ใบรับรอง coNP สำหรับ Graph Isomorphism

มันง่ายที่จะเห็นว่ากราฟ isomorphism (GI) นั้นอยู่ใน NP มันเป็นปัญหาเปิดที่สำคัญว่า GI อยู่ใน coNP หรือไม่ มีคุณสมบัติของกราฟที่สามารถใช้เป็นใบรับรอง coNP ของ GI ได้หรือไม่ คาดเดาใด ๆ ที่บ่งบอกถึง ? จะเกิดอะไรขึ้นบางส่วนของ ?$GI \in coNP$$GI \in coNP$

หากอยู่ในC o N Pแล้วเราจะมีผล: G ฉันไม่ได้เป็นN Pสมบูรณ์เว้นแต่N P = C o N P = P H (รู้จักกันในปัจจุบัน: G ฉันไม่ได้เป็นN P - สมบูรณ์ยกเว้นΣ 2 P = Π 2 P = P H )$GI$$coNP$$GI$$NP$$NP=coNP=PH$$GI$$NP$$\Sigma_2 P = \Pi_2 P = PH$

ตั้งแต่อยู่ในC o Mอย่างเห็นได้ชัดderandomizing คo M ( ลิงค์ดอย ) จะใส่G ฉัน∈ คo N Pแต่ผมไม่ทราบว่าของคุณสมบัติผู้สมัครกราฟใด ๆ สำหรับการวางG ฉัน∈ คo N Pมิฉะนั้น. ฉันหวังว่าจะได้คำตอบเพิ่มเติม!$GI$$coAM$$coAM$$GI \in coNP$$GI \in coNP$

ที่น่าสนใจในกระดาษว่าพวกเขายังแสดงให้เห็นว่ากราฟไม่มอร์ฟมีหลักฐานอันขนาด subexponential - นั่นคือ - ถ้าP H = Σ 3 P นี้เป็นอย่างน้อยมุ่งหน้าไปในทิศทางของการแสดงตามเงื่อนไขที่G ฉัน∈ คo N P$GI \in co NSUBEXP$$PH = \Sigma_3 P$$GI \in coNP$

วิธีการเกี่ยวกับช่วง (เช่นรายการหนึ่งรายการต่อขอบ) ของความต้านทานที่มีประสิทธิภาพ? ความต้านทานที่มีประสิทธิภาพของขอบคือความน่าจะเป็นที่ขอบนั้นอยู่ในต้นไม้ที่ทอดแบบสุ่ม ความต้านทานที่มีประสิทธิภาพสามารถพบได้โดยใช้อัลกอริธึมของ Spielman และ Teng แม้ว่าฉันจะไม่รู้ว่ามันง่ายแค่ไหนที่จะนำไปใช้จริง (ถ้ามีใครต้องการทำการทดลอง)

สมมติว่าเรามีกราฟปกติสองตัวซึ่งมีค่าลักษณะเฉพาะเหมือนกัน (และเรารู้ว่าค่าลักษณะเฉพาะไม่จำเป็นต้องแยกความแตกต่างระหว่างกราฟที่ไม่ใช่ isomorphic) จากนั้นหากความต้านทานที่มีประสิทธิภาพ (เช่นรายการอีกครั้ง) เหมือนกันพวกเขาไม่สามารถใช้ในการแยกแยะกราฟ แต่ทำไมกราฟร่วมสเปคตรัมสองอันจึงมีการกระจายตัวแบบเดียวกันในต้นไม้แบบสแปนนิ่ง มีการเชื่อมต่อที่รู้จักระหว่างสเปกตรัมกราฟกับความต้านทานที่มีประสิทธิภาพของกราฟหรือไม่? นั่นคือการรู้จักสเปกตรัมกราฟเราสามารถคำนวณความต้านทานที่มีประสิทธิภาพได้หรือไม่?

เป็นที่น่าสนใจที่จะชี้ให้เห็นว่าถ้า GI ไม่ได้อยู่ใน coNP ดังนั้น P ≠ NP

1) ถ้า GI ไม่ได้อยู่ใน coNp ดังนั้น GI ≠ NGI

2) ถ้า GI ≠ NGI ดังนั้น GI ≠ P

3) ถ้า GI ≠ P แล้ว P ≠ NP

ในฐานะที่เป็นข้อพิสูจน์ของข้อเสนอที่เรามี: หาก GI ไม่ได้อยู่ใน coNP ดังนั้น P ≠ NP เช่นเดียวกับการถือครองหาก NGI ไม่ได้อยู่ใน NP