หลักฐานที่แสดงโครงสร้างที่ลึกกว่า

หลักฐานมาตรฐานของ Chernoff ผูกไว้ (จากตำราสุ่มอัลกอริทึม ) ใช้ความไม่เท่าเทียมกันมาร์คอฟและฟังก์ชั่นการสร้างช่วงเวลากับบิตของการขยายตัวเทย์เลอร์ถูกโยนเข้าไม่มีอะไรยากเกินไป

แต่มีหลักฐานอื่นที่ถูกผูกไว้กับ Chernoff ที่เปิดเผยโครงสร้างที่ลึกกว่าการขับรถผลลัพธ์ ตัวอย่างเช่นมีรุ่นข้อมูลตามทฤษฎีที่จะไปผ่านวิธีการของประเภทสุดขั้วโดยบทความนี้ของImpagliazzo และ Kabanetsเช่นเดียวกับการโพสต์สั้น ๆ นี้โดย Sanjoy Dasgupta หลักฐานหลังเหล่านี้มีความ "ใช้งานง่าย" มากกว่าในการจัดทำข้อสรุปทั่วไปของผลลัพธ์มาตรฐานรวมถึงการอธิบายว่าคำศัพท์ตลกในเลขชี้กำลังมาจากไหน (เป็น KL-divergence)

ตัวอย่างที่ดีของสิ่งนั้นคืออะไร? เพื่อให้เป็นรูปธรรมมากขึ้นต่อไปนี้เป็นกฎ:

1. ข้อความควรเป็นที่รู้จักพอสมควร (ประเภทของสิ่งที่จะสอนในระดับบัณฑิตศึกษาบางประเภท)
2. ควรมีหลักฐาน "มาตรฐาน" ที่มีอยู่ในตำราเรียนหรือเอกสารอ้างอิงมาตรฐานที่สอน "ปกติ"
3. ควรมีหลักฐานสำรองที่ไม่เป็นที่รู้จักเป็นอย่างดีไม่ได้สอนกันโดยทั่วไปและอาจพิสูจน์ข้อความทั่วไปเพิ่มเติมหรือเชื่อมโยงข้อความนั้นกับโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่ลึกซึ้งยิ่งขึ้น

ฉันจะเริ่มด้วยสองตัวอย่าง

1. chernoff ผูกพัน

   • "ตำรา" พิสูจน์: ความไม่เท่าเทียมกันมาร์คอฟ, ฟังก์ชั่นการสร้างช่วงเวลา, การขยายตัวของเทย์เลอร์ (MR)
   • หลักฐานที่ไม่ธรรมดาและลึกซึ้ง: วิธีการของประเภท, เลขชี้กำลังของหางที่เกี่ยวข้องกับ KL-divergence

2. The Schwartz-Zippel Lemma

   • "ตำรา" หลักฐาน: กรณีฐานที่เกี่ยวข้องกับพหุนาม univariate การเหนี่ยวนำจำนวนตัวแปร
   • การพิสูจน์ "ผิดปกติ": การโต้แย้งทางเรขาคณิตผ่านDana Moshkovitz (และต่อ Vognsen )

โปรดยกตัวอย่างหนึ่งคำตอบ

ป.ล. ฉันไม่ได้หมายความว่าควรจะสอนการพิสูจน์ที่ผิดปกติ: การพิสูจน์โดยตรงมักจะง่ายกว่าสำหรับนักเรียน แต่ในแง่ที่ว่า "การพิสูจน์ช่วยให้เราเข้าใจ" การพิสูจน์ทางเลือกเหล่านี้มีประโยชน์มาก

ฉันไม่แน่ใจว่านี่เป็นสิ่งที่คุณกำลังมองหาเนื่องจากฉันได้เห็นข้อพิสูจน์ "ผิดปกติ" ในตำราเรียน แต่: เวลา O (n log n) ที่ผูกไว้กับ quicksort

• "ตำรา" พิสูจน์: ตั้งค่าความสัมพันธ์การเกิดซ้ำแบบสุ่มพิสูจน์โดยการเหนี่ยวนำว่ามันมีทางออกที่ต้องการ

• การพิสูจน์ "Uncommon": ค้นหาสูตรง่าย ๆ สำหรับความน่าจะเป็นที่มีการเปรียบเทียบองค์ประกอบสองอย่าง (เป็นเพียง 2 / (d + 1) โดยที่ d คือความแตกต่างระหว่างอันดับของพวกเขาในลำดับที่เรียง) และใช้ linearity ของความคาดหวัง เพื่อคำนวณจำนวนคู่ที่คาดว่าจะได้รับการเปรียบเทียบ

หลักฐานในตำราเรียนต้องใช้ความคิดสร้างสรรค์น้อยกว่า แต่การพิสูจน์ที่ผิดปกติแนะนำเทคนิคที่มีประโยชน์อย่างมากในการวิเคราะห์อัลกอริธึมอื่น ๆ เช่นสำหรับอัลกอริธึมที่เพิ่มขึ้นแบบสุ่มในเรขาคณิตการคำนวณ

ฉันจะโยนออกจากความซับซ้อนของหลักฐานที่ BPP อยู่ในพี หลักฐานในตำราเรียนมีสาเหตุมาจาก Lautemann เพียงแค่เขียนนิพจน์และแสดงให้เห็นว่ามันทำงานได้ง่าย ๆ ด้วยความน่าจะเป็นอาร์กิวเมนต์ การพิสูจน์ที่ผิดปกติ: เดาฟังก์ชั่นที่ยาก (เพื่อคาดเดาเพื่อตรวจสอบความแข็ง) และเสียบเข้ากับเครื่องกำเนิด Nisan-Wigderson ∃ ∀ ∃ $\Sigma_2^p$$\exists\forall$$\exists$$\forall$

$\sum_i a_iX_i$$\pm 1$ $X_i$ t ≥ $\sigma = \|a\|_2$$t \ge 2$

$$\begin{eqnarray*} \mathbf{E}\left[\left(\sum_i a_iX_i\right)^t\right] &=& \sum_{i_1,\ldots,i_t} \left(\prod_{j=1}^t a_{i_j}\right) \mathbf{E}\left[\prod_{j=1}^t X_{i_j}\right]\\ &\le& \sum_{i_1,\ldots,i_t} \left(\prod_{j=1}^t |a_{i_j}|\right) \mathbf{E}\left[\prod_{j=1}^t X_{i_j}\right]\\ &=& \sum_{\substack{i_1<\ldots< i_m\\ r_1,\ldots,r_m\\ \sum_j r_j = t\\ \forall j\ r_j > 0}} \binom{t}{r_1,\ldots,r_m}\left(\prod_{j=1}^m |a_{i_j}|^{r_j}\right)\left(\prod_{j=1}^m \mathbf{E}[X_{i_j}^{r_j}]\right) \end{eqnarray*}$$

ทีนี้ลองดูที่ผลรวมด้านบนทางด้านขวา ในตัวตั้งใดก็ตามทั้งบางเป็นเลขคี่ทำให้ความคาดหวังของหรือทั้งหมดจะยิ่งทำให้มัน1ลองนึกภาพการเปลี่ยนทั้งหมดกับ Gaussian G_iแล้วเราต้องการจะอยู่ในสถานการณ์ที่คล้ายกัน: แปลกจะให้และแม้จะทำให้สินค้าอย่างน้อย 1ดังนั้นคำว่าคดีเกาส์เซียนตามเทอมจึงครอบงำคดีเบอนูลลี่ ดังนั้น,$r_j$$0$$1$$X_i$$G_i$$r_j$$0$$r_j$ $1$

$$\mathbf{E}\left[\left(\sum_i a_iX_i\right)^t\right] \le \mathbf{E}\left[\left(\sum_i |a_i|G_i\right)^t\right]$$

แต่โดย -stability ของเสียนนั้นเป็น Gaussian ที่มีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานดังนั้นเราจึงรู้ช่วงเวลาของมัน! ดังนั้นเรา TH ช่วงเวลาที่มีขอบเขตโดย (ประมาณ ); เรื่องนี้เป็นที่รู้จักกันในชื่อของ Khintchine จากนั้น∑ i | a i $2$$\sum_i |a_i| G_i$$\|a\|_2$$t$$\|a\|_2^t \cdot t! / (2^{t/2} \cdot (t/2)!)$$\|a\|_2^tt^{t/2}$

$$\mathbf{Pr}\left[\left|\sum_i a_iX_i\right| > \lambda\right] < 2^{O(t)}\cdot \lambda^{-t}\cdot \|a\|_2^t t^{t/2}$$ ตั้งค่าสำหรับค่าคงที่ขนาดใหญ่พอและคุณได้รับหาง Gaussian ผูกพัน2)) ครั้งแรกที่ฉันได้ยินหลักฐานความไม่เท่าเทียมของ Khintchine นี้เมื่อพูดคุยกับ Daniel Kane แต่อาจมีการอ้างอิงเก่ากว่า สังเกตว่าการพิสูจน์ยังทำให้ชัดเจนว่าระดับความอิสระในหมู่คุณต้องได้รับขอบเขตหางที่หลากหลาย$t = \lambda^2 / (C\cdot \|a\|_2^2)$$C$X $\mathrm{exp}(-\Omega(\lambda^2 / \|a\|_2^2))$$X_i$

Minc คาดคะเนและBrégmanพิสูจน์ว่าหากเป็นเมทริกซ์ 0-1 ที่มี 1 อยู่ในแถวดังนั้นค่าถาวรของจะมากที่สุด มีหลักฐานสั้น ๆ ในตำราเรียน Alon and Spencer ของความน่าจะเป็น , แต่เนื้อหาที่พิสูจน์ว่า "หนังสือ" คือหลักฐานของ Jaikumar Radhakrishnan โดยใช้เอนโทรปี ( J. Combin. ทฤษฎี Ser. A 77 (1997), 161-164) ไม่ชัดเจนเลยจากคำแถลงผลลัพธ์ที่ว่าแนวคิดเรื่องเอนโทรปีอยู่ภายใต้พื้นผิวที่นี่R ฉันฉันΠฉัน ( R ฉัน ! ) 1 / r$A$$r_i$$i$$A$

$$\prod_i (r_i!)^{1/r_i}.$$