อัลกอริทึมการแยก DFA สำหรับกรณีพิเศษ

ฉันสนใจอัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพสำหรับการแยก DFA สำหรับกรณีพิเศษ กล่าวคือเมื่อ DFA ที่จะตัดกันเชื่อฟังโครงสร้างที่แน่นอนและ / หรือทำงานด้วยตัวอักษรที่ จำกัด มีแหล่งข้อมูลใดบ้างที่ฉันสามารถค้นหาอัลกอริธึมกรณีดังกล่าว

เพื่อที่จะไม่ทำให้คำถามกว้างเกินไปโครงสร้างต่อไปนี้เป็นที่สนใจเป็นพิเศษ: DFA ทั้งหมดที่จะตัดกันทำงานในตัวอักษรไบนารี (0 | 1) พวกเขายังสามารถใช้สัญลักษณ์ที่ไม่สนใจได้ ยิ่งไปกว่านั้นทุกรัฐมีเพียงหนึ่งช่วงการเปลี่ยนภาพยกเว้นรัฐพิเศษ K ส่วนใหญ่ซึ่งมีช่วงการเปลี่ยนภาพเพียงสองครั้งเท่านั้น (และช่วงการเปลี่ยนภาพเหล่านี้มักจะเป็น 0 หรือ 1 แต่ไม่ต้องสนใจเลย) K เป็นจำนวนเต็มน้อยกว่า 10 สำหรับการใช้งานจริง นอกจากนี้พวกเขายังมีสถานะรับเดียว นอกจากนี้เป็นที่ทราบกันว่าจุดตัดเป็น DFA เสมอในรูปแบบของ "สตริป" เช่นไม่มีสาขาดังในภาพต่อไปนี้:

แก้ไข:บางทีคำอธิบายของข้อ จำกัด ในอินพุต DFAs ไม่ชัดเจนมาก ฉันจะพยายามปรับปรุงในย่อหน้านี้ คุณมีการป้อนT DFAs DFA เหล่านี้แต่ละตัวทำงานเฉพาะกับตัวอักษรไบนารี แต่ละคนมีอย่างน้อยNรัฐ สำหรับ DFA แต่ละรัฐแต่ละรัฐเป็นหนึ่งในสิ่งต่อไปนี้:

1) รัฐที่รับ (เป็นเพียงรัฐเดียวเท่านั้นและไม่มีการเปลี่ยนจากรัฐเป็นรัฐอื่น)

2) สถานะที่มีการเปลี่ยนสองครั้ง (0 และ 1) ไปยังสถานะเป้าหมายเดียวกัน (รัฐส่วนใหญ่เป็นแบบนี้)

3) สถานะที่มีการเปลี่ยนสองครั้ง (0 และ 1) ไปยังสถานะเป้าหมายที่แตกต่างกัน (สูงสุดKของประเภทนี้)

มีการรับประกันว่ามีเพียงสถานะเดียวที่ยอมรับได้และมีประเภทKมากที่สุด(3) ในแต่ละอินพุต DFA นอกจากนี้ยังรับประกันได้ว่าสี่แยก DFA ทุก DFAs การป้อนข้อมูลที่เป็น "แถบ" (ตามที่อธิบายไว้ข้างต้น) ที่มีขนาดน้อยกว่าN

EDIT2:ข้อ จำกัด เพิ่มเติมบางอย่างตามที่ DW ร้องขอในความคิดเห็น:

• อินพุต DFA คือ DAG
• อินพุต DFAs เป็น "leveled" ตามคำจำกัดความ DW ในความคิดเห็น คือคุณสามารถกำหนดเลขที่แตกต่างกันไปทุกรัฐในลักษณะที่เปลี่ยนไปจากทุกจำนวนเต็มUจะเป็นจำนวนเต็มวีเช่นว่าU + 1 = V
• จำนวนของการยอมรับรัฐสำหรับการป้อนข้อมูลแต่ละ DFA ที่ไม่เกินK

ความคิดใด ๆ ขอบคุณ

ใช่มีบางกรณีของปัญหา insersection non-emptiness non DFA ที่อยู่ใน P. วิทยานิพนธ์ของอาจารย์ของฉันทุ่มเทให้กับคำถามนี้ แต่น่าเสียดายที่มันเป็นภาษาฝรั่งเศส อย่างไรก็ตามผลลัพธ์ส่วนใหญ่ปรากฏที่นี่ใน$[2]$.

เมื่อตัวอักษรเป็นเอกภาพแล้วปัญหาคือ L-complete เมื่อ DFA แต่ละอันมีสถานะสุดท้ายสองสถานะและ NP-complete เป็นอย่างอื่น กรณีอื่น ๆ ส่วนใหญ่มีข้อ จำกัด เกี่ยวกับการเปลี่ยน monoids ของออโตมาตา ตัวอย่างเช่นสำหรับ monoids การเปลี่ยนกลุ่ม abelian ปัญหาอยู่$\text{NC}^3$เมื่อ DFA แต่ละรายการมีสถานะสุดท้ายอย่างน้อยหนึ่งสถานะและ NP-complete เป็นอย่างอื่น สำหรับ monoids การเปลี่ยนกลุ่ม 2 ระดับแรกปัญหาคือ$\oplus$L-complete เมื่อ DFA แต่ละรายการมีสถานะสุดท้ายไม่เกินสองสถานะและ NP-complete เป็นอย่างอื่น

ให้ฉันตอบคำถามที่แม่นยำยิ่งขึ้นของคุณซึ่งสามารถพบได้ใน $[1]$. สมมติว่าคุณได้รับ DFAs แล้ว$\{0,1\}$ และรูปร่างเหมือนต้นไม้คือมีสถานะ $u$ (สถานะเริ่มต้น) เช่นนั้นสำหรับแต่ละรัฐ $v$ มีเส้นทางที่ไม่ซ้ำกันจาก $u$ ถึง $v$. จากนั้นการตัดสินใจถึงจุดตัดที่ไม่ใช่ความว่างเปล่าคือ:

1. L-complete สำหรับหนึ่งสถานะสุดท้ายในแต่ละ DFA
2. NL-complete สำหรับสองสถานะสุดท้ายในแต่ละ DFA และ
3. NP-complete สำหรับสามสถานะสุดท้ายหรือมากกว่าในแต่ละ DFA

ผลลัพธ์ความแข็งยังคงอยู่แม้ว่าคุณจะ "แยก" ตามลำดับ 0, 1 หรือ 2 ครั้ง (นี่คือของคุณ $K$) ทีนี้ถ้า DFA ของคุณกำกับกราฟ acyclic แทนต้นไม้ปัญหาก็คือปัญหา NP-complete แม้จะมีสถานะสุดท้ายหนึ่งในแต่ละ DFA และ$K=2$; การลดลงค่อนข้างตรงไปตรงมาและมาจาก Monotone 1-in-3 3-SAT

ดังนั้นไม่ฉันไม่คิดว่าจะมีอัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพสำหรับปัญหาของคุณ

ตอนนี้ถ้าจำนวนออโตมาตะได้รับการแก้ไขแล้วคุณอาจต้องการปรึกษากับMichael Weharที่เพิ่งเผยแพร่$[3]$.

แก้ไข: ตั้งแต่ OP แก้ไขคำถามของเขาให้ฉันชี้แจงคำตอบของฉันกับข้อกำหนดใหม่ของเขา พิจารณา NP-สมบูรณ์ปัญหาMonotone 1 ใน 3 3 SATที่คุณจะได้รับสูตร 3-CNF โดยไม่ต้องปฏิเสธและสถานที่ที่คุณจะต้องตรวจสอบว่ามีการกำหนดที่ทำให้ว่าตัวแปรหนึ่งความจริงในข้อแต่ละ คุณสามารถลดปัญหานี้เป็นปัญหาการตัดกันที่ไม่มีความว่างเปล่าได้ดังต่อไปนี้ ตัวอย่างเช่นสำหรับข้อ$x_2 \lor x_3 \lor x_5$คุณสร้างหุ่นยนต์ต่อไปนี้:

$\hskip2in$

โปรดทราบว่าออโตมาตะเป็นต้นไม้ (และด้วยเหตุนี้ DAG) จะถูกปรับระดับและมีสถานะสุดท้ายสามสถานะ ที่จริงแล้วรัฐสุดท้ายทั้งสามถูกรวมเข้าเป็นหนึ่งเดียวหากมีความพึงพอใจต่อ DAG ยิ่งไปกว่านั้นมีเพียงสองสถานะเท่านั้นที่มีการเปลี่ยนขาออก (ชัดเจน) สองรายการ

1. Michael Blondin Complexitéraffinée du problème d'interection d'automates, M.Sc. วิทยานิพนธ์, Université de Montréal, 2012
2. Michael Blondin, Andreas Krebs และ Pierre McKenzie ความซับซ้อนของการตัดไฟไนต์ Automata ที่มีสถานะไม่กี่ขั้นสุดท้าย, ความซับซ้อนในการคำนวณ (CC), 2014
3. Michael Wehar ผลลัพธ์ความแข็งสำหรับการแยกแบบไม่ว่างเปล่า ICALP, 2014