เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับการล่มสลายของ Polynomial Hierarchy (PH)

อะไรคือสิ่งที่ยืนยัน (ไม่เป็นที่รู้จัก) ว่าถ้าเป็นจริง PH จะต้องล่มสลาย?

การตอบกลับที่มีข้อความยืนยันระดับสูงสั้น ๆ พร้อมการอ้างอิงจะได้รับการชื่นชม ฉันพยายามค้นหาแบบย้อนกลับโดยไม่มีโชค

มีจำนวน (เพิ่มขึ้น) ของผลลัพธ์ที่ซับซ้อนของพารามิเตอร์ที่การมีอยู่ของเคอร์เนลขนาดโพลิโนเมียหมายถึงการล่มสลายของ PH ไปยังระดับที่สาม เทคนิคกลางได้รับใน [1] การสร้างงานก่อนหน้า (อ้างอิงใน [1])

ตัวอย่างง่ายๆปัญหา -Path เป็นเวอร์ชันที่มีพารามิเตอร์ของปัญหา Longest Path:$k$

-Path$k$
อินสแตนซ์: กราฟและจำนวนเต็มk พารามิเตอร์: k . คำถาม: Gมีเส้นทางความยาว kหรือไม่?$G$$k$
$k$
$G$$k$

ปัญหานี้อยู่ในเอฟพีที (มีขั้นตอนวิธีการปฏิบัติบ้าง) แต่ใน [2] พวกเขาแสดงให้เห็นว่าถ้ามันมีเมล็ดขนาด polynomially (ใน ) จากนั้นค่า PH ทรุดΣ P 3 (โดยทั่วไปแล้วการนำเสนอในปัจจุบันจะใช้ถ้อยคำเป็นผลลบเชิงลบยกเว้นเว้นแต่ NP ⊆ coNP / โพลีหรือ coNP ⊆ NP / โพลีดังนั้นการค้นหาบางสิ่งเช่น "ไม่มีเคอร์เนลโพลิโนเมียลยกเว้น" ทำให้ผลลัพธ์จำนวนมาก)$k$$\Sigma^{P}_{3}$$\subseteq$$\subseteq$

อ้างอิง

1. HL Bodlaender, BMP Jansen และ S. Kratsch, "เคอร์เนลลดขอบเขตด้วยการจัดองค์ประกอบข้าม", SIAM J. คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง, 28 (2014), หน้า 277–305 [เวอร์ชั่น arXiv]
2. HL Bodlaender, RG Downey, MR Fellows, D. Hermelin, "ในปัญหาที่ไม่มีเมล็ดพหุนาม", วารสารคอมพิวเตอร์และระบบวิทยาศาสตร์, 75 (8): 423-434 2552. [เวอร์ชั่นโฮสต์ของ Stanford]

นี่เป็นอีกเงื่อนไขที่น่าสนใจภายใต้พหุนามลำดับชั้นทรุดฮวบลงไปถึงระดับที่สาม: สมมติว่าภาษา NP-สมบูรณ์มีการสุ่มลดตัวเอง (ที่ไม่ใช่การปรับตัว) แล้วลำดับชั้นของพหุนามทรุด 3 สำหรับการอ้างอิง: ดูLuca Trevisan หมายเหตุ (ทฤษฎีบท 67)$\Sigma_{3}^{P}$

เงื่อนไขที่น่าสนใจอีกประการหนึ่งคือ:

เรารู้ว่าการประมาณอยู่ในB P P N P (ตอนนี้B P PในΣ P 2ทำให้การประมาณ# 3 S A TในΣ P 3 )$\#3SAT$$BPP^{NP}$$BPP$$\Sigma_2^{P}$$\#3SAT$$\Sigma_3^{P}$

นอกจากนี้โดยโทดะของทฤษฎีบท P$PH \subseteq P^{\#P}$

เรารวมสองสิ่งนี้เข้าด้วยกัน: หากการประมาณเทียบเท่ากับการคำนวณ# 3 S A Tแน่นอนดังนั้น Polynomial Hierarchy จะยุบลง$\#3SAT$$\#3SAT$

การล่มสลายของ PH ก็ส่อให้เห็นจากการล่มสลายของลำดับชั้นแบบบูล ผลลัพธ์ดั้งเดิมเกิดจาก Kadin [1]; มันถูกกลั่นกรองโดย Chang และ Kadin [2] เพื่อแสดงว่า

อ้างอิง:

[1] Jim Kadin ลำดับชั้นของพหุนามลดลงหากลำดับชั้นบูลีนยุบลง SIAM Journal on Computing 17 (1988), no. . 6, PP 1263-1282, ดอย: 10.1137 / 0,217,080

[2] Richard Chang และ Jim Kadin, The Boolean hierarchy และ polynomial hierarchy: การเชื่อมต่อที่ใกล้ชิด , SIAM Journal on Computing 25 (1996), no. . 2, PP 340-354, ดอย: 10.1137 / S0097539790178069

การคำนวณวิธีแก้ปัญหาที่ไม่ซ้ำสำหรับปัญหายุบP H ( Hemaspaandra-Naik-Ogihara-Selman ) แต่คุณต้องระวังนิดหน่อยเกี่ยวกับวิธีที่คุณใช้ประโยคนี้ให้เป็นระเบียบ (ตัวอย่างเช่นไม่ทราบว่าN P = U PยุบP H ) หรือไม่การทำให้เป็นระเบียบอย่างใดอย่างหนึ่งมีดังนี้:$\mathsf{NP}$$\mathsf{PH}$$\mathsf{NP}=\mathsf{UP}$$\mathsf{PH}$

สมมติว่ามีเช่นนั้นสำหรับทุกสูตร 3SAT φถ้าφไม่น่าพอใจดังนั้นไม่มีxเช่นนั้น( φ , x ) ∈ Lและถ้าφเป็นที่น่าพอใจนั่นก็คือx ที่ไม่ซ้ำกันนั้น(( φ , x ) ∈ L จากนั้นP H จะพัง$L \in \mathsf{NP}$$\varphi$$\varphi$$x$$(\varphi,x) \in L$$\varphi$ $x$$(\varphi,x) \in L$$\mathsf{PH}$

การทำให้เป็นระเบียบแบบอื่นคือ:

หมายถึง P H collapses$\mathsf{NPMV} \subseteq_c \mathsf{NPSV}$$\mathsf{PH}$

มีตัวเลือกจำนวนมากที่คาดว่าค่า PH จะไม่ยุบ ปล่อยให้ , เช่นP Hไม่ยุบ จากนั้นจึงสรุปผลลัพธ์ดังกล่าวเป็น$A := \forall i , \Sigma^{P}_{i} \neq \Pi^{P}_{i}$$\mathbb{PH}$โดยที่ B คือผลลัพธ์ที่พิสูจน์แล้ว$A \implies B$

ผลลัพธ์ที่ได้นั้นจะเทียบเท่ากับคือถ้าผลลัพธ์ไม่ถือโดยไม่มีเงื่อนไขดังนั้นPHจะต้องพัง ในอดีตผลลัพธ์เหล่านั้นมีจุดประสงค์สองประการ:$\bar{B} \implies \bar{A}$$\mathbb{PH}$

1. เพื่อเพิ่มความเชื่อมั่นต่อสัญชาตญาณที่ไม่ยุบโดยแสดงให้เห็นว่ามันแสดงถึงผลลัพธ์ที่เราเชื่อว่าเป็นจริง (หรือเทียบเท่าโดย contrapositive ซึ่งไม่น่าจะส่งผลให้เกิดการล่มสลาย)$\mathbb{PH}$
2. หากต้องการสร้างเว็บของผลลัพธ์ที่เป็นจริงหากมีการยอมรับจะไม่ยุบโดยไม่จำเป็นต้องรอการพิสูจน์ผลลัพธ์นั้น คือการสร้างผลลัพธ์ตามเงื่อนไข$\mathbb{PH}$

หมายเหตุ: มันก็ไม่ใช่เรื่องผิดปกติที่เอกสารสันนิษฐานว่าไม่ยุบนอกเหนือไปจากสมมติฐานอื่น ๆ เช่นสมมติฐาน (สรุป) Riemann จากนั้น contrapositive แสดงให้เห็นว่าสมมติฐานอย่างน้อยหนึ่งข้อเป็นเท็จ$\mathbb{PH}$

นี่คือบางส่วนที่รวบรัด:

1. Y$PSPACE \subseteq P/poly$
2. Y$EXP \subseteq P/poly$
3. กรัม $NP \subseteq P/log$