ความซับซ้อนของการตัดสินใจว่าครอบครัวเป็นตระกูล Sperner หรือไม่

เราจะได้รับครอบครัว$\mathcal{F}$ของ$m$ส่วนย่อยของ {1, ... , n} เป็นไปได้หรือไม่ที่เราจะพบว่าขอบเขตล่างที่ไม่สำคัญกับความซับซ้อนของการตัดสินใจว่า$\mathcal{F}$เป็นตระกูล Sperner หรือไม่? ขอบเขตล่างเล็ก ๆ น้อย ๆ คือ$O(n m)$และฉันสงสัยอย่างยิ่งว่ามันไม่แน่น

$\mathcal{S}$$X$$Y$$\mathcal{S}$$X \ne Y$$X \nsubseteq Y$$Y \nsubseteq X$

คุณไม่สามารถแก้ปัญหานี้ด้วยการคูณเมทริกซ์ ลองชุดจะ , , , S_mใช้เมทริกซ์จะเป็นเมทริกซ์ที่ถ้าและ 0 เป็นอย่างอื่นและจะเป็นเมทริกซ์ที่ถ้าและ 0 มิฉะนั้น ตอนนี้มีรายการหากว่ามีหนึ่งชุดอยู่ในอีกชุดหนึ่งS 2 … S m A m × n A ฉันj = 1 j ∈ S i B m × $S_1$$S_2$$\ldots$$S_m$$A$$m \times n$$A_{ij}=1$$j \in S_i$$B$$m \times n$j ∉ S i A B T 0 $B_{ij}=1$$j \notin S_i$$AB^T$$0$$\mathcal{F}$

ดังนั้นหากคุณพิสูจน์ขอบเขตล่างของสำหรับกรณีที่คุณได้พิสูจน์ขอบเขตล่างเดียวกันสำหรับการคูณเมทริกซ์ นี่เป็นปัญหาเปิดที่มีชื่อเสียงm = θ ( n $\Omega(n^{2+\epsilon})$$m = \theta(n)$

ฉันไม่ได้คิดมากเกี่ยวกับเรื่องนี้ แต่ฉันไม่เห็นวิธีที่คุณสามารถพิสูจน์ได้ว่าการคูณเมทริกซ์นี้โดยเฉพาะนั้นยากพอ ๆ กับกรณีทั่วไป หากคุณต้องการขอบเขตที่ต่ำกว่านี่จะเป็นความหวังเดียวที่คุณมีในการพิสูจน์โดยไม่ต้องแก้ปัญหาการคูณเมทริกซ์

ในด้านบวกนี้จะช่วยให้อัลกอริทึมสำหรับปัญหานี้ที่ดีกว่าขั้นตอนวิธีการที่ไร้เดียงสาที่จะ2n)$\theta(m^2n)$