|Q_2| \leqslant |Q_1|$${\cal A}_1$${\cal A}_2$${\cal A}_1$${\cal A}_2$$L$${\cal A}_L$$L$$\cal A$$L$$\cal A$${\cal A}_L$. หุ่นยนต์นี้เรียกว่าน้อยที่สุด DFAของLโปรดทราบอีกครั้งว่าเนื่องจากจำนวนสถานะในมีขนาดเล็กกว่าจำนวนสถานะใน ,ก็น้อยมากในแง่แรก$L$${\cal A}_L$$\cal A$${\cal A}_L$

เป็นมูลค่าการกล่าวขวัญว่านอกจากนี้ยังมีคำนิยามเกี่ยวกับพีชคณิตที่เหมาะสมสำหรับDFA ที่ไม่สมบูรณ์ ดู [Eilenberg, Automata, ภาษาและเครื่องจักร , ฉบับที่ A, Academic Press, 1974] สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม

2. กลับสู่คำที่ไม่มีที่สิ้นสุด

การขยายคำจำกัดความแรกไม่ได้ผลตามที่ Shaull แสดงในคำตอบของเขา และน่าเสียดายที่เราสามารถแสดงให้เห็นว่าคุณสมบัติสากลของคำจำกัดความที่สองไม่ได้ขยายไปถึงคำที่ไม่มีที่สิ้นสุดยกเว้นในบางกรณี

นี่เป็นจุดจบของเรื่องราวหรือไม่? รอสักครู่มีอีกวัตถุน้อยที่สุดที่ยอมรับภาษาปกติ ...

3. วิธีการทางวากยสัมพันธ์

ให้เรากลับมาอีกครั้งเพื่อหาคำ จำกัด จำได้ว่าภาษาของเป็นที่ ยอมรับจากหนังสือถ้ามี surjective หนังสือซึ่มส์ และเซตของเช่นที่L อีกครั้งมีอยู่หนังสือที่เรียกว่าหนังสือประโยคของซึ่งตระหนักและเป็นความฉลาดของ monoids ทั้งหมดตระหนักถึงLวากยสัมพันธ์ syntax นี้สามารถนิยามโดยตรงเป็นผลหารของโดยความสอดคล้องกันทางไวยากรณ์ของA ∗ M f : A ∗ → M P M f - 1 ( P ) = L M ( L ) L L L A ∗ ∼ L L คุณ∼ L v  ถ้าและเฉพาะในกรณีสำหรับxทั้งหมด  , y ∈ A ∗ ,  x u y ∈ $L$$A^*$ $M$$f:A^* \to M$$P$$M$$f^{-1}(P) = L$$M(L)$$L$$L$$L$$A^*$ $\sim_L$$L$กำหนดไว้ดังนี้: ข่าวดีก็คือ เวลานี้วิธีนี้ได้ขยายไปถึงคำที่ไม่มีที่สิ้นสุด แต่ใช้เวลานานในการค้นพบความคิดที่เหมาะสม ประการแรกความคิดที่เหมาะสมของความสอดคล้องกันทางไวยากรณ์ถูกค้นพบโดย A. Arnold (ความสอดคล้องทางไวยากรณ์สำหรับเหตุผล -languages, Theoret Comput Sci 39 , 2-3 (1985), 333–335) การขยาย monoids แบบ syntax ไปสู่การตั้งค่าคำไม่สิ้นสุดจำเป็นต้องใช้รูปแบบที่ซับซ้อนมากขึ้นของ algebras ซึ่งปัจจุบันเรียกว่าalgebrasของ Wilke เพื่อเป็นเกียรติแก่ T. Wilke ผู้ซึ่งเป็นคนแรกที่นิยามพวกมัน (T. Wilke, พีชคณิตทฤษฎีภาษาปกติของอนันต์ คำ,

4. สรุป

ดังนั้นจึงมีแนวคิดทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับวัตถุที่น้อยที่สุดที่ยอมรับ -language ปกติที่กำหนดแต่มันไม่ได้พึ่งพาออโตมาต้า นี่เป็นความจริงที่ค่อนข้างทั่วไป: ออโตมาต้าเป็นเครื่องมืออัลกอริธึมที่ทรงพลังมาก แต่ก็ไม่เพียงพอที่จะตอบคำถามทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับภาษา$\omega$