ชุดองศาสำหรับกราฟการขยายเชิงเส้น

ขยายเชิงเส้น $L$ของ poset $\mathcal{P}$เป็นคำสั่งเชิงเส้นในองค์ประกอบของ$\mathcal{P}$เช่นว่า$x \leq y$ใน$\mathcal{P}$หมายถึง$x \leq y$ใน$L$สำหรับทุก$x,y\in\mathcal{P}$ P

กราฟขยายเส้นตรงเป็นกราฟในชุดของส่วนขยายเชิงเส้นของ poset, ที่สองส่วนขยายเชิงเส้นที่อยู่ติดกันว่าถ้าพวกเขา di ff เอ้อในการแลกเปลี่ยนที่อยู่ติดกันหนึ่งในองค์ประกอบ

ในภาพต่อไปนี้มี poset ที่รู้จักกันเป็น$N$ -poset และกราฟขยายเชิงเส้นที่= 1234 , B = 2134 , C = 1243 , d = 2143 , E = 2413$a=1234, b=2134, c=1243, d=2143, e=2413$

(ตัวเลขนี้นำมาจากงาน )

เมื่อคุณศึกษากราฟส่วนขยายแบบเส้นตรง (LEG) คุณสามารถคิด (คิด) ว่าถ้า $\Delta$ - ระดับสูงสุดของ LEG, $\delta$ - ตามลำดับ, ระดับน้อยที่สุดจากนั้นชุดองศาของ LEG ใด ๆ ประกอบด้วย$\Delta,\delta$และแต่ละ จำนวนธรรมชาติระหว่างพวกเขา ตัวอย่างเช่นลองมา poset ที่รู้จักกันเป็นบั้งแล้วในขา$\mathcal{G}$กับ$\Delta(\mathcal{G})=5$และ$\delta(\mathcal{G})=2$และยังเป็นไปตามการคาดเดาของเราจุดด้วยองศาที่ 4 และ 3 มีอยู่ใน กราฟ ดังนั้นคำถามคือเราสามารถพิสูจน์หรือหักล้างการคาดเดานี้ได้หรือไม่

เกี่ยวกับขาและวิธีที่พวกเขามีลักษณะเหมือนหนึ่งสามารถอ่านในวิทยานิพนธ์ของ Mareike Massow ที่นี่ เชฟรอนและ LEG สามารถดูได้ในหน้า 23 ของวิทยานิพนธ์

ในชุดองศามีกระดาษแบบคลาสสิก " ชุดองศาสำหรับกราฟ " โดย Kapoor SF และคณะ

ฉันคิดว่าฉันพิสูจน์เมื่อวานนี้ ดังนั้นที่นี่ร่างของการพิสูจน์ไป ตอนแรกบทแทรกต่อไปนี้ได้รับการพิสูจน์

บทแทรก Let - คำสั่งซื้อบางส่วนG ( P ) - กราฟเส้นตรงส่วนขยายและโวลต์1 , V 2 - สองจุดอยู่ติดกันของG ( P ) จากนั้น| d e g ( v 1 ) - d e g ( v 2 ) | ≤ 2$\mathcal{P}$$G(\mathcal{P})$$v_1,v_2$$G(\mathcal{P})$$|deg(v_1)-deg(v_2)|\leq 2$

ร่างของการพิสูจน์

ในเวลาเดียวกัน, เป็นส่วนขยายเชิงเส้นของPซึ่งหนึ่งในนั้นกล่าวว่าv 1 , สามารถแปลงเป็นv 2โดยการเปลี่ยนตำแหน่งขององค์ประกอบที่อยู่ติดกัน (การขนย้ายที่อยู่ติดกัน) มันเป็นเรื่องง่ายที่จะเห็น (พิจารณาเช่นDและEจากตัวเลขข้างต้น) ว่าองค์ประกอบใด ๆx ฉันใดส่วนขยายเชิงเส้นL = x 1 x 2 ... x nสามารถเปลี่ยนจำนวนขององค์ประกอบที่อยู่ติดกันที่เปรียบมิได้ในสองที่มากที่สุดนี้$v_1,v_2$$\mathcal{P}$$v_1$$v_2$$d$$e$$x_i$$L=x_1x_2\dots x_n$

1. ถ้าสามารถ transposed เลยอย่างน้อยก็หนึ่งเพื่อนบ้านของมันพูดx i + 1 , หาที่เปรียบมิได้ ( x i ∥ x i + 1 , ถ้าเทียบกันแล้วx i ⊥ x i + 1 ) หมายเหตุ: ก่อนทำการย้ายเรามีL 1 = … x i - 1 x i x i + 1 x i + 2 …และทันทีหลังจาก - L 2 = $x_i$$x_{i+1}$$x_i\parallel x_{i+1}$$x_i\perp x_{i+1}$$L_1=\dots x_{i-1}x_ix_{i+1}x_{i+2}\dots$ .$L_2=\dots x_{i-1}x_{i+1}x_{i}x_{i+2}\dots$
2. ให้เราพิจารณาว่าจำนวนความเปรียบต่าง (ระดับของการขยายเชิงเส้นเป็นจุดยอดใน ) ในLสามารถเปลี่ยนแปลงได้อย่างไร เราพิจารณาเป็นครั้งแรกที่ทั้งคู่x ฉันx ฉัน+ 2 สำหรับx i - 1 x i + 1ข้อสรุปเดียวกันตามด้วยสมมาตร$G(\mathcal{P})$$L$$x_ix_{i+2}$$x_{i-1}x_{i+1}$

หากดังนั้นd e g ( L )จะไม่เปลี่ยนแปลง ถ้าx i + 1 ⊥ ( ∥ ) x i + 2 ∧ x i ∥ ( ⊥ ) x i + 2จากนั้นd e $x_{i+1}\parallel(\perp) x_{i+2}\land x_{i}\parallel(\perp) x_{i+2}$$deg(L)$$x_{i+1}\perp(\parallel) x_{i+2}\land x_{i}\parallel(\perp) x_{i+2}$เพิ่ม (ลดลง) ทีละภาพร่างของการพิสูจน์เสร็จสมบูรณ์$deg(L)$

ทฤษฎีบท ให้ - กราฟส่วนขยายแบบเส้นตรง ถ้าG ( P )มีจุดยอดv 1 , v 2กับd e g ( v 1 ) = k , d e g ( v 2 ) = k + 2 , ดังนั้นจะมีv 3 ∈ G ( P )เช่นนั้นd e g ( v 3$G(\mathcal{P})$$G(\mathcal{P})$$v_1,v_2$$deg(v_1)=k,deg(v_2)=k+2$$v_3\in G(\mathcal{P})$ 1$deg(v_3)=k+1$

ร่างของการพิสูจน์

สมมติว่าอยู่ติดกันในG ( P )หรือจุดสุดยอดใด ๆ ที่มีองศาkในG ( P )อยู่ติดกับ จุดสุดยอดบางอย่างถ้าดังกล่าวอยู่กับระดับk + 1$v_1,v_2,deg(v_1)=k,deg(v_2)=k+2$$G(\mathcal{P})$$k$$G(\mathcal{P})$$k+1$

ขอให้เราพิจารณากรณีที่เรามีจากบทแทรกที่ผ่านมาเช่นนั้น$L_1,L_2$

และ x i - 1 ⊥ x i ∧ x i - 1 ∥ x i + 1

$$x_{i+1}\perp x_{i+2}\land x_{i}\parallel x_{i+2},$$ $$x_{i-1}\perp x_{i}\land x_{i-1}\parallel x_{i+1},$$

ดังนั้น 2$deg(L_2)=deg(L_1)+2$

$x_{i+1}$$x_1$

$$x_{j}\perp x_{i+1}\land x_{i+1}\parallel x_{j+1},$$ $j<i-1$