ความซับซ้อนของการกู้คืนเมทริกซ์คำคุณศัพท์จากตาราง

ฉันสนใจในปัญหาต่อไปนี้: สมมติว่าเมทริกซ์จะมีกราฟไม่มีทิศทางในจุดที่มีถ้อยคำเมทริกซ์สแควร์ที่มีเมทริกซ์? $n\times n$ $n$

ความซับซ้อนในการคำนวณของปัญหานี้เป็นที่รู้จักหรือไม่?

หมายเหตุ:

หลักสูตรนี้ยังสามารถนำมาเรียบเรียงเป็นปัญหาการค้นหาที่คุณจะได้รับเมทริกซ์สำหรับเมทริกซ์ถ้อยคำของกราฟไม่มีทิศทางและปัญหาที่เกิดขึ้นคือการหาเมทริกซ์ถ้อยคำใด ๆ (ของ undirected กราฟ) ดังกล่าวว่า . $A^2$ $A$ $B$ $B^2 = A^2$
Motwani และซูดาน (การคำนวณรากของกราฟเป็นเรื่องยาก , 1994) และ Kutz ( ความซับซ้อนของการคำนวณรูทเมทริกซ์บูลีน , 2004) แสดงปัญหาที่คล้ายกัน แต่แตกต่างจากอันนี้คือ NP-hard - พวกเขาพิจารณาเฉพาะตารางเมทริกซ์ภายใต้ Boolean การคูณ

cc.complexity-theory graph-theory

ปัญหานี้เทียบเท่ากับการตัดสินใจว่ามีเวกเตอร์

ตัวด้วยผลิตภัณฑ์ด้านในเป็นคู่

n

$n$

— Mohammad Al-Turkistany

เมื่อไม่นานมานี้มีกระดาษตอบคำถามนี้สำหรับเมทริกซ์แบบสโทแคสติกแทนที่จะเป็นเมทริกซ์แบบ adjacency ( arxiv.org/abs/1411.7380 ) คุณสมบัติของการเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสในบริบทนี้เรียกว่าการหารและแสดงให้เห็นว่าเป็น NP-complete ในกระดาษที่ฉันกล่าวถึง

— Māris Ozols

@ MohammadAl-Turkistany พวกเขามีวิธีการที่เท่าเทียมกันอย่างไร วิธีแก้ปัญหาของ OP ต้องการโครงสร้างเพิ่มเติมมากกว่าเวกเตอร์ทั่วไป (จำนวนเต็มค่าดัชนีบางตัวต้องเป็นศูนย์และอื่น ๆ )

— Jeremy Kun

สิ่งนี้ควรเกี่ยวข้องกับการตรวจสอบว่าลำดับองศาเป็นกราฟิกหรือไม่ แจ้งให้ทราบว่าใน

เส้นทแยงมุมหมายถึงลำดับการศึกษาระดับปริญญาและ

จำนวนเพื่อนบ้านที่พบบ่อยของจุด

ดังนั้นจึงเป็นข้อ จำกัด ของปัญหาลำดับกราฟิกระดับ ไม่รู้ว่าจะแก้ยังไง

A^{2}

$A^2$

(A^{2})_{i j}

$(A^2)_{ij}$

i, j

$i,j$

— SamiD

คำตอบ:

เป็นที่รู้จักกันว่ากำลังสองของกราฟสองฝ่ายสามารถรับรู้ในเวลาพหุนาม (ดูนี้ ) โดยทั่วไปมีลักษณะของความซับซ้อนของปัญหานี้ขึ้นอยู่กับเส้นรอบวงของกราฟพื้นฐาน

เมื่อเร็ว ๆ นี้มีการเพิ่มประสิทธิภาพที่แตกต่างการศึกษาซึ่งจะช่วยให้ขั้นตอนวิธีการ FPT สำหรับปัญหาที่เกิดขึ้นเมื่อคุณต้องการที่จะทดสอบว่ากราฟมีรากที่มีมากที่สุด (ตามลำดับอย่างน้อย) ขอบสำหรับบางคนได้รับจำนวนเต็มs $s$ $s$

— Nikhil
แหล่งที่มา

ขอขอบคุณสำหรับการตอบสนอง แต่ผลลัพธ์ที่คุณพูดถึงไม่เกี่ยวข้องกับปัญหานี้ - พวกเขาถือว่าเป็นในกระดาษของ Motwani และซูดานที่เมทริกซ์ให้เป็นเมทริกซ์ถ้อยคำและเป้าหมายคือการหากราฟอื่นซึ่งถ้อยคำเมทริกซ์สแควร์ภายใต้ การคูณเมทริกแบบบูลคือเมทริกซ์ที่กำหนด ในขณะที่ปัญหานี้ไม่ใช่บูลีน แต่เป็นการคูณเมทริกซ์จำนวนเต็ม กล่าวอีกอย่างหนึ่งปัญหานี้ไม่ได้เกี่ยวกับสแควร์รูทของกราฟเนื่องจากใช้คำนั้น

— เบ็นฟิช

@BenFish โอ๊ะโอ เข้าใจผิดคำถามของคุณ สำหรับเมทริกซ์จำนวนเต็มฉันไม่เห็นวิธีที่ดีไปกว่าการประมาณสแควร์รูทของเมทริกซ์ แต่ฉันคิดว่าคุณสนใจที่จะคำนวณสิ่งนี้เป็นสแควร์รูทของกราฟถ่วงน้ำหนัก (และฉันไม่รู้ว่าจะทำอย่างไร)

— Nikhil

@Nikhil สแควร์รูทของเมทริกซ์ไม่ซ้ำกันดังนั้นการทำเช่นนี้จึงไม่สามารถแก้ปัญหาได้

— เลฟเรซิน

@LevReyzin คุณถูกต้อง โดยทั่วไปแล้วฉันคิดว่าเอกลักษณ์สามารถแยกแยะได้จากสเปกตรัมของเมทริกซ์ (บางทีพวกมันอาจไม่ได้ให้เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอ) มีผลลัพธ์ที่น่าสนใจบางส่วนที่รู้จักกันสำหรับเมทริกซ์สุ่ม - ดูeprints.ma.man.ac.uk/1241/01/covered/MIMS_ep2009_21.pdf

— Nikhil

หากกราฟที่อยู่เบื้องล่างเป็นกราฟแบบกระจาย, สุ่ม, ใคร ๆ ก็สามารถแก้ปัญหา "กราฟสแควร์รูท" ในเวลาพหุนาม นี่เป็นความจริงสำหรับกราฟถ่วงน้ำหนัก ตัวอย่างของเอกสารที่ใช้ความคิดนี้มีการหาชุมชนที่ทับซ้อนกันในเครือข่ายทางสังคมและพิสูจน์ได้ขอบเขตสำหรับการเรียนรู้บางรับรองลึก มีความคิดเกี่ยวกับอัลกอริทึมที่คล้ายกันสำหรับรูทคิวบ์กราฟ, รูทที่สี่และอื่น ๆ ไหม?

— Pratik
แหล่งที่มา