หมวดหมู่ของปัญหาที่ทำให้เสร็จสมบูรณ์ NP?

มันเหมาะสมหรือไม่ที่จะพิจารณาหมวดหมู่ของปัญหา NP-complete ทั้งหมดโดยมี morphisms เป็นการลดเวลาแบบโพลีระหว่างอินสแตนซ์ต่างๆ มีใครเคยตีพิมพ์บทความเกี่ยวกับเรื่องนี้และถ้าเป็นเช่นนั้นฉันจะหาได้ที่ไหน

พื้นที่ที่คุณต้องการดูเรียกว่า "ทฤษฎีความซับซ้อนโดยนัย" ชื่อที่ Google ใช้สุ่มมาอย่างไม่สมบูรณ์และไม่สมบูรณ์คือ Martin Hofmann, Patrick Baillot, Ugo Dal Lago, Simona Ronchi Della Rocca และ Kazushige Terui

เทคนิคพื้นฐานคือการเชื่อมโยงคลาสของความซับซ้อนกับระบบย่อยของลอจิกเชิงเส้น (ที่เรียกว่า "light linear logics") ด้วยความคิดที่ว่าการตัดการกำจัดสำหรับระบบลอจิกควรจะเสร็จสมบูรณ์สำหรับคลาสความซับซ้อนที่กำหนด (เช่น LOGSPACE PTIME ฯลฯ ) จากนั้นผ่านทาง Curry-Howard คุณจะได้รับภาษาการเขียนโปรแกรมซึ่งโปรแกรมในชั้นเรียนที่กำหนดนั้นมีความชัดเจน ดังที่คุณคาดหวังจากการกล่าวถึงลอจิกเชิงเส้นระบบเหล่านี้ทั้งหมดนั้นก่อให้เกิดประเภทต่าง ๆ ที่ปิดแบบ monoidal ของรสชาติที่หลากหลายซึ่งทำให้คุณมีลักษณะเชิงพีชคณิตเชิงพีชคณิตและเป็นอิสระจากเครื่องจักรของคลาสความซับซ้อนต่างๆ

หนึ่งในสิ่งที่ทำให้บริเวณนี้น่าสนใจคือความซับซ้อนแบบดั้งเดิมหรือวิธีการตรรกะ / PL ไม่เหมาะสมอย่างสิ้นเชิง

เนื่องจากหมวดหมู่ที่เกี่ยวข้องมักจะมีโครงสร้างปิดวิธีการ combinatoric ซึ่งนักทฤษฎีที่ซับซ้อนมักได้รับการสนับสนุนมักล้มเหลว (เนื่องจากโปรแกรมที่มีลำดับสูงกว่ามีแนวโน้มที่จะต่อต้านการจำแนกลักษณะของ combinatorial) ตัวอย่างทั่วไปของสิ่งนี้คือความล้มเหลวของวิธีการทางวากยสัมพันธ์เพื่อจัดการความเท่าเทียมกันทางบริบท วิธีการของซีแมนทิกส์ก็มีปัญหาเช่นกันเนื่องจากพวกมันมักจะมีขอบเขตมากเกินไป (เนื่องจากความหมายแบบดั้งเดิมต้องการซ่อนโครงสร้างภายในของฟังก์ชัน) ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดที่ฉันรู้ที่นี่คือการปิดตัวของ LOGSPACE ภายใต้การจัดองค์ประกอบ: นี่เป็น AFAIK ที่เป็นไปได้เท่านั้นเนื่องจากการประกบกันและการคำนวณซ้ำแบบเลือกสรรและคุณไม่สามารถจัดการปัญหาดังกล่าวเป็นกล่องดำบริสุทธิ์

คุณอาจต้องการที่จะมีความคุ้นเคยกับความหมายของเกมและเรขาคณิตของการโต้ตอบของ Girard (และผู้นำของพวกเขาโครงสร้างข้อมูลคอนกรีตของ Kahn-Plotkin-Berry) หากคุณเข้ามาในพื้นที่นี้อย่างจริงจัง การคำนวณคำสั่งซื้อที่ใช้ในงานนี้ให้ความสำคัญกับ ICC มาก

เนื่องจากฉันได้ชี้ให้เห็นถึงบทบาทสำคัญของหมวดหมู่ monoidal ในงานนี้คุณอาจสงสัยเกี่ยวกับการเชื่อมต่อกับ GCT ของ Mulmuley น่าเสียดายที่ฉันไม่สามารถช่วยคุณได้ที่นี่เนื่องจากฉันไม่รู้พอ แม้ว่า Paul-AndréMellièsอาจเป็นคนดีที่ถาม

เป็นไปได้ที่จะจัดหมวดหมู่สิ่งต่าง ๆ มากมาย แต่นั่นไม่ได้แปลว่าเป็นหมวดหมู่ที่น่าสนใจ ดังนั้นคำตอบของ "มันสมเหตุสมผล" ขึ้นอยู่กับว่าคุณหมายถึงอะไร

สำหรับการทำนายว่ามันน่าสนใจหรือไม่ให้สมมติคำจำกัดความที่เหมาะสมของการลดลงซึ่งจะเป็นหมวดหมู่นั่นคือ NPC หมวดหมู่คำถามที่น่าสนใจเชิงทฤษฎีคือสิ่งต่าง ๆ เช่นถามว่า NPC มีข้อ จำกัด หรือ colimits ต่าง ๆ (เช่นผลิตภัณฑ์ coproducts, pullbacks, pushouts, ... ) ดังนั้นก่อนที่จะพูดถึงเรื่องการทำสิ่งต่าง ๆ ให้เป็นทางการมันเป็นการดีที่จะนั่งลงและคิดว่าข้อ จำกัด เหล่านี้จะหมายถึงอะไรและความหมายนั้นน่าสนใจหรือไม่ หากเราสมมติว่า NPC มีการคืนเงินความสามารถในการดึงการลดลงสองครั้งหมายความว่าอะไรเป็นพิเศษหรือไม่? คำถามเช่นนี้ดูเหมือนว่าพวกเขาจะน่าสนใจถ้าเราต้องการทราบว่าปัญหาปรมาณู NP สมบูรณ์หรือว่าปัญหา NP- สมบูรณ์ (หรือลดลง) จะรวมกันได้อย่างไร

การติดตามคำถามจะเป็นสิ่งที่ต้องการ: NPC มีหมวดหมู่ย่อยที่น่าสนใจหรือไม่? NPC เป็นหมวดหมู่ย่อยของหมวดหมู่ขนาดใหญ่ที่น่าสนใจหรือไม่ เราทราบดีแล้วว่าปัญหาที่สมบูรณ์ของปัญหา NP นั้นเกี่ยวข้องกับปัญหาประเภทอื่น ๆ อย่างไรดังนั้นคำตอบที่น่าสงสัยสำหรับคำถามเหล่านี้คือ "แน่นอน" แต่หากจะพูดให้ชัดเจนกว่านี้การพิจารณาความสัมพันธ์เหล่านี้จากมุมมองเชิงทฤษฎีหมวดหมู่ให้มุมมองอื่น ๆ ทำไม่ได้? สิ่งหนึ่งที่ CT อาจเสนอให้คือคำถามว่ามีส่วนเสริมที่ไม่ใช่เรื่องไร้สาระระหว่าง NPC และหมวดหมู่อื่นหรือไม่ แน่นอนว่าการต่อเชื่อมนั้นมีความน่าสนใจเป็นหลักเมื่อหมวดหมู่ที่อยู่ด้านหลังนั้นน่าสนใจดังนั้นถ้า NPC ไม่มีโครงสร้างพิเศษจำนวนมากดังนั้นการรู้เกี่ยวกับการต่อเชื่อม NPC จะไม่ได้นำเสนออะไรมากนัก

สำหรับการอ้างอิงโดยเฉพาะฉันไม่ทราบว่ามีอะไรผิดปกติ แต่การเชื่อมโยงในความคิดเห็นของ Sadeq, Ramprasad, Kaveh ควรจะให้ที่ใดที่หนึ่งเพื่อเริ่มต้น