สามารถใช้ผลลัพธ์การจัดรูปแบบใหม่เพื่อพิสูจน์ประโยคที่เป็นอิสระอย่างเป็นทางการได้หรือไม่?


12

เป็นไปได้หรือไม่ที่จะแสดงให้เห็นว่าประโยคนั้นต้องเป็นอิสระอย่างเป็นทางการบนพื้นฐานของข้อเท็จจริงที่ว่ามันไม่เกี่ยวข้องกันหรือไม่? กล่าวอีกนัยหนึ่งมีตัวอย่างของประโยคในทฤษฎีการคำนวณ / ความซับซ้อนที่สามารถแสดงให้เห็นทั้งสองก) ว่าการพิสูจน์ทั้งหมดที่แก้ไขปัญหาว่าทั้งสองคลาสนั้นเท่ากันหรือไม่นั้นต้อง relativize และ b) ไม่มีการพิสูจน์ความสัมพันธ์ที่ สามารถใช้ในการแก้ปัญหาดังกล่าวหรือไม่?

ฉันคิดว่าผลลัพธ์ที่น่าพึงพอใจในส่วน b จะง่ายขึ้น อีกวิธีหนึ่งที่จะถามคำถามนี้คือ: เคยมีประโยคหนึ่งในทฤษฎีการคำนวณหรือความซับซ้อนที่สามารถแสดงให้เห็นได้ว่าต้องสร้างความเสมอภาคหรือความไม่เท่าเทียมกันโดยใช้เทคนิคการ relativizing (และผ่านการใช้เท่านั้น)? ตัวอย่างนี้น่าสนใจสำหรับฉัน

ขอบคุณ; คำตอบของคำถามนี้ทั้งสองฉบับน่าสนใจมากสำหรับฉัน

ฟิลิป

คำตอบ:


18

ไม่มีคำถามทฤษฎีความซับซ้อนที่ "เป็นธรรมชาติ" ซึ่งได้รับการพิสูจน์แล้วว่าเป็นอิสระจากระบบที่เป็นทางการที่ทรงพลังเช่นทฤษฎีเซต ZF หรือ Peano Arithmetic (ใคร ๆ ก็สามารถสร้างคำถามนี้ขึ้นมาได้โดยการเล่นเกมกับประโยคGödel)

ในทางตรงกันข้ามใช่คุณสามารถตีความคำแถลงว่าประโยค S เกี่ยวข้องกับความหมายที่ว่า S สามารถพิสูจน์ได้จากชุดสัจพจน์ที่ถูก จำกัด บางอย่าง ในทางกลับกันการดำรงอยู่ของออร์คิดทำให้ S เป็นจริงหรือเท็จเทียบเท่ากับ S ที่เป็นอิสระจากสัจพจน์ดังกล่าว นี่คือเอกสารที่จะอ่านเกี่ยวกับเรื่องนี้โดย Arora, Impagliazzo และ Vazirani

นี่เป็นการเชื่อมต่อทางคณิตศาสตร์ที่สวยงามมาก - แต่มันก็คุ้มค่าที่เราต้องเน้นว่ามีเทคนิค (เช่นการคำนวณแบบ arithmetization) ซึ่งอยู่นอกสัจพจน์สัมพัทธภาพ และฉันไม่รู้ผลลัพธ์ใด ๆ ของแบบฟอร์ม "ถ้าปัญหาแบบเปิดตามธรรมชาติสามารถแก้ไขได้เลยมันก็สามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีที่สัมพันธ์กัน"


4
ฉันคิดว่า Impagliazzo-Kabanets-Kolokolova ขยาย Arora-Impagliazzo-Vazirani ไปเป็น arithmetization ใน STOC 2009: dx.doi.org/10.1145/1536414.1536509
Joshua Grochow
โดยการใช้ไซต์ของเรา หมายความว่าคุณได้อ่านและทำความเข้าใจนโยบายคุกกี้และนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราแล้ว
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.