ทฤษฎีความไม่สมบูรณ์ของ Chaitinกล่าวว่าไม่มีทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ที่แข็งแกร่งเพียงพอที่จะพิสูจน์ว่าโดยที่เป็นความซับซ้อนของ Kolmogorov ของสตริงและเป็นค่าคงที่ที่มีขนาดใหญ่พอสมควร คือขนาดใหญ่พอถ้ามันมีขนาดใหญ่กว่าขนาดในบิตของเครื่องตรวจสอบหลักฐาน (PCM) PCM สำหรับทฤษฎีใช้เวลาสตริงเข้ารหัสเป็นจำนวนเต็มเป็น input และผล 1 ถ้าสตริงเป็นหลักฐานที่ถูกต้องในภาษาของT
สมมติว่าสำหรับทฤษฎีเป็นผูกไว้บนสำหรับความซับซ้อนของTพิจารณาลำดับชั้นของทฤษฎีต่อไปนี้: ปล่อยให้ทฤษฎีพื้นฐานเป็นเลขคณิตของโรบินสัน ( ) เติมด้วยสัจพจน์ที่แข็งแกร่งมากขึ้นของการเหนี่ยวนำขอบเขตพหุนาม ให้เป็นทฤษฎีของทฤษฎีบทที่พิสูจน์ได้ด้วยและสัจพจน์เชิงอุปนัยใด ๆ สมมติว่าเราสามารถกำหนดและโดยการกำหนด PCM สำหรับแต่ละทฤษฎี
ฉันต้องการที่จะต้องพิจารณาเครื่องตรวจสอบหลักฐานที่เพิ่มขึ้น (EPCM) สำหรับ * EPCM นี้จะใช้เวลาสตริงเป็น input เช่นเดียวกับ ECM และมีการป้อนข้อมูลที่สองซึ่งได้กำหนดตำแหน่งและระดับของการย่อยทฤษฎีของQ * หากสายป้อนข้อมูลเป็นหลักฐานที่ถูกต้องในQ ∗ EPCM จะผ่านขั้นตอนของการพิสูจน์เพื่อกำหนดระดับสูงสุดและระดับของการเหนี่ยวนำที่ใช้ EPCM นี้แล้วเขียนประโยค 1 ถ้าใส่เป็นหลักฐานที่ถูกต้องในการระบุย่อยทฤษฎีของQ *
ตัวตรวจสอบการพิสูจน์ขั้นสูงที่ฉันอธิบายนั้นเป็นไปได้หรือไม่ ถ้าเป็นเช่นนั้นขนาดของ EPCM นี้จะเป็นขอบเขตสูงสุดไม่ใช่แค่สำหรับความซับซ้อนของแต่ยังเป็นขอบเขตบนความซับซ้อนของทฤษฎีย่อยของQ ∗ ?
มันสมเหตุสมผลหรือไม่ที่จะบอกว่ามีขอบเขตบนคงที่กับความซับซ้อนของและทฤษฎีย่อยทั้งหมด?
คำถามนี้ได้รับการยืนยันโดยเนลสันที่ล้มเหลวในการพิสูจน์ความไม่สอดคล้องกันของเลขคณิต ฉันไม่ได้ชี้เรื่องนี้ก่อนหน้านี้เพราะบางคนพบว่าหลักฐานรบกวน แรงจูงใจของฉันคือถามคำถามที่น่าสนใจ CSTheory ดูเหมือนจะเป็นฟอรัมที่เหมาะสมสำหรับคำถามนี้ ความซับซ้อนของและทฤษฎีย่อยทั้งหมดนั้นล้อมรอบด้วยค่าคงที่หรือไม่ จำกัด คำตอบทั้งสองนำไปสู่คำถามเพิ่มเติม
หากความซับซ้อนของทฤษฎีย่อยไม่ได้ จำกัด เราสามารถถามคำถามได้ว่าอะไรคือทฤษฎีย่อยที่อ่อนแอที่สุดของที่ซับซ้อนกว่าQ ∗ ? หรือซับซ้อนกว่า PA และ ZFC หรือไม่ การคิดถึงคำถามนี้แสดงให้ฉันเห็นแล้วว่ามีข้อ จำกัด ที่รุนแรงว่าทฤษฎีสามารถพิสูจน์ความซับซ้อนของสตริง Kolmogorov ได้มากน้อยเพียงใด หากQ ∗สอดคล้องกันดังนั้นไม่มีทฤษฎีย่อยใด ๆ ที่สามารถพิสูจน์K ( s ) > L ( Q ∗ )สำหรับสตริงใด ๆ ซึ่งหมายความว่าแม้ทฤษฎีย่อยที่แข็งแกร่งจริงๆไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่ามีสายซับซ้อนมากกว่าทฤษฎีย่อยที่อ่อนแอกว่าซึ่งทฤษฎีที่อ่อนแอกว่านั้นซับซ้อนกว่าQ* * * *