ความซับซ้อนของการแปลในเครือข่ายไร้สาย

ให้จุดที่แตกต่างกัน1$1 ... n$นั่งอยู่ใน$\mathbb{R}^2$ 2 เราบอกว่าคะแนน$i$และ$j$เป็นเพื่อนบ้านถ้าหมายถึงแต่ละจุดคือเพื่อนบ้านที่มีจุดที่มีดัชนีอยู่ภายในล้อมรอบ$|i-j| < 3 \pmod{n-2}$$2$

ปัญหาคือ:

สำหรับเพื่อนบ้านแต่ละคู่เราจะได้รับระยะทางตามคู่ของพวกเขา (และเรารู้ว่าระยะทางใดสอดคล้องกับจุดใด) และเราต้องการสร้างระยะทางคู่ตามระยะทางของทุกจุด คำถามของฉันคืออะไรความซับซ้อนของปัญหาการแปลนี้คืออะไร?

ฉันไม่รู้อัลกอริธึมเวลาพหุนาม

สิ่งนี้ได้รับแรงบันดาลใจจากปัญหาในการโลคัลไลซ์เซชันในเครือข่ายเซ็นเซอร์ซึ่งเอเจนต์ที่วางตำแหน่งเฉพาะกิจสามารถสื่อสารกับเพื่อนบ้านในพจนานุกรมแบบไร้สายได้และเราต้องการสร้างตำแหน่งใหม่

ฉันไม่รู้อะไรมากเกี่ยวกับปัญหาเรขาคณิต / การโลคัลไลเซชันดังนั้นสิ่งนี้อาจเป็นเรื่องง่ายหรือเป็นที่รู้จัก ปัญหาที่ใกล้เคียงที่สุดที่ฉันรู้คือปัญหาเทิร์นไพค์เมื่อเร็ว ๆ นี้ชี้ให้เห็นในฟอรัมนี้โดย @Suresh Venkat

(ฉันไม่มีคำตอบที่แท้จริง แต่มันยาวเกินไปสำหรับความคิดเห็นดังนั้นโพสต์ไว้ที่นี่ต่อไป ... )

ฉันสงสัยว่าปัญหานั้นเกิดจากปัญหา NP-hard โดยการลดจากปัญหาผลรวมย่อย แนวคิดที่พิสูจน์ได้:

การลดลง: หากองค์ประกอบที่ในอินสแตนซ์ผลรวมเซ็ตย่อยคือดังนั้นระยะห่างระหว่างโหนดและคือระยะห่างระหว่างและคือระยะห่างระหว่างและก็คือและระยะห่างระหว่างและคือ2}$i$$x_i$$2i-1$$2i$$s$$2i-1$$2i+1$$x_i$$2i$$2i+2$$x_i$$2i$$2i+1$$\sqrt{s^2 + x_i^2}$

สมมติว่าขอบระหว่างและสำหรับทั้งหมดเป็นแนวตั้ง จากนั้นกราฟทั้งหมดประกอบด้วยห่วงโซ่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีเส้นทแยงมุม อย่างไรก็ตามคุณสามารถ "พลิก" แต่ละสี่เหลี่ยมเพื่อให้เป็นทั้งทางด้านซ้ายของหรือด้านขวาของ2iและคุณจำเป็นต้องค้นหาเซตย่อยที่ถูกต้องของการพลิกเพื่อให้ระยะห่างระหว่างโหนดสุดท้ายและโหนดคือ "ถูกต้อง" (และระยะห่างระหว่างและถูกต้องและระยะห่างระหว่างและถูกต้อง).$2i-1$$2i$$i$$2i+2$$2i$$2i$$n = 2k$$2$$2k-1$$1$$2k-1$$2$

จนถึงตอนนี้ก็ดี แต่รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าของเรายังไม่แข็ง เราสามารถพลิกตามแนวทแยงมุมได้ แต่ผมคิดว่าถ้าเราเลือกค่าที่น่ารังเกียจแล้วบางทีเราสามารถแสดงให้ทุกอย่างที่ผิดพลาดอย่างน่ากลัวถ้าเราเคยพลิกตามแนวทแยง (เช่นพิกัดของจะไม่ได้มีเหตุผล)? นี้จำเป็นต้องมีการปรับแต่งบางส่วนในค่าแม้ว่า$s$$2k$$x_i$

จริงๆแล้วมันเป็น NP-hard ดูกระดาษต่อไปนี้สำหรับการอ้างอิง

Sriram V. Pemmaraju, Imran A. Pirwani: สำนึกเสมือนจริงที่มีคุณภาพดีของกราฟบอลหน่วย ESA 2007: 311-322

Drineas et al. เขียนกระดาษระยะทางเมทริกซ์ฟื้นฟูจากข้อมูลระยะทางที่ไม่สมบูรณ์สำหรับเครือข่ายเซนเซอร์รองรับหลายภาษา แต่สิ่งที่พวกเขาประสบความสำเร็จนั้นอาจไม่ใช่สิ่งที่คุณขอ: พวกเขาคำนวณแผนที่ระยะทางทั้งหมดจากแผนที่ที่ไม่สมบูรณ์แม้ในที่ที่มีสัญญาณรบกวนและโหนดล้มเหลว