ค้นหา DFA ที่เล็กที่สุดที่แยกสองคำโดยไม่ใช้การค้นหาแบบ brute force หรือไม่

รับสองสาย x และ y ฉันต้องการสร้าง DFA ขนาดต่ำสุดที่ยอมรับ x และปฏิเสธ y วิธีหนึ่งในการทำเช่นนี้คือการค้นหากำลังดุร้าย คุณระบุ DFA เริ่มด้วยขนาดเล็กที่สุด คุณลองแต่ละ DFA จนกว่าคุณจะพบที่ยอมรับ x และปฏิเสธ y

ฉันต้องการทราบว่ามีวิธีอื่นที่รู้จักในการค้นหาหรือสร้าง DFA ขนาดต่ำสุดที่ยอมรับ x และปฏิเสธ y หรือไม่ กล่าวอีกนัยหนึ่งเราสามารถเอาชนะการค้นหากำลังดุร้ายได้หรือไม่?

รายละเอียดเพิ่มเติม:

(1) ฉันต้องการอัลกอริทึมในการหา DFA ขนาดต่ำสุดไม่ใช่ DFA ขนาดใกล้เคียงที่สุด

(2) ฉันไม่เพียง แต่ต้องการทราบว่า DFA ขั้นต่ำเล็กหรือใหญ่เพียงใด

(3) ตรงนี้ฉันแค่เน้นไปที่กรณีที่คุณมีสองสาย x และ y

แก้ไข :

ข้อมูลเพิ่มเติมสำหรับผู้อ่านที่สนใจ:

สมมติว่าและมีสตริงไบนารีของความยาวที่มากที่สุดnมันเป็นผลลัพธ์ที่ทราบว่ามี DFA ที่ยอมรับและปฏิเสธด้วยอย่างมาก $x$ $y$ $n$ $x$ $y$ รัฐ สังเกตว่ามีประมาณ $\sqrt{n}$ DFA ด้วยตัวอักษรไบนารีและสูงสุด $n^{\sqrt{n}}$ รัฐ ดังนั้นวิธีการบังคับเดรัจฉานจะไม่เราต้องระบุถึงมากกว่า $\sqrt{n}$ DFA มันเป็นไปตามที่วิธีเดรัจฉานบังคับไม่สามารถใช้มากกว่า $n^{\sqrt{n}}$ เวลา $n^{\sqrt{n}}$

สไลด์ที่ฉันพบว่ามีประโยชน์: https://cs.uwaterloo.ca/~shallit/Talks/sep2.pdf

automata-theory dfa fsm

— Michael Wehar
แหล่งที่มา

@ AndrásSalamonมันยังคงสมบูรณ์ NP หรือไม่ถ้าชุดที่จะแตกต่างแต่ละคนประกอบด้วยเพียงหนึ่งสาย? ฉันรู้สึกเหมือนว่าสิ่งนี้ควรจะสามารถหยั่งรู้ได้อย่างสมเหตุสมผล

— mhum

@mum ปัญหาที่มีภาษาปกติต่าง ๆ มากมายที่แยกทั้งสองสาย - การย่อขนาด DFA จะค้นหา automaton ที่ดีที่สุดสำหรับหนึ่งในภาษาเหล่านี้ แต่จะไม่ทำอะไรเลยเพื่อเปรียบเทียบกับ automata สำหรับภาษาอื่น ๆ ที่แยกออกมา

— David Eppstein

ถ้า

และ

มีความยาวต่างกันด้วยความยาวที่ใหญ่กว่า

มันง่ายที่จะหา DFA ที่มีสถานะ

ที่แยกพวกมันออกอย่างรวดเร็ว: เพียงแค่ใช้วงจรของความยาว

โดยที่

ไม่ได้แบ่ง

. ค้นหา

โดยพยายามที่

ในการสั่งซื้อจนกว่าคุณจะพบที่เหมาะสมพี

ถ้า

และ

มีความยาวเท่ากันดังนั้น

x

$x$

y

$y$

n

$n$

O (\log n)

$O(\log n)$

p

$p$

p

$p$

| x | - | y |

$|x|-|y|$

p

$p$

2, 3, 5, \dots

$2, 3, 5,\ldots$

p

$p$

x

$x$

y

$y$

การก่อสร้างของร็อบสันในกระดาษปี 1996 จะช่วยให้เครื่องที่เรียบง่ายที่สามารถพบได้โดยการค้นหาของขนาด

)

ไม่รับประกันการก่อสร้างว่าจะเป็น DFA ที่เล็กที่สุด

O (\sqrt{n})

$O(\sqrt{n})$

O (n)

$O(n)$

— Jeffrey Shallit

บันทึกของ Shallit ที่เชื่อมโยงด้านบนนั้นรวมถึงการสังเกตที่มีประโยชน์ว่ากรณีที่แย่ที่สุดสำหรับปัญหาการแยกคือเมื่อตัวอักษรเป็นเลขฐานสอง: มันเป็นไปได้เสมอที่จะแบ่งตัวอักษรขนาดใหญ่เป็นสองชุดย่อยที่ยังคงแยกแยะ ตัวอักษรในชุดย่อยหนึ่งชุดเป็น 0 และตัวอักษรในชุดย่อยอื่น ๆ เป็น 1 แต่สำหรับการค้นหาขั้นต่ำของการแยกหุ่นยนต์สิ่งนี้ดูเหมือนจะไม่ช่วยได้เพราะคุณอาจใช้ข้อมูลเพิ่มเติมจากตัวอักษรดั้งเดิมเพื่อทำได้ดีกว่าที่คุณสามารถทำได้ด้วยการทำแผนที่กับตัวอักษรไบนารี

— David Eppstein

เป็นกรณีพิเศษของคำถามนี้ล่าสุดอื่น ๆ ที่อยู่ในชุดและออกชุดขนาดเท่ากับ 1. ออโต จำกัด น้อยที่สุดที่ได้รับในคำพูดและการออกคำ คำตอบนั้นแสดงวรรณกรรมการเรียนรู้บางส่วนรวมถึงฮิวริสติกบางส่วน

— vzn

ถ้าฉันต้องทำสิ่งนี้ในทางปฏิบัติฉันจะใช้ตัวแก้ SAT

คำถามที่ว่ามี DFA ที่มีฯ ที่รับและปฏิเสธไม่นั้นสามารถแสดงเป็นอินสแตนซ์ SAT ได้อย่างง่ายดาย ยกตัวอย่างเช่นวิธีหนึ่งคือการมีตัวแปรบูล: เป็นจริงถ้าเปลี่ยน DFA จากรัฐไปยังรัฐกับการป้อนข้อมูลบิตขแล้วเพิ่มคำสั่งบางอย่างในการบังคับใช้ว่านี้เป็น DFA และตัวแปรบางอย่างและการบังคับใช้คำสั่งว่าจะยอมรับและปฏิเสธY $k$ $x$ $y$ $2k^2$ $z_{s,b,t}$ $s$ $t$ $b$ $x$ $y$

ตอนนี้ใช้การค้นหาแบบไบนารีบนเพื่อค้นหาเล็กที่สุดซึ่งมี DFA ประเภทนี้อยู่ จากสิ่งที่ฉันอ่านในเอกสารเกี่ยวกับปัญหาที่เกี่ยวข้องฉันคาดหวังว่าสิ่งนี้อาจมีประสิทธิภาพพอสมควรในทางปฏิบัติ $k$ $k$

การเข้ารหัสอื่น ๆ นี้เป็น SAT เป็นไปได้ ตัวอย่างเช่นเราสามารถใช้การเข้ารหัสการติดตาม:

ถ้าเป็นความยาวคุณสามารถเพิ่มตัวแปรบูล: Let เป็นลำดับของรัฐแยบยลในการป้อนข้อมูลที่และตัวแทนของแต่ละใช้ตัวแปรบูล $x$ $m$ $m\lg k$ $s_0,s_1,\dots,s_m$ $x$ $s_i$ $\lceil \lg k \rceil$
ตอนนี้สำหรับแต่ละดังกล่าวว่าคุณมีข้อ จำกัด ที่ $i,j$ $x_i=x_j$ เจ $s_{i-1}=s_{j-1} \implies s_i=s_j$
ถัดไปขยายนี้เพื่อจับ : ให้เป็นลำดับของรัฐแยบยลในการป้อนข้อมูลและตัวแทนของแต่ละใช้ตัวแปรบูล สำหรับแต่ละดังกล่าวว่าเพิ่มข้อ จำกัด ที่ $y$ $t_0,\dots,t_n$ $y$ $t_j$ $\lg k$ $i,j$ $y_i=y_j$ J $t_{i-1}=t_{j-1} \implies t_i=t_j$
ในทำนองเดียวกันสำหรับแต่ละดังกล่าวว่าเพิ่มข้อ จำกัด ที่ $i,j$ $x_i=y_j$ J $s_{i-1}=t_{j-1} \implies s_i=t_j$
การติดตามทั้งสองจะต้องเริ่มจากจุดเริ่มต้นเดียวกันดังนั้นเพิ่มข้อกำหนดที่ (WLOG คุณสามารถต้องการ ) $s_0=t_0$ $s_0=t_0=0$
เพื่อให้แน่ใจว่า DFA ใช้เพียงรัฐจำเป็นต้องให้และสำหรับทุก J $k$ $0 \le s_i < k$ $0 \le t_j <k$ $i,j$
สุดท้ายการเข้ารหัสความต้องการที่เป็นที่ยอมรับและถูกปฏิเสธต้องการให้ n $x$ $y$ $s_m \ne t_n$

ข้อกำหนดทั้งหมดเหล่านี้สามารถเข้ารหัสเป็นคำสั่ง SAT

ก่อนหน้านี้คุณจะใช้การค้นหาแบบไบนารีบนเพื่อค้นหาเล็กที่สุดที่มี DFA อยู่ $k$ $k$

— ใบสำคัญแสดงสิทธิอนุพันธ์
แหล่งที่มา

โปรดทราบว่านี่จะดีกว่าการค้นหากำลังดุร้ายหากมีปัญหาบางอย่างในตัวแก้ปัญหาและพวกมันได้รับการยอมรับจากผู้แก้ปัญหา แต่ในปัจจุบันอาจเป็นเรื่องยากที่จะระบุ / แยกพวกนั้นออก (สำหรับมนุษย์หรือเครื่องจักร) นอกจากนี้ยังมี "เทคโนโลยี" ที่ใหม่กว่า / เกี่ยวข้องกับทฤษฎีโมดูโลที่น่าพอใจและการตั้งค่าชุดคำตอบซึ่งบางส่วนมีภาคแสดงกราฟ "ในตัว" หรือสนับสนุนคำจำกัดความของพวกเขา

— vzn