การทำให้เป็นทฤษฎีประเภทที่มีความเพียร

ทฤษฎีประเภทส่วนใหญ่ที่ฉันรู้ว่าเป็นภาคซึ่งฉันหมายความว่า

Void : Prop
Void = (x : Prop) -> x

ไม่ได้เป็นอย่างดีพิมพ์ในที่สุด provers ทฤษฎีบทเป็นประเภทปี่นี้เป็นของจักรวาลเดียวกับและมันไม่ได้เป็นกรณีที่Prop Prop : Propสิ่งนี้ทำให้พวกเขาเป็นแบบเชิงกริยา อย่างไรก็ตามภาษา "กระดานดำ" ที่น่าสะพรึงกลัวมากมายเช่น System F หรือ CoC นั้นแท้จริงแล้วเป็นสิ่งที่ไม่อาจคาดเดาได้ อันที่จริงแล้วการแสดงอารมณ์นี้มีความสำคัญต่อการกำหนดโครงสร้างส่วนใหญ่ที่ไม่รวมอยู่ในภาษาดั้งเดิม

คำถามของฉันคือเหตุใดเราจึงต้องการที่จะละทิ้งความสุขุมเพราะมันมีอำนาจในการกำหนดโครงสร้างเชิงตรรกะ? ฉันได้ยินคนสองสามคนตั้งข้อสังเกตว่า impredicativity สกรู "การคำนวณ" หรือ "การเหนี่ยวนำ" แต่ฉันมีปัญหาในการหาคำอธิบายที่เป็นรูปธรรม

lo.logic type-theory

— Daniel Gratzer
แหล่งที่มา

นักทฤษฎีเชิงทฤษฎีประเภทหรือทฤษฎีของพวกเขาเป็นใคร?

— Andrej Bauer

ฉันคิดว่า Coq ไม่ใช่ "ผู้พิสูจน์ทฤษฎีบทส่วนใหญ่" สำหรับคุณเพราะมันยอมรับข้อกำหนดข้างต้น

— Andrej Bauer

@AndrejBauer ทำไมไม่ทั้งสอง :) ฉันคิดว่า coq มีจักรวาลที่น่าจดจำและมีการทำนาย ฉันคิดว่าคำถามของฉันคือ "ทำไมถึงไม่กล้าทำเช่นนั้น?" ในบริบทของ coq

— Daniel Gratzer

เหตุใด Type จึงไม่เป็นที่น่าสงสัย > ตรวจสอบประเภท ประเภท: ประเภท แย่มาก :)

— ดี้

ไม่จำเป็นต้องรบกวนผู้พัฒนา! Impredicative ชุดเป็นที่น่ารังเกียจมากและโดยเฉพาะอย่างยิ่งมันขัดแย้งกับหลักการทางเลือกบางอย่างค่อนข้างเป็นธรรมชาติและที่เรียกว่า "ข้อมูลการยกเว้นกลาง" forall P : Type, {P} + {~P}เช่นนี้ + ชุด impredicative นัยลวงหลักฐาน (และnatเป็นไม่ได้หลักฐานที่ไม่เกี่ยวข้อง) ดูเช่นcoq.inria.fr/library/Coq.Logic.ClassicalUniqueChoice.htmlและcoq.inria.fr/library/Coq.Logic.Berardi.html

— cody

คำตอบ:

ฉันจะอธิบายความคิดเห็นของฉันให้ละเอียด ต้นกำเนิดของทฤษฎีประเภทกริยาเกือบจะเก่าแก่เท่าทฤษฎีประเภทนั้นเนื่องจากแรงจูงใจของ Russel คือการห้ามคำจำกัดความ "แบบวงกลม" ซึ่งถูกระบุว่าเป็นส่วนหนึ่งของแหล่งกำเนิดของความขัดแย้งและความขัดแย้งในศตวรรษที่สิบเก้า เธียร์รี่โคควนด์ให้ภาพรวมพุทธะที่นี่ ในทฤษฎีนี้เพรดิเคตเป็น "ระดับ" หรือประเภทอยู่ในประเภทของระดับ "ถัดไป" ซึ่งมีจำนวนระดับไม่ จำกัด (นับได้)

ในขณะที่ลำดับขั้นตอนการทำนายของรัสเซลนั้นเพียงพอที่จะกำจัดความขัดแย้งที่รู้กันออกมามันก็กลายเป็นเรื่องยากมากที่จะใช้เป็นระบบพื้นฐาน โดยเฉพาะอย่างยิ่งการกำหนดบางสิ่งที่ง่ายเหมือนระบบจำนวนจริงนั้นยากมากและดังนั้น Russel จึงตั้งสมมติฐานถึงความจริงความจริงของการลดความจริงซึ่งตั้งสมมติฐานว่าทุกระดับ "ลด" เป็นหนึ่งเดียว ไม่จำเป็นต้องพูดว่านี่ไม่ใช่การพัฒนาที่น่าพอใจ

อย่างไรก็ตามตรงกันข้ามกับข้อความ "ที่เป็นอันตราย" (เช่นความเข้าใจที่ไม่ จำกัด ) ความจริงนี้ดูเหมือนจะไม่นำมาซึ่งความไม่สอดคล้องใด ๆ สูตรที่ตามมาของทฤษฎีพื้นฐาน (ทฤษฎีแบบง่าย ๆ , ทฤษฎี เซตของ Zermelo ) ยอมรับพวกมันขายส่งทำให้ตระกูลเพรดิเคต

ประมาณปี 1971 Martin-Löfได้แนะนำทฤษฎีแบบพึ่งพาซึ่งทั้งหลักการนี้และสัจพจน์ต่อมาได้ถือกำเนิดType : Typeขึ้น ระบบนี้กลับกลายเป็นว่าไม่สอดคล้องกันด้วยเหตุผลที่ละเอียดอ่อน: ความขัดแย้งที่ไร้เดียงสาของรัสเซลไม่สามารถเล่นได้ สิ่งนี้กระตุ้นให้เกิดวิกฤตแห่งศรัทธาเช่นเดียวกับรัสเซลส่งผลให้เกิดทฤษฎีประเภทภาคกริยากับจักรวาลที่เรารู้จักและชื่นชอบ

มีวิธีที่จะซ่อมแซมทฤษฎีเพื่อให้ "บริสุทธิ์" impredicativity a la Zermelo ตั้งทฤษฎีส่งผลให้ทฤษฎีประเภทเช่นแคลคูลัสก่อสร้าง แต่ความเสียหายที่เกิดขึ้นและ "สวีเดนโรงเรียน" ทฤษฎีประเภทมีแนวโน้มที่จะปฏิเสธ impredicativity

หลายจุด:

สิ่งนี้เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์ intuitionistic? คำตอบก็คือไม่มาก. ในช่วงเปลี่ยนศตวรรษที่ XX นักคณิตศาสตร์มีแนวโน้มที่จะทำให้เกิดความสับสนในการใช้หลักการแบบวงกลม / การเลียนแบบด้วยการใช้เหตุผลที่ไม่สร้างสรรค์ (การปรีชาที่การใช้เหตุผลแบบ impredicative ดูเหมือนจะถือว่าจักรวาลคณิตศาสตร์ที่มีอยู่ก่อนเช่นเดียวกับการใช้ อย่างไรก็ตามมีทฤษฎี impredicative intuitionistic อย่างสมบูรณ์ (เช่นIZF ) คนที่มีความสนใจในสัญชาตญาณก็ยังมีแนวโน้มที่จะสนใจ predicativism ด้วยเหตุผลบางอย่าง (แน่นอนว่าฉันมีความผิดในเรื่องนี้)
สิ่งที่สามารถที่คุณทำในคณิตศาสตร์กริยา? เมื่อมาร์ตินชี้ให้เห็นในคำตอบของเขาแฮร์มันน์ไวล์ (เพื่อไม่ให้สับสนกับอังเดรไวล์) เริ่มโปรแกรมที่พยายามสำรวจพลังของระบบกริยาซึ่งเป็นจุดเริ่มต้นของระบบกฤตภาค Peano Arithmeticและอันดับสอง เลขคณิตซึ่งค่อนข้างเห็นด้วยที่จะเป็นที่น่าประทับใจตามมาตรฐานส่วนใหญ่ (และเปรียบได้กับ System F ทางด้านทฤษฎีชนิด) โปรแกรมถูกขนานนามในภายหลังว่า "reverse math" ขณะที่มันพยายามจำแนกความแข็งแกร่งของทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ที่รู้จักในแง่ของสัจพจน์ที่จำเป็นในการพิสูจน์พวกเขา หน้าวิกิพีเดียให้ภาพรวมที่ดี โปรแกรมนี้ประสบความสำเร็จทีเดียวส่วนใหญ่ของคณิตศาสตร์ในศตวรรษที่ XIX นั้นสามารถนำไปใช้กับระบบที่อ่อนแอได้อย่างง่ายดาย มันยังคงเป็นคำถามที่เปิดกว้างว่าโปรแกรมนี้สามารถขยายผลการค้นหาในทฤษฎีล่าสุดของหมวดหมู่ที่สูงขึ้นได้หรือไม่ (ข้อสงสัยคือคำตอบคือ

— Cody
แหล่งที่มา

โพสต์ที่ดีของคุณมีคำพูดที่น่าสนใจมาก: " เห็นด้วยค่อนข้างมากที่จะเป็นการสร้างความประทับใจให้กับมาตรฐานส่วนใหญ่ " มันชี้ไปที่บางสิ่งที่ละเอียดอ่อนนั่นคือมันยังไม่ชัดเจนว่าตรงไหนที่ควรมีการลากเส้นระหว่างภาคแสดงผลและภาคแสดงภาพ

— Martin Berger

{P A}_{2}

$\mathrm{PA}_2$

มิติหนึ่งคือการอนุมานชนิด ตัวอย่างการอนุมานของ System F นั้นไม่สามารถตัดสินใจได้ แต่บางส่วนของเพรดิเคตจะมีการอนุมานประเภทที่ได้ (บางส่วน)

อีกมิติหนึ่งคือความมั่นคงในฐานะตรรกะ นักคิดที่โดดเด่นมีความรู้สึกไม่สบายใจในอดีตเกี่ยวกับการมีพื้นฐานทางคณิตศาสตร์ที่ไม่น่าประทับใจ ท้ายที่สุดมันเป็นรูปแบบของการใช้เหตุผลแบบวงกลม ฉันคิดว่า H. Weyl อาจเป็นคนแรกหรือคนแรกที่พยายามสร้างคณิตศาสตร์ให้มากที่สุดเท่าที่จะทำได้ในทางที่เป็นไปได้ ... เพื่อความปลอดภัย เราได้เรียนรู้ว่าหนังสือเวียนของการเลียนแบบไม่ได้เป็นปัญหาในวิชาคณิตศาสตร์แบบคลาสสิกในแง่ที่ว่าไม่มีการโต้แย้งใด ๆ ที่ได้มาจากคำจำกัดความที่ทำให้เชื่อง 'เชื่อง' เมื่อเวลาผ่านไปเราเรียนรู้ที่จะไว้วางใจพวกเขา โปรดทราบว่านี่ (ไม่มีเส้นขนาน) เป็นเชิงประจักษ์สังเกต! อย่างไรก็ตามการพัฒนาทฤษฎีการพิสูจน์จำนวนมากด้วยสิ่งก่อสร้างลำดับที่แปลกประหลาดมีเป้าหมายสูงสุดคือความปรารถนาที่จะสร้างคณิตศาสตร์ 'จากเบื้องล่าง' ทั้งหมดโดยไม่มีคำ จำกัด โปรแกรมนี้ยังไม่เสร็จสมบูรณ์ ในช่วงไม่กี่ปีที่ผ่านมาความสนใจในพื้นฐานของวิชาคณิตศาสตร์ได้เปลี่ยนจากความกังวลเรื่องความขัดแย้งไปสู่เนื้อหาการพิสูจน์หลักฐานซึ่งน่าสนใจด้วยเหตุผลหลายประการ ปรากฎว่าคำจำกัดความที่ทำให้ยากต่อการแยกเนื้อหาการคำนวณ อีกมุมหนึ่งที่กังวลเกี่ยวกับความมั่นคงมาจากประเพณีของ Curry-Howard ทฤษฎีดั้งเดิมของมาร์ติน - โลฟเป็นสิ่งที่ไม่คาดฝัน ... และไม่แน่นอน หลังจากการช็อกครั้งนั้นเขาเสนอเพียงระบบกริยา แต่รวมกับประเภทข้อมูลแบบอุปนัยเพื่อฟื้นพลังของความไม่สามารถคาดเดาได้มาก

— มาร์ตินเบอร์เกอร์
แหล่งที่มา

เพื่อความเป็นธรรมรัสเซลเป็นหนึ่งในคนแรกที่จะลอง แม้ว่าเขาจะยอมรับความพ่ายแพ้ (กับความจริงของการลดทอน) แต่

— ดี้

@ โคดี้ฉันไม่คุ้นเคยกับประวัติศาสตร์ของความพยายามเหล่านี้มากเกินไป Weyl (และ S. Feferman) ประสบความสำเร็จแค่ไหนในความพยายามของพวกเขา? MLTT / HOTT ใช้ได้ผลแน่นอนฉันจะบอกว่า

— Martin Berger

โดยทั่วไป Weyl ประสบความสำเร็จอย่างมากกล่าวคือคลังข้อมูลส่วนใหญ่ของการวิเคราะห์สามารถทำเป็นระเบียบโดยไม่ต้องสนใจคณิตศาสตร์ลำดับที่ 2 ร่างกายของงานได้กลายเป็นส่วนหนึ่งของReverse Mathematicsซึ่งจะคำนวณปริมาณของ "impredicativity" ที่คุณต้องการอย่างแม่นยำ

— ดี้

มันไม่เป็นความจริงที่ทฤษฎีการพิสูจน์สามารถ "ด้วยการสร้างแบบแปลก ๆ " สร้างคณิตศาสตร์ทั้งหมดโดยไม่มีคำจำกัดความ ปัญหาคือทฤษฎีการพิสูจน์ไม่ได้ทำในสุญญากาศ แต่ในระบบที่เป็นทางการซึ่งจะมีลำดับการพิสูจน์ตามทฤษฎีที่ว่าไม่สามารถพิสูจน์ได้จริง ดังนั้นการแสวงหานี้แน่นอนไม่สามารถเข้าถึง 'ด้านล่าง' นักตรรกวิทยาบางคนคิดว่าΓ [0] เป็นอันดับแรกที่ไม่น่าไว้วางใจและหากเป็นเช่นนั้นคุณจะติดอยู่และไม่สามารถพิสูจน์ ATR0 ได้ ถ้าไม่เช่นนั้นคุณต้องพิสูจน์ว่าΓ [0] เป็นภาคแสดง คุณเป็นอย่างไรบ้าง

— user21820

@ user21820 ฉันไม่ได้บอกว่าคณิตศาสตร์ทั้งหมดสามารถสร้างขึ้นได้โดยไม่มีคำจำกัดความที่น่าสงสัยนั่นเป็นคำถามเปิด

— Martin Berger

ประเภททฤษฎีมีแนวโน้มไปสู่เหตุผลส่วนใหญ่เหตุผลทางเทคนิค - จิตวิทยา

ประการแรกแนวคิดทางการของการกระทำผิดกฎหมายสามารถทำเป็นทางการได้ (อย่างน้อย) สองวิธีที่ต่างกัน อันดับแรกเราบอกว่าทฤษฎีประเภทเช่น System F เป็นสิ่งที่ไม่สามารถคาดเดาได้เพราะการจำแนกปริมาณสามารถครอบคลุมได้ทุกประเภท (รวมถึงประเภทของปริมาณที่เป็นของ) ดังนั้นเราจึงสามารถนิยามตัวดำเนินการทั่วไปและองค์ประกอบประกอบ:

\begin{array}{lclll} ผม d & : & \forall a . a \to a & = & Λ a . λ x . x \\ ค โอ ม. พี โอ s อี & : & \forall a, ข, ค . (a \to ข) \to (ข \to ค) \to (a \to ค) & = & Λ a, ข, ค . λ ฉ, ก. . λ x . ก. (ฉ x) \end{array}

$\begin{array}{lclll} \mathit{id} & : & \forall a.\; a \to a & = & \Lambda a.\;\lambda x.\;x\\ \mathit{compose} & : & \forall a, b, c.\; (a \to b) \to (b \to c) \to (a \to c) & = & \Lambda a,b,c.\lambda f, g. \lambda x. g(f\;x) \end{array}$

อย่างไรก็ตามทราบว่าในมาตรฐาน (เช่น ZFC) ทฤษฎีเซตดำเนินการเหล่านี้ไม่ได้เป็นวัตถุที่กำหนด นอกจากนี้ไม่มีสิ่งดังกล่าวเป็น "ฟังก์ชั่นตัวตน" ในการตั้งทฤษฎีเพราะฟังก์ชั่นเป็นความสัมพันธ์ระหว่างชุดของโดเมนและชุดโคโดเมนและถ้าฟังก์ชันเดียวอาจจะมีฟังก์ชั่นตัวตนแล้วคุณสามารถใช้มันเพื่อสร้างชุด ของชุดทั้งหมด (นี่คือวิธีที่ John Reynolds แสดงให้เห็นว่า polymorphism สไตล์ System-F ไม่มีแบบจำลองทฤษฎีเซต)

$X$ $S$ $P$ $X$ $P$ $X$

ดังนั้น impredicativity แบบ F จึงไม่สอดคล้องกับมุมมองที่ไร้เดียงสาของประเภท หากคุณใช้ทฤษฎีประเภทเป็นผู้ช่วยพิสูจน์มันเป็นเรื่องดีที่จะสามารถคำนวณทางคณิตศาสตร์มาตรฐานให้กับเครื่องมือของคุณได้อย่างง่ายดายและผู้คนส่วนใหญ่ที่ใช้ระบบดังกล่าวก็เพียงแค่ลบการแสดงตนออกไป วิธีนี้ทุกอย่างมีทั้งการอ่านเชิงทฤษฎีเซตและเชิงทฤษฎีและคุณสามารถตีความประเภทในสิ่งที่แฟชั่นสะดวกที่สุดสำหรับคุณ

— Neel Krishnaswami
แหล่งที่มา

N

$\mathbb{N}$

N

$\mathbb{N}$