การแบ่งขอบเป็นรูปสามเหลี่ยมสีรุ้ง

ฉันสงสัยว่าปัญหาต่อไปนี้คือ NP-hard หรือไม่

การป้อนข้อมูล: $G = (V,E)$ กราฟอย่างง่ายและการระบายสี $f : E \to \{1,2,3\}$ ของขอบ ($f$ ไม่ได้ตรวจสอบคุณสมบัติเฉพาะใด ๆ )

คำถาม:เป็นไปได้หรือไม่ที่จะแบ่งพาร์ติชัน$E$ เข้าไป $|E|/3$ สามเหลี่ยมดังกล่าวว่าสามเหลี่ยมแต่ละอันมีหนึ่งขอบของแต่ละสีใช่หรือไม่

ฉันรู้ว่าไม่มีปัญหาเรื่อง "การแบ่งพาร์ติชั่น" กราฟเข้ามา $K_n$, $n \geq 3$คือ NP-hard (ดูNP-ครบถ้วนของปัญหา Part-Partition Edge ) แต่ด้วยสีฉันไม่รู้

ฉันจะสนใจผลการแบ่งขอบเป็นรุ้ง $K_c$กับ $c$คงที่ แน่นอนในกรณีนี้ปัญหาจะกลายเป็น:

การป้อนข้อมูล: $G = (V,E)$ กราฟอย่างง่ายและการระบายสี $f : E \to \{1,\ldots,c(c-1)/2\}$ ของขอบ ($f$ ไม่ได้ตรวจสอบคุณสมบัติเฉพาะใด ๆ )

คำถาม:เป็นไปได้หรือไม่ที่จะแบ่งพาร์ติชัน$E$ เข้าไป $|E|/(c(c-1)/2)$ $K_c$อย่างนั้นแต่ละกลุ่ม $K_c$ มีหนึ่งขอบของแต่ละสี

ฉันติดตามการเชื่อมโยงในคำถามและการลดลงที่นั่นทำให้เกิดกราฟที่มีขอบมีการระบายสีตามธรรมชาติเช่นนั้น $K_n$ ปัจจุบันในกราฟคือ "รุ้ง $K_n$"(มีขอบหนึ่งสีของแต่ละสี) ในคำอื่น ๆ เราสามารถปรับการลดลงของกระดาษให้ง่ายขึ้นเพื่อลดปัญหาของคุณแทนที่จะลดการแบ่งเป็น $K_n$ปัญหา: เพียงแค่กำหนดสีให้กับแต่ละสีตามสีธรรมชาตินี้จากนั้นกราฟก็สามารถแบ่งเป็น "รุ้ง" $K_n$ถ้าหากมันสามารถแบ่งพาร์ติชั่นได้ $K_n$s ทั้งหมด

โครงสร้างพื้นฐานของการลดกระดาษนั้นสามารถทำได้ด้วย 3 ขั้นตอนดังต่อไปนี้:

1. สร้างสำเนาของกราฟจำนวนมาก $H_{n,p}$.
2. ระบุชิ้นส่วนบางส่วนของ $H_{n,p}$ กับแต่ละอื่น ๆ (เช่นผสานจุดยอด / ขอบระหว่างสำเนาที่แตกต่างกันของ $H_{n,p}$)
3. ลบจุดยอด / ขอบบางอันออกจากสำเนาบางชุด

กราฟ $H_{n,p}$ มีจุดยอดของความยาว -$n$ เวกเตอร์โมดูโล $p$ ซึ่งส่วนประกอบเพิ่มไป $0$ พอควร $p$. ขอบเชื่อมต่อทุกสองจุดยอดที่แตกต่างกันในสององค์ประกอบเท่านั้นที่มีความแตกต่างของ$+1$ และ $-1$ ในองค์ประกอบทั้งสองนั้น

ฉันเสนอสีต่อไปนี้สำหรับกราฟนี้: กำหนดสีให้กับแต่ละขอบตามทิศทางของมัน ถ้า$x$ และ $y$ จุดยอดที่อยู่ติดกันแล้ว $x-y$ เป็นเวกเตอร์ด้วย $n-2$ ส่วนประกอบเท่ากับ $0$องค์ประกอบหนึ่งเท่ากับ $1$ และองค์ประกอบหนึ่งเท่ากับ $-1$. ในคำอื่น ๆ สำหรับทุกขอบ$(x, y)$ มี ${n \choose 2}$ ตัวเลือกที่องค์ประกอบของ $x-y$ไม่ใช่ศูนย์ หากเรากำหนดสีที่เป็นเอกลักษณ์ให้กับตัวเลือกเหล่านี้แต่ละตัวเราจะทำการระบายสีสำหรับขอบทั้งหมดเพื่อให้ทุกขอบในทิศทางเดียวกันมีสีเดียวกัน มันค่อนข้างง่ายที่จะตรวจสอบว่าไม่มีสองขอบใน$K_n$ในอยู่ในทิศทางเดียวกัน ดังนั้นทุกในเป็นรุ้งภายใต้สีนี้$H_{n,p}$$K_n$$H_{n,p}$$K_n$

เมื่อเราทำตามการลดลงเราจะใช้สีนี้สำหรับสำเนาของทุกp} ดังนั้นในตอนท้ายของขั้นตอนที่ 1 ในรายการดังกล่าวข้างต้นทุกในกราฟเป็นรุ้งK_n$H_{n,p}$$K_n$$K_n$

ในขั้นตอนที่ 2 ของรายการด้านบนเราจะระบุจุด / ขอบบางจุดซึ่งกันและกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการลดเราจะระบุกับอื่นเสมอ แต่ในสถานการณ์เช่นนี้ (ที่ทุก s จากสำเนาของ ) ทุกเป็นทั้งคำแปลของ "มาตรฐาน " ซึ่งกระดาษที่เรียกหรือการแปลของ-Kดังนั้นเรากำลังระบุ s สองขนานหรือสอง s ที่เป็น "flips" ของกันและกัน ในกรณีใดกรณีหนึ่งขอบที่ระบุทั่วทั้งสอง$K_n$$K_n$$K_n$$H_{n,p}$$K_n$$K_n$$K$$-K$$K_n$$K_n$$K_n$s ขนานและดังนั้นจึงเป็นสีเดียวกัน ตัวอย่างเช่นดูรูปที่ 2 ในกระดาษ ขอบที่ระบุจะขนานกันเสมอ ดังนั้นเนื่องจากเราไม่เคยพยายามระบุขอบสองสีที่แตกต่างกันการระบายสีที่ส่วนท้ายของขั้นตอนที่ 1 ในรายการด้านบนสามารถขยายเป็นสีตามธรรมชาติในตอนท้ายของขั้นตอนที่ 2 การระบุจุดยอด / ขอบบางอย่างเข้าด้วยกันไม่ได้สร้างขึ้น ใหม่ ๆ s จึงเป็นสิ่งที่ยังคงเป็นกรณีที่ส่วนท้ายของขั้นตอนนี้ที่ว่าทุกเป็นรุ้งK_n$K_n$$K_n$$K_n$

สุดท้ายในขั้นตอนที่ 3 เราลบบางจุด / ขอบซึ่งยังไม่ได้สร้างใหม่ ๆ s ดังนั้นเราจึงมีคุณสมบัติที่ต้องการของเรา: ภายใต้สีผมให้ทุกในกราฟที่สร้างขึ้นโดยการลดลงนี้เป็นรุ้งK_n$K_n$$K_n$$K_n$