เปรียบเทียบความซับซ้อนของทฤษฎี Kolmogorov


14

ทฤษฎีความไม่สมบูรณ์ของ Chaitinกล่าวว่าไม่มีทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ที่แข็งแกร่งเพียงพอที่จะพิสูจน์ว่าK(s)>Lโดยที่K(s)เป็นความซับซ้อนของ Kolmogorov ของสตริงsและLเป็นค่าคงที่ที่มีขนาดใหญ่พอสมควร Lคือขนาดใหญ่พอถ้ามันมีขนาดใหญ่กว่าขนาดในบิตของเครื่องตรวจสอบหลักฐาน (PCM) PCM สำหรับทฤษฎีTใช้เวลาสตริงเข้ารหัสเป็นจำนวนเต็มเป็น input และผล 1 ถ้าสตริงเป็นหลักฐานที่ถูกต้องในภาษาของTT

สมมติว่าL(T)>|PCMT|สำหรับทฤษฎีTเป็นผูกไว้บนสำหรับความซับซ้อนของTTพิจารณาลำดับชั้นของทฤษฎีต่อไปนี้: ปล่อยให้ทฤษฎีพื้นฐานเป็นเลขคณิตของโรบินสัน ( Q ) เติมQด้วยสัจพจน์ที่แข็งแกร่งมากขึ้นของการเหนี่ยวนำขอบเขตพหุนาม ให้Qเป็นทฤษฎีของทฤษฎีบทที่พิสูจน์ได้ด้วยQและสัจพจน์เชิงอุปนัยใด ๆ สมมติว่าเราสามารถกำหนดL(Q)และโดยการกำหนด PCM สำหรับแต่ละทฤษฎีL(Q)

ฉันต้องการที่จะต้องพิจารณาเครื่องตรวจสอบหลักฐานที่เพิ่มขึ้น (EPCM) สำหรับ * EPCM นี้จะใช้เวลาสตริงเป็น input เช่นเดียวกับ ECM และมีการป้อนข้อมูลที่สองซึ่งได้กำหนดตำแหน่งและระดับของการย่อยทฤษฎีของQ * หากสายป้อนข้อมูลเป็นหลักฐานที่ถูกต้องในQ EPCM จะผ่านขั้นตอนของการพิสูจน์เพื่อกำหนดระดับสูงสุดและระดับของการเหนี่ยวนำที่ใช้ EPCM นี้แล้วเขียนประโยค 1 ถ้าใส่เป็นหลักฐานที่ถูกต้องในการระบุย่อยทฤษฎีของQ *QQQQ

ตัวตรวจสอบการพิสูจน์ขั้นสูงที่ฉันอธิบายนั้นเป็นไปได้หรือไม่ ถ้าเป็นเช่นนั้นขนาดของ EPCM นี้จะเป็นขอบเขตสูงสุดไม่ใช่แค่สำหรับความซับซ้อนของแต่ยังเป็นขอบเขตบนความซับซ้อนของทฤษฎีย่อยของQ ?QQ

มันสมเหตุสมผลหรือไม่ที่จะบอกว่ามีขอบเขตบนคงที่กับความซับซ้อนของและทฤษฎีย่อยทั้งหมด?Q


คำถามนี้ได้รับการยืนยันโดยเนลสันที่ล้มเหลวในการพิสูจน์ความไม่สอดคล้องกันของเลขคณิต ฉันไม่ได้ชี้เรื่องนี้ก่อนหน้านี้เพราะบางคนพบว่าหลักฐานรบกวน แรงจูงใจของฉันคือถามคำถามที่น่าสนใจ CSTheory ดูเหมือนจะเป็นฟอรัมที่เหมาะสมสำหรับคำถามนี้ ความซับซ้อนของและทฤษฎีย่อยทั้งหมดนั้นล้อมรอบด้วยค่าคงที่หรือไม่ จำกัด คำตอบทั้งสองนำไปสู่คำถามเพิ่มเติมQ

หากความซับซ้อนของทฤษฎีย่อยไม่ได้ จำกัด เราสามารถถามคำถามได้ว่าอะไรคือทฤษฎีย่อยที่อ่อนแอที่สุดของที่ซับซ้อนกว่าQ ? หรือซับซ้อนกว่า PA และ ZFC หรือไม่ การคิดถึงคำถามนี้แสดงให้ฉันเห็นแล้วว่ามีข้อ จำกัด ที่รุนแรงว่าทฤษฎีสามารถพิสูจน์ความซับซ้อนของสตริง Kolmogorov ได้มากน้อยเพียงใด หากQ สอดคล้องกันดังนั้นไม่มีทฤษฎีย่อยใด ๆ ที่สามารถพิสูจน์K ( s ) > L ( Q )สำหรับสตริงใด ๆ ซึ่งหมายความว่าแม้ทฤษฎีย่อยที่แข็งแกร่งจริงๆไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่ามีสายซับซ้อนมากกว่าทฤษฎีย่อยที่อ่อนแอกว่าซึ่งทฤษฎีที่อ่อนแอกว่านั้นซับซ้อนกว่าQQQQK(s)>L(Q)* * * *Q


1
สิ่งนี้ถูกต้องตราบเท่าที่มันไป แต่แน่นอนว่าอินพุตเพิ่มเติม ( , พูด) ที่จำเป็นในการตรวจสอบข้อ จำกัด ใน schema การเหนี่ยวนำนั้นมีความซับซ้อนที่ไม่ได้ จำกัด ตัวเองดังนั้นจึงค่อนข้างทำให้เข้าใจผิดที่จะแนะนำว่า . n

ความซับซ้อนที่เพิ่มขึ้นจะเป็น ) หากฉันต้องการn Lฉันจะต้องแสดงL > c + l o g ( L )เท่านั้น log(n)nLL>c+log(L)
รัสเซลอีสเตอร์

สัญกรณ์ของคุณทำให้ฉันนึกถึงความพยายามที่ไม่ถูกต้องนี้เพื่อพิสูจน์ความไม่สอดคล้องกันของเลขคณิต คุณสามารถอธิบายแรงจูงใจของคุณได้หรือไม่?
ดี้

สวัสดีรัสเซล มันฟังดูน่าสนใจสำหรับฉัน หากคุณต้องการแชทโปรดแจ้งให้เราทราบ ขอให้มีความสุขมาก ๆ ในวันนี้! :)
Michael Wehar

ใช่ TM นั้นสามารถใช้เพื่อกำหนดความซับซ้อนของทฤษฎี ฉันถามว่ามันมีขอบเขตขนาดของ TM นี้ไหมถ้าเรามีหลายทฤษฎี
รัสเซล

คำตอบ:


5

ฉันจะพยายามให้คำตอบสำหรับคำถามนี้และพยายามที่จะกำจัดความสับสนบางอย่างเกี่ยวกับรูปแบบที่แน่นอนของคำถาม

จุดแรกที่ผมอยากจะทำคือในงบคง Chaitin ที่เป็นจริงการทำงานของT ในความหมายที่แท้จริงมันเป็นเสียงเดียวในการแสดงออกของT : ถ้าL ( T )เป็นจำนวนธรรมชาติที่เล็กที่สุดซึ่ง T K ( s ) L ( T ) สำหรับสตริงsใด ๆแล้วถ้าT เป็นทฤษฎีที่สอดคล้องกัน แข็งแกร่งกว่าT ( T ไวนัยT 'LTTL(T)

TK(s)L(T)
sTTTφสำหรับประโยคใด ๆ ทางคณิตศาสตร์ φ ) แล้ว L ( T ' ) L ( T ) อาร์กิวเมนต์ง่ายมาก: ถ้ามี sเช่นว่า T K ( s ) Lแล้ว T 'K ( s ) LโดยสมมติฐานTφφL(T)L(T)sTK(s)LTK(s)L

อย่างไรก็ตามนี่เป็นความจริงหากเป็นค่าคงที่ของ Chaitin แน่นอน โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าT 'พิสูจน์C o n ( T )แล้ว T 'L s T K ( ¯ s ) ¯ LL(T)TCon(T)

TLs TK(s¯)L¯

โดยการทำให้อาร์กิวเมนต์ของ Chaitin เป็น internalize แต่เป็นคอนกรีต ที่l

Ts TK(s¯)l¯

จะโดยทั่วไปไม่เท่ากับL(T) ) โดยเฉพาะอย่างยิ่งมันอาจจะมีขนาดใหญ่มากโดยทั่วไปสัดส่วนกับขนาดของหลักฐานของในTCon(T)T ' นี้สามารถมองเห็นได้ในพิสูจน์ทฤษฎีบทของตัวเองซึ่งขับเคลื่อนอาศัยความสอดคล้องของTT

ดังนั้นในขณะที่สามารถพิสูจน์ความสอดคล้องของระบบที่มีการเหนี่ยวนำ bounded ความยาวของการพิสูจน์เหล่านี้ได้รับอีกต่อไปอย่างใกล้ชิดคุณจะได้รับQ *ในการแสดงออก (ทางเดียวที่จะเข้าใจทฤษฎีบทไม่สมบูรณ์คือการที่ยาวจะกลายเป็นไม่มีที่สิ้นสุดเมื่อคุณมาถึงQ * , ดังนั้นมันจึงไม่มีข้อพิสูจน์ที่แน่นอนในQ เอง) ดังนั้นเดียวกันกับขอบเขตบนต่างๆในภายในL ( T ) s Q *สามารถอธิบายสำหรับแต่ละย่อยทฤษฎีQQQQ L(T)Q

ดังนั้นนี่คือคำตอบสั้น ๆ สำหรับคำถามของคุณ: มีขอบเขตที่เหมือนกันสำหรับทุกหน่วยย่อยของQ แต่Q เองไม่สามารถแสดงได้ว่าขอบเขตนี้มีไว้สำหรับทฤษฎีย่อยทั้งหมด นี่คือความผิดพลาดที่สำคัญเนลสันทำ (ฝังอยู่ใต้หลายชั้นของพิธี) และเต่าชี้ให้เห็นที่นี่L(T)QQ


PRAสามารถพิสูจน์ ) ขนาดของการพิสูจน์นี้มีขอบเขตสูงสุดบนความซับซ้อนของQ และทฤษฎีย่อยทั้งหมด (สมมติว่าการเข้ารหัสของสัจพจน์ประโยคและอื่น ๆ ) เข้ากันได้หรือไม่? Con(Q)Q
รัสเซล

LPRACon(Q)TQPRACon(Q)Con(T)QT

Q

เฮ้โคดี้ขอบคุณสำหรับคำตอบ หวังว่าทุกอย่างจะดี. :)
Michael Wehar

1
ขอบคุณไมค์! นี่เป็นคำถามที่สนุก ความจริงที่เนลสันตัวเองมีสับสนในรายละเอียดแสดงให้เห็นว่ามีบางอย่างผิดพลาดที่ลึกซึ้งไปพร้อมกัน ...
cody
โดยการใช้ไซต์ของเรา หมายความว่าคุณได้อ่านและทำความเข้าใจนโยบายคุกกี้และนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราแล้ว
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.