การเรียงลำดับสำหรับ 0-1 หลายโพลิโนมีนวนมากสำหรับเครือข่ายการเรียงลำดับนั้นเพียงพอหรือไม่?

หลักการ 0-1 บอกว่าถ้าเครือข่ายการเรียงลำดับทำงานได้กับลำดับ 0-1 ทั้งหมดมันจะใช้ได้กับชุดตัวเลขใด ๆ มีเช่นนั้นหรือไม่หากเครือข่ายเรียงลำดับทุก ๆ 0-1 จาก S จากนั้นจะเรียงลำดับทุก 0-1 และขนาดของSเป็นพหุนามในnหรือไม่$S\subset \{0,1\}^n$$S$$n$

ตัวอย่างเช่นถ้าประกอบด้วยลำดับทั้งหมดที่มีการรันมากที่สุด2ครั้ง (ช่วงเวลา) ของ 1 ดังนั้นจะมีเครือข่ายการเรียงลำดับ N และลำดับที่ไม่ได้รับคำสั่งจาก N หากสมาชิกทั้งหมดของSถูกสั่งโดย N?$S$$2$$S$

คำตอบ:ตามที่เห็นได้จากคำตอบและความคิดเห็นคำตอบก็คือสำหรับสตริงที่ไม่เรียงลำดับทั้งหมดจะมีเครือข่ายการเรียงลำดับที่เรียงลำดับสตริงอื่น ๆ หลักฐานง่าย ๆ สำหรับสิ่งนี้คือ Let สตริงเป็นเช่นนั้นs ฉัน = 0เป็นนิตย์ฉัน< kและs k = 1 ตั้งแต่sจะไม่ได้เรียงลำดับหลังจากการเรียงลำดับs kควรจะเป็น0 เปรียบเทียบkกับทุก ๆiที่s i$s=s_1\ldots s_n$$s_i=0$$i<k$$s_k=1$$s$$s_k$$0$$k$$i$ . จากนั้นเปรียบเทียบทุกคู่ ( i , j )เช่นนั้นฉัน≠ kและ j ≠ kหลายครั้ง ใบนี้สตริงทั้งเรียงยกเว้นอาจจะเป็นเพราะ s kซึ่งจะไม่ได้เรียงลำดับสำหรับ sและสายอื่น ๆ บางอย่างที่มีมากขึ้น 1 's กว่าs ตอนนี้เปรียบเทียบ s kสำหรับฉัน= n downto 1ยกเว้นสำหรับสถานที่ที่ s kควรจะไปในs นี้จะเรียงลำดับทุกอย่าง แต่s$s_i=1$$(i,j)$$i\ne k$$j\ne k$$s_k$$s$$1$$s$$s_k$$i=n$$1$$s_k$$s$$s$

ปรับปรุง:ฉันสงสัยว่าเกิดอะไรขึ้นถ้าเรา จำกัด ความลึกของเครือข่ายไปยัง )$O(\log n)$

ดูเหมือนจะไม่ เอียนพาร์เบอร์รีทำให้มีการอ้างอิงไปยังกระดาษโดยจุงและ Ravikumar ที่พวกเขาคาดคะเนให้ก่อสร้าง recursive ของเครือข่ายการเรียงลำดับที่เรียงลำดับทุก bitstring แต่หนึ่งและได้ข้อสรุปต่อไปว่าปัญหาของการตรวจสอบเครือข่ายการจัดเรียงเป็น - N Pสมบูรณ์ ฉันไม่สามารถหาเอกสารต้นฉบับได้ทันที แต่แน่นอนว่ามันตรงกับสัญชาตญาณ (ของฉัน)$co$$NP$

แก้ไขเพื่อเพิ่ม: จริง ๆ แล้วมันเป็นเรื่องง่ายมากที่จะหาเครือข่ายที่ขาดหายไปหนึ่งสตริง สตริงควรพลาดจะเป็น ) ตอนนี้คุณแค่ต้องการวงจรที่เรียงn - 1บิตสุดท้ายจากนั้นเรียงn - 1บิตแรก วงจรนี้จะเรียงลำดับสิ่งที่มีอย่างน้อยสอง1 s จะเห็นได้ชัดว่าการจัดเรียงทุกศูนย์สตริงและจะเรียงลำดับสตริงใด ๆ ที่เริ่มต้นด้วย0$(1,0,\ldots,0)$$n-1$$n-1$$1$$0$