เปรียบเทียบความซับซ้อนของทฤษฎี Kolmogorov

ทฤษฎีความไม่สมบูรณ์ของ Chaitinกล่าวว่าไม่มีทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ที่แข็งแกร่งเพียงพอที่จะพิสูจน์ว่า $K(s) > L$ โดยที่ $K(s)$ เป็นความซับซ้อนของ Kolmogorov ของสตริง $s$ และ $L$ เป็นค่าคงที่ที่มีขนาดใหญ่พอสมควร $L$ คือขนาดใหญ่พอถ้ามันมีขนาดใหญ่กว่าขนาดในบิตของเครื่องตรวจสอบหลักฐาน (PCM) PCM สำหรับทฤษฎี $T$ ใช้เวลาสตริงเข้ารหัสเป็นจำนวนเต็มเป็น input และผล 1 ถ้าสตริงเป็นหลักฐานที่ถูกต้องในภาษาของT $T$

สมมติว่า $L(T) > |PCM_T|$ สำหรับทฤษฎี $T$ เป็นผูกไว้บนสำหรับความซับซ้อนของT $T$ พิจารณาลำดับชั้นของทฤษฎีต่อไปนี้: ปล่อยให้ทฤษฎีพื้นฐานเป็นเลขคณิตของโรบินสัน ( $Q$ ) เติม $Q$ ด้วยสัจพจน์ที่แข็งแกร่งมากขึ้นของการเหนี่ยวนำขอบเขตพหุนาม ให้ $Q^*$ เป็นทฤษฎีของทฤษฎีบทที่พิสูจน์ได้ด้วย $Q$ และสัจพจน์เชิงอุปนัยใด ๆ สมมติว่าเราสามารถกำหนด $L(Q)$ และโดยการกำหนด PCM สำหรับแต่ละทฤษฎี $L({Q^*})$

ฉันต้องการที่จะต้องพิจารณาเครื่องตรวจสอบหลักฐานที่เพิ่มขึ้น (EPCM) สำหรับ *EPCM นี้จะใช้เวลาสตริงเป็น input เช่นเดียวกับ ECM และมีการป้อนข้อมูลที่สองซึ่งได้กำหนดตำแหน่งและระดับของการย่อยทฤษฎีของ *หากสายป้อนข้อมูลเป็นหลักฐานที่ถูกต้องใน EPCM จะผ่านขั้นตอนของการพิสูจน์เพื่อกำหนดระดับสูงสุดและระดับของการเหนี่ยวนำที่ใช้ EPCM นี้แล้วเขียนประโยค 1 ถ้าใส่เป็นหลักฐานที่ถูกต้องในการระบุย่อยทฤษฎีของ * $Q^*$ $Q^*$ $Q^*$ $Q^*$

ตัวตรวจสอบการพิสูจน์ขั้นสูงที่ฉันอธิบายนั้นเป็นไปได้หรือไม่ ถ้าเป็นเช่นนั้นขนาดของ EPCM นี้จะเป็นขอบเขตสูงสุดไม่ใช่แค่สำหรับความซับซ้อนของแต่ยังเป็นขอบเขตบนความซับซ้อนของทฤษฎีย่อยของ ? $Q^*$ $Q^*$

มันสมเหตุสมผลหรือไม่ที่จะบอกว่ามีขอบเขตบนคงที่กับความซับซ้อนของและทฤษฎีย่อยทั้งหมด? $Q^*$

คำถามนี้ได้รับการยืนยันโดยเนลสันที่ล้มเหลวในการพิสูจน์ความไม่สอดคล้องกันของเลขคณิต ฉันไม่ได้ชี้เรื่องนี้ก่อนหน้านี้เพราะบางคนพบว่าหลักฐานรบกวน แรงจูงใจของฉันคือถามคำถามที่น่าสนใจ CSTheory ดูเหมือนจะเป็นฟอรัมที่เหมาะสมสำหรับคำถามนี้ ความซับซ้อนของและทฤษฎีย่อยทั้งหมดนั้นล้อมรอบด้วยค่าคงที่หรือไม่ จำกัด คำตอบทั้งสองนำไปสู่คำถามเพิ่มเติม $Q^*$

หากความซับซ้อนของทฤษฎีย่อยไม่ได้ จำกัด เราสามารถถามคำถามได้ว่าอะไรคือทฤษฎีย่อยที่อ่อนแอที่สุดของที่ซับซ้อนกว่า ? หรือซับซ้อนกว่า PA และ ZFC หรือไม่ การคิดถึงคำถามนี้แสดงให้ฉันเห็นแล้วว่ามีข้อ จำกัด ที่รุนแรงว่าทฤษฎีสามารถพิสูจน์ความซับซ้อนของสตริง Kolmogorov ได้มากน้อยเพียงใด หากสอดคล้องกันดังนั้นไม่มีทฤษฎีย่อยใด ๆ ที่สามารถพิสูจน์สำหรับสตริงใด ๆ ซึ่งหมายความว่าแม้ทฤษฎีย่อยที่แข็งแกร่งจริงๆไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่ามีสายซับซ้อนมากกว่าทฤษฎีย่อยที่อ่อนแอกว่าซึ่งทฤษฎีที่อ่อนแอกว่านั้นซับซ้อนกว่า $Q^*$ $Q^*$ $Q^*$ $K(s) > L(Q^*)$ * * * * $Q^*$

lo.logic kolmogorov-complexity

— รัสเซลอีสเตอร์
แหล่งที่มา

สิ่งนี้ถูกต้องตราบเท่าที่มันไป แต่แน่นอนว่าอินพุตเพิ่มเติม (

, พูด) ที่จำเป็นในการตรวจสอบข้อ จำกัด ใน schema การเหนี่ยวนำนั้นมีความซับซ้อนที่ไม่ได้ จำกัด ตัวเองดังนั้นจึงค่อนข้างทำให้เข้าใจผิดที่จะแนะนำว่า .

n

$n$

ความซับซ้อนที่เพิ่มขึ้นจะเป็น

)

หากฉันต้องการ

ฉันจะต้องแสดง

เท่านั้น

l o g (n)

$log(n)$

n \leq L

$n \le L$

L > c + l o g (L)

$L > c+log(L)$

— รัสเซลอีสเตอร์

สัญกรณ์ของคุณทำให้ฉันนึกถึงความพยายามที่ไม่ถูกต้องนี้เพื่อพิสูจน์ความไม่สอดคล้องกันของเลขคณิต คุณสามารถอธิบายแรงจูงใจของคุณได้หรือไม่?

— ดี้

สวัสดีรัสเซล มันฟังดูน่าสนใจสำหรับฉัน หากคุณต้องการแชทโปรดแจ้งให้เราทราบ ขอให้มีความสุขมาก ๆ ในวันนี้! :)

— Michael Wehar

ใช่ TM นั้นสามารถใช้เพื่อกำหนดความซับซ้อนของทฤษฎี ฉันถามว่ามันมีขอบเขตขนาดของ TM นี้ไหมถ้าเรามีหลายทฤษฎี

— รัสเซล

ฉันจะพยายามให้คำตอบสำหรับคำถามนี้และพยายามที่จะกำจัดความสับสนบางอย่างเกี่ยวกับรูปแบบที่แน่นอนของคำถาม

จุดแรกที่ผมอยากจะทำคือในงบคง Chaitin ที่เป็นจริงการทำงานของTในความหมายที่แท้จริงมันเป็นเสียงเดียวในการแสดงออกของ : ถ้าเป็นจำนวนธรรมชาติที่เล็กที่สุดซึ่ง สำหรับสตริงใด ๆแล้วถ้าเป็นทฤษฎีที่สอดคล้องกัน แข็งแกร่งกว่า ( นัย $L$ $T$ $T$ $L(T)$

T ⊬ K (s) \geq L (T)

$T\not\vdash K(s)\geq L(T)$

s

$s$

T^{'}

$T'$

T

$T$

T ⊢ φ

$T\vdash\varphi$

สำหรับประโยคใด ๆ ทางคณิตศาสตร์

) แล้ว

)

อาร์กิวเมนต์ง่ายมาก: ถ้ามี

เช่นว่า

แล้ว

โดยสมมติฐาน

T^{'} ⊢ φ

$T'\vdash\varphi$

φ

$\varphi$

L (T^{'}) \geq L (T)

$L(T')\geq L(T)$

s

$s$

T ⊢ K (s) \geq L

$T\vdash K(s)\geq L$

T^{'} ⊢ K (s) \geq L

$T'\vdash K(s)\geq L$

อย่างไรก็ตามนี่เป็นความจริงหากเป็นค่าคงที่ของ Chaitin แน่นอน โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าพิสูจน์แล้ว $L(T)$ $T'$ $\mathrm{Con}(T)$

T^{'} ⊢ \exists L \forall s ⌈ T ⊬ K (\bar{s}) \geq \bar{L} ⌉

$T'\vdash \exists L\forall s\ \lceil T\not\vdash K(\overline{s})\geq \overline{L}\rceil$

โดยการทำให้อาร์กิวเมนต์ของ Chaitin เป็น internalize แต่เป็นคอนกรีต ที่ $l$

T^{'} ⊢ \forall s ⌈ T ⊬ K (\bar{s}) \geq \bar{l} ⌉

$T'\vdash\forall s\ \lceil T\not\vdash K(\overline{s})\geq\overline{l}\rceil$

จะโดยทั่วไปไม่เท่ากับ $L(T)$ )โดยเฉพาะอย่างยิ่งมันอาจจะมีขนาดใหญ่มากโดยทั่วไปสัดส่วนกับขนาดของหลักฐานของใน $\mathrm{Con}(T)$ $T'$ 'นี้สามารถมองเห็นได้ในพิสูจน์ทฤษฎีบทของตัวเองซึ่งขับเคลื่อนอาศัยความสอดคล้องของT $T$

ดังนั้นในขณะที่สามารถพิสูจน์ความสอดคล้องของระบบที่มีการเหนี่ยวนำ bounded ความยาวของการพิสูจน์เหล่านี้ได้รับอีกต่อไปอย่างใกล้ชิดคุณจะได้รับในการแสดงออก (ทางเดียวที่จะเข้าใจทฤษฎีบทไม่สมบูรณ์คือการที่ยาวจะกลายเป็นไม่มีที่สิ้นสุดเมื่อคุณมาถึง , ดังนั้นมันจึงไม่มีข้อพิสูจน์ที่แน่นอนในเอง) ดังนั้นเดียวกันกับขอบเขตบนต่างๆในภายใน s สามารถอธิบายสำหรับแต่ละย่อยทฤษฎี $Q^*$ $Q^*$ $Q^*$ $Q^*$ $L(T)$ $Q^*$

ดังนั้นนี่คือคำตอบสั้น ๆ สำหรับคำถามของคุณ: มีขอบเขตที่เหมือนกันสำหรับทุกหน่วยย่อยของแต่เองไม่สามารถแสดงได้ว่าขอบเขตนี้มีไว้สำหรับทฤษฎีย่อยทั้งหมด นี่คือความผิดพลาดที่สำคัญเนลสันทำ (ฝังอยู่ใต้หลายชั้นของพิธี) และเต่าชี้ให้เห็นที่นี่ $L(T)$ $Q^*$ $Q^*$

— Cody
แหล่งที่มา

PRAสามารถพิสูจน์

)

ขนาดของการพิสูจน์นี้มีขอบเขตสูงสุดบนความซับซ้อนของ

และทฤษฎีย่อยทั้งหมด (สมมติว่าการเข้ารหัสของสัจพจน์ประโยคและอื่น ๆ ) เข้ากันได้หรือไม่?

C o n (Q^{*})

$Con(Q^*)$

Q^{*}

$Q^*$

— รัสเซล

L

$L$

P R A ⊢ C o n (Q^{*})

$\mathrm{PRA}\vdash \mathrm{Con}(Q^*)$

T

$T$

Q^{*}

$Q^*$

P R A ⊢ C o n (Q^{*}) \to C o n (T)

$\mathrm{PRA}\vdash\mathrm{Con}(Q^*)\rightarrow\mathrm{Con}(T)$

Q^{*}

$Q^*$

T

$T$

Q^{*}

$Q^*$

เฮ้โคดี้ขอบคุณสำหรับคำตอบ หวังว่าทุกอย่างจะดี. :)

— Michael Wehar

ขอบคุณไมค์! นี่เป็นคำถามที่สนุก ความจริงที่เนลสันตัวเองมีสับสนในรายละเอียดแสดงให้เห็นว่ามีบางอย่างผิดพลาดที่ลึกซึ้งไปพร้อมกัน ...

— cody