เมื่อใดที่กราฟยอมรับการวางแนวที่เดินอย่างน้อยหนึ่งครั้ง

พิจารณาปัญหาต่อไปนี้:

อินพุต: กราฟที่เรียบง่าย (ไม่ระบุทิศทาง) $G=(V,E)$.

คำถาม: มีการปฐมนิเทศ $G$ พึงพอใจในทรัพย์สินที่มีไว้สำหรับทุกคน $s,t \in V$ มีอย่างน้อยหนึ่ง (กำกับ) $s$-$t$ เดิน?

สิ่งนี้สามารถใช้ถ้อยคำที่เท่ากันเป็น:

อินพุต: กราฟที่เรียบง่าย (ไม่ระบุทิศทาง) $G=(V,E)$.

คำถาม: มีการวางแนวของวงจร $G$ พึงพอใจในทรัพย์สินที่มีไว้สำหรับทุกคน $s,t \in V$ มีอย่างน้อยหนึ่ง (กำกับ) $s$-$t$ เส้นทาง?

กราฟประเภทใดที่คำตอบคือ "ใช่" สามารถแก้ไขปัญหานี้ได้ในเวลาพหุนามหรือไม่?

ข้อสังเกตบางอย่าง:

1. หากกราฟเป็นสองฝ่ายคำตอบคือ "ใช่"
2. หากกราฟมีสามเหลี่ยมแสดงว่าคำตอบคือ "ไม่"

การสังเกตครั้งแรกตามมาด้วยการปรับขอบจากพาร์ติชันหนึ่งไปยังอีกพาร์ติชัน การสังเกตที่สองนั้นง่ายต่อการตรวจสอบ นี่ทำให้ฉันเดาผิดสองครั้ง:

1. คำตอบคือ "ใช่" ถ้าหากกราฟเป็นสองฝ่าย (ตัวอย่าง: 5 รอบ)
2. คำตอบคือ "ใช่" ถ้าหากกราฟไม่มีสามเหลี่ยม (ตัวอย่าง: ผลิตภัณฑ์คาร์ทีเซียนของขอบที่มี 5 รอบ)

มันสมบูรณ์แบบด้วยการลดลงจากไม่เท่ากับ 3SAT หากต้องการดูสิ่งนี้ให้สังเกตว่า

• การวางแนวที่ถูกต้องเพียงอย่างเดียวของ $4$- จักรยานเป็นสิ่งหนึ่งที่การเปลี่ยนทิศทางของขอบ
• ปล่อย $P$ เป็นเส้นทางที่ไม่มีทิศทางแบบสามขอบและเพิ่มจุดยอดองศาสองที่อยู่ติดกับจุดสิ้นสุดของ $P$ ในรูปแบบ $5$-cycle จากนั้นทิศทางเดียวของ$P$ ที่สามารถขยายไปยังทิศทางที่ถูกต้องของทั้ง $5$- จักรยานเป็นสิ่งที่ $P$ ไม่ได้มุ่งเน้นอย่างสม่ำเสมอเป็นเส้นทางกำกับ

เราสร้าง gadget ตัวแปรสำหรับตัวแปร $v$ ที่เป็นของ $k$ ส่วนคำสั่งที่แตกต่างกันของอินสแตนซ์ NAE-3SAT โดยติดกาวเข้าด้วยกัน $k$ ที่ใช้ร่วมกัน $4$- แทนที่บนขอบที่ใช้ร่วมกัน จากนั้นในแต่ละครั้ง$4$- วัฏจักร, ขอบตรงข้ามกับขอบที่ใช้ร่วมกันจะต้องมีการมุ่งเน้นอย่างสม่ำเสมอกับทุก ๆ $4$-cycles เราจะเชื่อมโยงค่าความจริงของตัวแปรกับการวางแนวที่สอดคล้องกันของขอบเหล่านี้ นอกจากนี้ในทิศทางที่ถูกต้องของแต่ละเหล่านี้$4$- วัฏจักรไม่มีเส้นทางจากที่หนึ่ง $4$- จักรยานเข้าอีก $4$- รถจักรยานยนต์ดังนั้นแกดเจ็ตเหล่านี้สามารถโต้ตอบกันได้เฉพาะในการวางแนวขอบและไม่ผ่านเส้นทางที่ยาวกว่า

เราสร้างโปรแกรมเบ็ดเตล็ดประโยคสำหรับประโยค 3 ตัวแปรของอินสแตนซ์ NAE-3SAT โดยติดกาวสามรายการด้วยกัน $4$- ขอบจักรยานตรงข้ามกับขอบที่ใช้ร่วมกันของแกดเจ็ตตัวแปรสามตัวที่เหมาะสมลงในพา ธ แบบ 3 ขอบ $P$ แล้วเพิ่มจุดยอดองศาสองให้เสร็จสมบูรณ์ $P$ เป็น $5$-cycle ตามที่กล่าวไว้ข้างต้นสิ่งนี้$5$- จักรยานสามารถมุ่งเน้นอย่างต่อเนื่องถ้าหากว่าสามขอบนั้นไม่ได้มุ่งเน้นทั้งหมดเป็นเส้นทางกำกับซึ่ง (เมื่อติดกาวอย่างถูกต้อง) จะเป็นจริงถ้าหากค่าความจริงที่เกี่ยวข้องกับการหมุนเหล่านี้ไม่เท่ากันทั้งหมด

โดยวิธีการที่ DAGS อย่างมากที่สุด $s$-$t$ เดินสำหรับแต่ละ $s$-$t$คู่ก่อนหน้านี้ได้รับการศึกษาเป็น "multitrees", "กราฟชัดเจนอย่างยิ่ง" หรือ "โกงกาง"; ดูhttps://en.wikipedia.org/wiki/Multitree