วิธีการพิสูจน์ว่า USTCONN ต้องใช้พื้นที่ลอการิทึม

USTCONN เป็นปัญหาที่ต้องตัดสินใจว่าจะมีเส้นทางจากจุดสุดยอดแหล่งที่มาเป้าหมายยอดในกราฟที่เหล่านี้จะได้รับทั้งหมดเป็นส่วนหนึ่งของการป้อนข้อมูลt $s$$t$$G$

Omer Reingold พบว่า USTCONN อยู่ในL (ดอย: 10.1145 / 1391289.1391291 ) การพิสูจน์สร้างตัวแผ่ระดับคงที่ด้วยผลิตภัณฑ์ซิกแซก เครื่องมือขยายระดับคงที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางลอการิทึมและหนึ่งสามารถตรวจสอบเส้นทางทั้งหมดที่เป็นไปได้โดยใช้เครื่องหมายขนาดลอการิทึมจำนวนคงที่

ผลลัพธ์ของ Reingold ทำให้เกิดขอบเขตลอการิทึมบนความซับซ้อนของพื้นที่ของ USTCONN การแก้ไขความซับซ้อนของพื้นที่ "จนถึงปัจจัยคงที่" ตามเอกสาร ฉันอยากรู้เกี่ยวกับขอบเขตล่างที่เกี่ยวข้องซึ่งไม่ได้กล่าวถึงในที่อื่น

เราจะพิสูจน์ได้อย่างไรว่าต้องใช้พื้นที่ลอการิทึมในการตัดสินใจ USTCONN ในกรณีที่เลวร้ายที่สุด?

แก้ไข:แก้ไขการแทนค่าอินพุตให้เป็น adjacency matrix ของกราฟกำกับทิศทางแบบง่าย -vertex แบบสมมาตรพื้นฐานโดยมีแถวที่อยู่ในรายการติดต่อกันเพื่อสร้างสตริงบิตN N N $N \times N$$N$$N^2$

Lewis และ Papadimitriou แสดงให้เห็น (ดอย: 10.1016 / 0304-3975 (82) 90058-5 ) USTCONN นั้นเป็น SL-complete ซึ่งผลลัพธ์ของ Reingold แสดงว่า SL = L Savitch แสดงให้เห็น (ดอย: 10.1016 / S0022-0000 (70) 80006-X ) ที่2) เพิ่มเติมสำหรับฟังก์ชันที่คำนวณใด ๆโดย Stearns, Hartmanis และ Lewis (ดอย: 10.1109 / FOCS .1965.11 ) ดังนั้นจำเป็นต้องใช้พื้นที่อย่างน้อยสำหรับ USTCONN ในที่สุดคลาสปกติที่รู้จักจะต่ำกว่า L (เช่นDSPACE ( f ( n ) ) = DSPACE ( 1 ) f ( n ) = o ( ล็อกบันทึกn $\text{NSPACE}(n) \subseteq \text{DSPACE}(n^2)$$\text{DSPACE}(f(n)) = \text{DSPACE}(1)$$f(n) = o(\log\log n)$NC $\Omega(\log\log n)$$\text{NC}^1$) ถูกกำหนดในแง่ของวงจรและเห็นได้ชัดว่าไม่สามารถเทียบเคียงได้กับคลาสใด ๆ ที่กำหนดในแง่ของพื้นที่ที่ถูกผูกไว้

เท่าที่ผมสามารถดูใบนี้เปิด (ไม่น่ายอมรับ) ความเป็นไปได้ว่ามีขั้นตอนวิธีการแม้กระทั่งกำหนดที่ดีกว่าที่จะใช้แต่พื้นที่ สำหรับบางหรือแม้กระทั่งขั้นตอนวิธีการ nondeterministic สำหรับ USTCONN ที่ใช้พื้นที่Ω ( บันทึกบันทึกn ) δ < 1 o ( ( บันทึกn ) 1 / 2$O((\log n)^\delta)$$\Omega(\log \log n)$$\delta < 1$$o((\log n)^{1/2})$

โดยทฤษฎีบทลำดับชั้นของพื้นที่ ,ตราบใดที่f (n)เป็นพื้นที่ constructible. นี้อาจดูเหมือนจะชี้ให้เห็นว่า USTCONN ไม่สามารถอยู่ใน\ text {DSPACE} (o (\ log n))อย่างไรก็ตาม USTCONN นั้นเสร็จสมบูรณ์สำหรับ L ภายใต้การลดพื้นที่ว่างใน Logspace ดูเหมือนจะไม่สามารถบ่งบอกสิ่งนี้ได้ดูเหมือนว่า USTCONN มีโครงสร้างเพียงพอที่จะเข้ารหัสปัญหาใด ๆ ใน L โดยการลดพื้นที่บันทึก แต่ USTCONN เองต้องการพื้นที่ sublogarithmic เท่านั้นf ( n ) DSPACE ( o ( บันทึกn ) $\text{DSPACE}(o(f(n)) \subsetneq \text{DSPACE}(f(n))$$f(n)$$\text{DSPACE}(o(\log n))$

ตราบเท่าที่มีบางภาษาใน L ที่ต้องการพื้นที่ลอการิทึมจากนั้นแสดงว่า USTCONN เสร็จสมบูรณ์สำหรับ L ภายใต้ "ที่อ่อนแอกว่า" อย่างเข้มงวดกว่าการลดพื้นที่ใช้งานจะทำให้ขอบเขตที่ต้องการลดลง

USTCONN สมบูรณ์สำหรับ L ภายใต้การลดที่ต้องใช้พื้นที่หรือไม่$o(\log n)$

Immerman แสดง (doi: 10.1137 / 0216051 ) ว่าเวอร์ชันของการเข้าถึงโดยตรงที่เส้นทางที่ต้องการ (แต่ไม่ใช่กราฟของตัวเอง) เป็นแบบกำหนดขึ้นซึ่งสมบูรณ์สำหรับ L ภายใต้การลดอันดับแรกซึ่งคำนวณได้โดยวงจรACนี่อาจจะถูกปรับเพื่อแสดงให้เห็นว่า USTCONN นั้นเสร็จสมบูรณ์แล้วสำหรับ L ภายใต้การลดค่าใช้จ่าย อย่างไรก็ตามถึงแม้ว่า ACจะมีอยู่ใน L อย่างเคร่งครัด แต่ ACนั้นเป็นคลาสของวงจรอีกครั้งและฉันไม่ทราบวิธีที่จะทำการลดค่า FO ในพื้นที่ sublogarithmic0 $^0$$^0$$^0$

แก้ไข 2015-07-14: มันเป็นประเด็นทางปรัชญาที่น่าสนใจว่าการใช้พื้นที่ของ TM ควรรวมขนาดของดัชนีลงในอินพุตหรือไม่ (อนุญาตให้เข้าถึงแบบสุ่มในอินพุตได้ แต่จำเป็นต้องเพิ่มบิตอีกเล็กน้อยหากอินพุทมีขนาดเป็นสองเท่า ) หรือว่าพื้นที่ที่ใช้โดย TM คือจำนวนของสี่เหลี่ยมเวิร์คเทปที่เข้าชมระหว่างการคำนวณ (ซึ่งสันนิษฐานว่าหัวเทปอินพุตคงที่และไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อขนาดอินพุตเทปเพิ่มเป็นสองเท่า) นิยาม RAM สไตล์อดีตทันทีจะช่วยให้ logspace ขอบเขตล่างสำหรับการใด ๆการคำนวณและสร้างแบบจำลองคอมพิวเตอร์ปัจจุบันที่ติดตามตำแหน่งปัจจุบันในไฟล์เป็นออฟเซ็ตจากจุดเริ่มต้นของไฟล์ นิยามคลาสสิกหลังถือว่าเทปเหมือนกระดาษที่มีหัวอ่านคงที่ที่ไม่ทราบอะไรเกี่ยวกับเทปอื่นนอกเหนือจากสัญลักษณ์อินพุตปัจจุบันซึ่งอาจเป็นสิ่งที่ทัวริงตั้งใจในกระดาษ 2480 ของเขา

การโต้แย้งแบบฮิวริสติกเช่นคอมเม้นท์โดยโธมัสซึ่งเป็นไปไม่ได้ที่จะจัดทำดัชนีอินพุตด้วยบิตของพื้นที่ดูเหมือนจะถือว่าเป็นคำจำกัดความลักษณะ RAM สมัยใหม่ Stearns / Hartmanis / Lewis ใช้การกำหนดสไตล์ TM เช่นเดียวกับงานคลาสสิคในการคำนวณแบบ จำกัด พื้นที่$o(\log n)$

เราสามารถพิสูจน์ขอบเขตล่างของ logspace สำหรับ USTCONN ที่เป็นเมทริกซ์ adjacency โดยการสังเกตว่าภาษาเอกภาพของสี่เหลี่ยมที่สมบูรณ์แบบนั้นต้องใช้ logspace เพื่อรับรู้ (ดูRūsiņš Freivalds แบบจำลองการคำนวณ Riemann Hypothesis และ Classical Mathematics SOFSEM 1998, LNCS 1521, 89 –106. ดอย: 10.1007 / 3-540-49477-4_6 ( พิมพ์ล่วงหน้า)) จากนั้นขอบเขตล่างเดียวกันจะใช้กับ USTCONN ด้วยการแสดงเมทริกซ์ adjacency นี่อาจเป็นการโกงมากเกินไป: โดยปกติการบังคับใช้สัญญาในปัญหาสัญญานั้นง่ายกว่าเมื่อเทียบกับปัญหาที่เกิดขึ้นจริง แต่ที่นี่บังคับใช้สัญญาที่อินพุตเป็นกราฟแล้วให้ขอบเขตที่ต่ำกว่า ดังนั้นจะเป็นการดีหากได้เห็นอาร์กิวเมนต์สำหรับขอบเขตล่างที่ต่ำลงสำหรับปัญหาสัญญาที่อินพุตรับประกันว่ามาจากภาษา\}$\{\{0,1\}^{N \times N} \mid N=1,2,\dots\}$

กระดาษบ่งปริมาณการนับความสัมพันธ์ตัวตายตัวแทนและลอการิทึมอวกาศโดยคูชา Etessami พิสูจน์ให้เห็นว่าปัญหาที่เกิดขึ้น (ซึ่งเป็นหลักตรวจสอบว่าจุดสุดยอดแจ๋วยอดใน outdegree หนึ่งกราฟที่มีสัญญาว่าจะเป็นเส้นทาง ) คือฮาร์ดภายใต้การประมาณปริมาณฟรี s t G $\mathbf{ORD}$$s$$t$$G$$\mathsf{L}$

สามารถมองเห็นปัญหาเพื่อลดปัญหาโดยหัก: รับตัวอย่าง ofเพียงลบ ขอบออกจากและเอาท์พุขอบอื่น ๆขอบไม่มีทิศทางคำถามถูกว่ามีการเชื่อมต่อในรูปแบบของกราฟที่เกิด (หมายเหตุ: การลดลงอาจทำได้ดีกว่า)$\mathbf{ORD}$$\mathbf{USTCONN}$$\mathsf{FO}$$\langle G,s,t\rangle$$\mathbf{ORD}$$t$$u \rightarrow v$$\{u,v\}$$\mathbf{USTCONN}$$s,t$