ปัญหาเกี่ยวกับช่องว่างความซับซ้อนที่เปิดกว้าง

คำถามนี้เกี่ยวกับปัญหาที่มีช่องว่างความซับซ้อนแบบเปิดขนาดใหญ่ระหว่างขอบเขตล่างและขอบเขตบนที่ทราบ แต่ไม่ใช่เพราะปัญหาเปิดในคลาสความซับซ้อนเอง

เพื่อให้แม่นยำยิ่งขึ้นสมมติว่าปัญหามีช่องว่างคลาส (ด้วยไม่ได้กำหนดไว้โดยเฉพาะ) ถ้าเป็นคลาสสูงสุดที่เราสามารถพิสูจน์ได้ว่ามันคือฮาร์ดและเป็นรู้จักน้อยที่สุด ผูกพันคือเรามีอัลกอริทึมในการแก้ปัญหาซึ่งหมายความว่าหากเราพบว่าปัญหาคือ -complete กับมันจะไม่ส่งผลกระทบต่อทฤษฎีความซับซ้อนโดยทั่วไปเมื่อเทียบกับการค้นหาอัลกอริทึมสำหรับสมบูรณ์A ⊆ B A A B B C A ⊆ C ⊆ B P N $A,B$$A\subseteq B$$A$$A$$B$$B$$C$$A\subseteq C\subseteq B$$P$$NP$

ฉันไม่สนใจปัญหาเกี่ยวกับและเพราะมันเป็นเป้าหมายของคำถามนี้แล้วB = N $A\subseteq P$$B=NP$

ฉันกำลังมองหาตัวอย่างของปัญหาเกี่ยวกับคลาสของช่องว่างที่ไกลที่สุด เพื่อ จำกัด ขอบเขตและแม่นยำของคำถามฉันสนใจเป็นพิเศษกับปัญหาและซึ่งหมายความว่าทั้งสมาชิกในและ - ความสมบูรณ์ไม่สอดคล้องกันกับความรู้ในปัจจุบันโดยไม่ทำให้คลาสพังทลายรายการนี้ )B ⊇ E X P T ฉันM E P E X P T ฉันM $A\subseteq P$$B\supseteq EXPTIME$$P$$EXPTIME$

ปัญหา Equivalence Knot

ให้สองนอตในเครื่องบินพวกเขาทอพอโลยีเหมือนกันหรือไม่? ปัญหานี้เป็นที่รู้จักกัน decidable และมีไม่ดูเหมือนจะเป็นสิ่งกีดขวางใด ๆ ที่ซับซ้อนในการคำนวณเพื่อความเป็นอยู่ในพีที่ดีที่สุดบนปกรู้จักกันในปัจจุบันกับความซับซ้อนเวลาที่ดูเหมือนว่าจะเป็นหอของของความสูงที่และคือจำนวนจุดตัดในแผนภาพปม สิ่งนี้มาจากการถูก จำกัด โดยCoward และ Lackenbyจากจำนวนการเคลื่อนไหวของ Reidemeister ที่จำเป็นต้องใช้หนึ่งปมกับสิ่งที่เทียบเท่า ดูเอกสารล่าสุดของ Lackenbyเพื่อดูผลลัพธ์ที่เกี่ยวข้องล่าสุดและสำหรับรูปแบบที่ชัดเจนของขอบเขตที่ฉันให้ไว้ข้างต้น (หน้า 16)c n c = 10 10 6$2$$c^n$$c = 10^{10^{6}}$$n$

นี่คือรุ่นของปัญหาขนาดวงจรขั้นต่ำ (MCSP): เนื่องจากตารางความจริงบิตของฟังก์ชันบูลีนจะมีวงจรขนาดสูงสุดหรือไม่2 n /$2^n$$2^{n/2}$

ที่รู้จักกันจะไม่ได้อยู่ในAC0ที่มีอยู่ในNPโดยทั่วไปเชื่อว่าเป็นฮาร์ด แต่นี่เปิด ฉันเชื่อว่ายังไม่ทราบว่าเป็นยาก อันที่จริงงานล่าสุดกับ Cody Murray (ที่ปรากฏใน CCC'15) แสดงให้เห็นว่าไม่มีการลด NC0 ที่สม่ำเสมอจาก PARITY ถึง MCSPN P N P A C 0 [ 2 $AC0$$NP$$NP$$AC0[2]$

ความซับซ้อนของการคำนวณเล็กน้อย (ระบุเป็นเลขฐานสอง) ของจำนวนพีชคณิตแบบไม่มีเหตุผล (เช่น ) มีขอบเขตบนที่รู้จักกันเป็นอย่างดีของโดยลดไปปัญหาซึ่งเป็นที่รู้จักกันที่จะมีขอบเขตบน[ABD14] บนมืออื่น ๆ ที่เราไม่ได้รู้ว่าถ้าปัญหานี้เป็นงานหนักกว่าการคำนวณความเท่าเทียมกันของบิต - สำหรับทุกสิ่งที่เรารู้ว่าปัญหานี้อาจจะอยู่ใน0} โปรดสังเกตว่าเรารู้ว่าไม่มียานยนต์ จำกัด ใด ๆ ที่สามารถคำนวณจำนวนบิตของพีชคณิตพีชคณิตไม่ลงตัว[AB07] P P P P P P P B ฉันt S L P n C $\sqrt{2}$$\mathsf{P^{{{PP}^{PP}}^{PP}}}$$\mathsf{BitSLP}$$n$$\mathsf{AC^0}$

อีกปัญหาที่ทอพอโลยีธรรมชาติในทำนองเดียวกันกับคำตอบของปีเตอร์เชอร์เป็นembeddability 2 มิติ simplicial คอมเพล็กซ์นามธรรมใน$\mathbb{R}^3$ 3 โดยทั่วไปมันเป็นธรรมชาติที่จะถามเมื่อเราสามารถได้อย่างมีประสิทธิภาพ / ประสิทธิภาพตัดสินใจว่านามธรรมมิติ simplicial ซับซ้อนสามารถฝังตัวอยู่ใน d สำหรับและนี่คือปัญหาระนาบกราฟและมีอัลกอริธึมเชิงเส้นเวลา สำหรับและนอกจากนี้ยังมีขั้นตอนวิธีเส้นเวลา คดี ,ถูกเปิดจนถึงปีที่แล้วเมื่อมันเป็น k R dk=1d=2k=2d=2k=2d=3$k$$\mathbb{R}^d$$k=1$$d=2$$k=2$$d=2$$k=2$$d=3$แสดงให้เห็นว่า decidable โดย Matousek, Sedgwick, Tancer และวากเนอร์ พวกเขาบอกว่าอัลกอริทึมของพวกเขามีความดั้งเดิม recursiveเวลาผูกพัน แต่มีขนาดใหญ่กว่าหอคอย exponentials ในทางกลับกันพวกเขาคาดการณ์ว่าอาจเป็นไปได้ที่จะวางปัญหาใน NP แต่ไปไกลกว่านั้นจะท้าทาย อย่างไรก็ตามดูเหมือนว่าจะไม่มีหลักฐานที่ชัดเจนว่าอัลกอริทึม polytime เป็นไปไม่ได้

กระดาษหลังมีการอ้างอิงมากมายสำหรับการอ่านเพิ่มเติม

Multicounter ออโตมาตะ (MCAs) เป็นออโตมาตะ จำกัด พร้อมกับตัวนับที่สามารถเพิ่มและลดระดับภายในขั้นตอนเดียว แต่ใช้จำนวนเต็ม> = 0 เป็นตัวเลขเท่านั้น ต่างจากเครื่อง Minsky (aka counter automata) MCAs ไม่ได้รับอนุญาตให้ทดสอบว่าตัวนับเป็นศูนย์หรือไม่

หนึ่งในปัญหาอัลกอริทึมที่มีช่องว่างขนาดใหญ่ที่เกี่ยวข้องกับ MSCs คือปัญหาการเข้าถึง ยกตัวอย่างเช่นไม่ว่าหุ่นยนต์จะสามารถเข้าถึงได้จากการกำหนดค่าด้วยสถานะเริ่มต้นและศูนย์เคาน์เตอร์ทั้งหมดการกำหนดค่าที่มีสถานะการยอมรับและเคาน์เตอร์ทั้งหมดเป็นศูนย์อีกครั้ง

ปัญหายากสำหรับ EXPTIME (ดังแสดงโดย Richard Lipton ในปี 1976), decidable (Ernst Mayr, 1981) และแก้ไขได้ในFω3 (ขอบคุณ Sylvain ที่ชี้เรื่องนี้ออกมา) ช่องว่างขนาดใหญ่

Q M A N E X $\mathsf{QMA}(2)$ (ควอนตัมเมอร์ลิน-อาร์เธอร์กับสอง provers unentangled): แน่นอน -hard แต่ที่รู้จักกันเท่านั้นที่จะอยู่ใน{} $\mathsf{QMA}$$\mathsf{NEXP}$

ปัญหาการคำนวณที่เกี่ยวข้องกับเล็มม่า Normalisation Lemma สำหรับพันธุ์ที่ชัดเจน ("ชัดเจน" ในแง่ของกระดาษนี้ [ รุ่นเต็มใช้ได้ฟรี ]) ขอบเขตบนที่รู้จักกันเป็นอย่างดีคือ (note, SPACE, ไม่ใช่ TIME!) แต่มันคาดเดาว่าอยู่ใน (และที่จริงแล้วการอยู่ในนั้นเทียบเท่ากับ derandomizing PIT) .P $\mathsf{EXPSPACE}$$\mathsf{P}$$\mathsf{P}$

ปัญหา Skolem (ได้รับการกำเริบเชิงเส้นที่มีกรณีฐานจำนวนเต็มและสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มมันไม่เคยถึงค่า 0) เป็นที่รู้จักกัน NP-อย่างหนักและไม่เป็นที่รู้จักที่จะ decidable เท่าที่ฉันรู้ว่าสิ่งใดในระหว่างนั้นจะสอดคล้องกับความรู้ในปัจจุบันของเราโดยไม่ต้องยุบคลาสความซับซ้อนมาตรฐาน