คลาสกราฟทางพันธุกรรมสามารถมีกราฟเกือบทั้งหมด แต่ไม่ทั้งหมดกราฟ n-vertex ได้หรือไม่?

10

ให้เป็นกราฟทางพันธุกรรม (กรรมพันธุ์ = ปิดที่เกี่ยวกับการเหนี่ยวนำให้เกิด subgraphs.) ให้แสดงว่าชุดของกราฟ -vertex ในQให้เราบอกว่ามีเกือบทุกกราฟถ้าส่วนของทั้งหมดกราฟ -vertex ตกอยู่ในแนวทางที่ 1 เป็นn $Q$ $Q_n$ $n$ $Q$ $Q$ $n$ $Q_n$ $n\rightarrow\infty$

คำถาม:เป็นไปได้ไหมที่กราฟกราฟทางพันธุกรรมมีกราฟเกือบทั้งหมด แต่สำหรับทุกมีอย่างน้อยหนึ่งกราฟที่ไม่ได้อยู่ใน ? $Q$ $n$ $Q_n$

graph-theory

— Andras Farago
แหล่งที่มา

10

คำตอบคือไม่มี - สำหรับการแก้ไขให้เป็นหมายเลขของจุดในกราฟที่เล็กที่สุดไม่ได้อยู่ในคิวตอนนี้พิจารณามากใหญ่กว่าเสื้อสำหรับกราฟสุ่มบนจุดยอดความน่าจะเป็นที่จุดยอดแรกทำให้ขึ้นอยู่กับเท่านั้น แบ่งชุดยอดเข้าชุดเคลื่อนขนาดและพิจารณาความเป็นไปได้ว่าไม่มีชุดจะเท่ากับแสดงให้เห็นว่าน่าจะเป็นของการอยู่ในมีแนวโน้มที่จะเป็น $Q$ $t$ $H$ $Q$ $n$ $t$ $n$ $t$ $H$ $t$ $n/t$ $t$ $H$ $Q$ $0$ $n$ เพิ่มขึ้น

— daniello
แหล่งที่มา

5

นี้พิสูจน์ให้เห็นมากขึ้นอย่างมากว่าชั้นทางพันธุกรรมใด ๆ ขี้ปะติ๋วมีส่วนของกราฟทั้งหมดที่หดตัวเป็น-cn โดยแบ่งเป็นหลายขอบเคลื่อน 's และการใช้อาร์กิวเมนต์เดียวกันมันควรจะเป็นไปได้ที่จะสร้างความเข้มแข็งนี้เป็นสิ่งที่มากขึ้นเช่น 2

\exp - c n

$\exp -cn$

K_{n}

$K_n$

K_{t}

$K_t$

\exp - c n^{2}

$\exp -cn^2$

— David Eppstein

@Andras Farago: ไม่มีคำตอบนอกจากนี้ยังสามารถอนุมานได้โดยตรงจากผลที่รู้จักกันในการคาดเดา Erdos-ไฮจ์นัล [ en.wikipedia.org/wiki/Erd%C5%91s%E2%80%93Hajnal_conjecture] ผูกพันที่ได้รับจะไม่ดี (มันดูเหมือนว่าคุณจะได้รับส่วนของ .

\exp (- \exp (c \sqrt{\log n}))

$\exp(-\exp(c \sqrt{\log n}))$

— หลุยส์ Esperet

1

@ David Eppstein: ฉันคิดว่าเป็นสิ่งที่คุณได้รับอย่างแน่นอนโดยการใช้ซ้ำ (ครั้ง) ตามผลลัพธ์แบบคลาสสิกต่อไปนี้ หากมี projective เครื่องบินของการสั่งซื้อแล้วขอบชุดของสามารถแบ่งออกเป็นสำเนาขอบเคลื่อนของK_q

\exp - c n^{2}

$\exp -cn^2$

\log \log n

$\log \log n$

q

$q$

K_{q^{2}}

$K_{q^2}$

q (q + 1)

$q(q+1)$

K_{q}

$K_q$

— Louis Esperet

10

เพื่อเพิ่มคำตอบของ Daniel ความหนาแน่นที่แม่นยำของคลาสพันธุกรรมได้รับการตรวจสอบอย่างกว้างขวางใน combinatorics สำหรับคลาสของโครงสร้าง, unlabelled sliceคือชุดของคลาสมอร์ฟิซึ่มของโครงสร้างในที่มีจุดยอด ความเร็ว (unlabelled) ของคลาสของโครงสร้างคือ. แสดงว่าระดับของกราฟโดยGคำถามกำลังถามว่าสำหรับการเรียนทางพันธุกรรมใด ๆ ของกราฟQ $C$ $C_n$ $C$ $n$ $C$ $|C_n|$ $G$ $\lim_{n\to \infty} |Q_n|/|G_n| = 1$ $Q$

เนื่องจากขีด จำกัด คือ 0 เสมอสำหรับตระกูลคำถามพื้นฐานจึงเป็นหน้าที่ของฟังก์ชันตัวเองมีพฤติกรรม ให้แสดงว่าจำนวนของพาร์ทิชันจำนวนเต็มที่{n})} ปรากฎว่าความเร็วที่ไม่มีป้ายกำกับ "กระโดด": อย่างใดอย่างหนึ่งถูก จำกัด ขอบเขตแบบพหุนามหรือมิฉะนั้น(n)) $Q$ $|Q_n|$ $p(n)$ $p(n) = 2^{\Theta(\sqrt{n})}$ $|Q_n|$ $|Q_n| = \Omega(p(n))$

József Balogh, BélaBollobás, Michael Saks และ Vera T. Sós, ความเร็วที่ไม่มีป้ายกำกับของคุณสมบัติกราฟทางพันธุกรรม , วารสาร Combinatorial Theory, Series B, 99 9-19, 2009. doi: 10.1016 / j.jctb.2008.03.004 (( พิมพ์ล่วงหน้า )

— András Salamon
แหล่งที่มา