พิสูจน์ขอบเขตที่ต่ำกว่าโดยการพิสูจน์ขอบเขตบน

ความซับซ้อนของวงจรการพัฒนาที่ผ่านมาผลลัพธ์ที่ต่ำกว่าขอบเขตของ Ryan Williams มีเทคนิคการพิสูจน์ที่ใช้ผลการทดสอบขอบเขตบนเพื่อพิสูจน์ขอบเขตความซับซ้อนที่ต่ำกว่า Suresh Venkat ในคำตอบของเขาสำหรับคำถามนี้มีผลตอบโต้เชิงวิทยาศาสตร์วิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎีหรือไม่? ให้สองตัวอย่างของการสร้างขอบเขตที่ต่ำกว่าโดยการพิสูจน์ขอบเขตบน

• อะไรคือผลลัพธ์ที่น่าสนใจอื่น ๆ สำหรับการพิสูจน์ขอบเขตล่างที่ซับซ้อนซึ่งได้มาจากการพิสูจน์ขอบเขตบนความซับซ้อน?

• $NP \not\subseteq P/poly$$P \ne NP$

หนึ่งสามารถเปลี่ยนคำถามไปรอบ ๆ และถามว่าขอบเขตที่ต่ำกว่าไม่ได้รับการพิสูจน์โดยการพิสูจน์ขอบเขตบน เกือบทุกความซับซ้อนของการสื่อสารที่ต่ำกว่าขอบเขต (และอัลกอริทึมการสตรีมที่ต่ำกว่าขอบเขตและโครงสร้างข้อมูลที่ต่ำกว่าที่อาศัยข้อโต้แย้งการสื่อสารที่ซับซ้อน) ได้รับการพิสูจน์โดยการแสดงให้เห็นว่าโปรโตคอลการสื่อสาร ความซับซ้อนในการสื่อสารของโพรโทคอลและขอบเขตล่างสำหรับโพรโทคอลต่อจากข้อเท็จจริงที่ว่าคุณไม่สามารถเข้ารหัสข้อความ n บิตทั้งหมดโดยใช้ n-1 บิตหรือน้อยกว่า

วงจรที่ต่ำกว่าขอบเขต Razborov-Smolensky ทำงานโดยการแสดงวิธีการจำลองวงจรความลึกที่มีขอบเขตโดยพหุนามแบบหลายระดับต่ำ

สองผู้สมัครของขอบเขตล่างที่ไม่ได้พิสูจน์ด้วยขอบเขตบนอาจเป็นทฤษฎีบทลำดับชั้นเวลา (แม้ว่าจะได้รับขอบเขตที่แคบที่สุดหนึ่งต้องมีเครื่องทัวริงสากลที่มีประสิทธิภาพซึ่งเป็นงานอัลกอริทึมที่ไม่สำคัญ) และการพิสูจน์ ของ AC0 ขอบเขตที่ต่ำกว่าโดยใช้สวิตช์แทรก (แต่หลักฐานที่ชัดเจนที่สุดของสวิตช์แทรกใช้การนับ / การบีบอัด / การบีบอัด Kolmogorov- ความซับซ้อน)

ในทางที่แปลกทฤษฎี PCP เองก็เป็นตัวอย่างที่ดีของการพิสูจน์ขอบเขตล่างผ่านขอบเขตบน กลยุทธ์การสุ่ม "ที่มีประสิทธิภาพ" สำหรับการตรวจสอบการพิสูจน์โดยใช้โพรบจำนวนคงที่ของการพิสูจน์และมีเพียง logn บิตสุ่มเท่านั้นที่นำไปสู่ขอบเขตที่ต่ำกว่าสำหรับการประมาณจำนวนของคำสั่งที่พอใจในตัวอย่างของ 3SAT$\log n$

วิธีการบีบอัดข้อมูลเป็นวิธีการที่อิงตามความซับซ้อนของ Kolmogorov เพื่อพิสูจน์ขอบเขตที่ต่ำกว่า หนึ่งในแอปพลิเคชันแรกของวิธีนี้คือการพิสูจน์ว่าการรับรู้ palindromes บนเครื่องทัวริงด้วยเทปเดี่ยวต้องใช้เวลากำลังสอง

แนวคิดของวิธีนี้คือการอธิบายขั้นตอนเพื่อค้นหาอินพุตโดยใช้ข้อมูลที่มีอยู่ในการรันอัลกอริทึมในการแก้ปัญหาที่เราพิจารณาเกี่ยวกับอินพุตนี้ ดีกว่าคือขั้นตอนที่สูงกว่าคือขอบเขตล่างของปัญหาเดิม

แน่นอนว่ารายละเอียดทั้งหมดสามารถพบได้ในตำราเรียนของหลี่และ Vitanyi

สำหรับคำถาม "ขอบเขตล่างผ่านขอบเขตบน" คุณถามว่า:

กระดาษ STOC 2010 "วิธีบีบอัดการสื่อสารแบบโต้ตอบ" [BBCR10]มาถึงทฤษฎีบทผลรวมโดยตรงที่ได้รับการปรับปรุงสำหรับความซับซ้อนของการสื่อสารแบบสุ่มโดยการสาธิตโปรโตคอลการบีบอัดที่ได้รับการปรับปรุงสำหรับการสื่อสารแบบโต้ตอบ

โดยเฉพาะการให้ทั้งสองฝ่ายคอมพิวเตอร์ทำงานร่วมกันบางส่วนของปัจจัยการผลิตร่วมกัน (เช่นสถานการณ์การคำนวณแบบโต้ตอบ) พวกเขาแสดงให้เห็นว่าโปรโตคอลใด ๆ ที่สื่อสารบิตและเผยให้เห็นบิตของข้อมูลใหม่ให้กับบุคคลที่เกี่ยวข้องสามารถจำลองโดยโปรโตคอลใหม่โดยใช้บิต - ขอบเขตบนที่ดีขึ้น$C$$I$$\tilde O(\sqrt{CI})$

เป็นผลมาจากการบีบอัดโปรโตคอลนี้ดีขึ้นพวกเขาแสดงให้เห็นว่าในกรณีที่เลวร้ายที่สุด: ให้ฟังก์ชั่นใด ๆที่ใช้เวลาเวลาในการคำนวณเป็นรายบุคคลการคำนวณสำเนาต้องมีอย่างน้อยเวลา - ดีขึ้น ขอบล่าง$f$$n$$k$$f$$\sqrt{k} \cdot n$

สิ่งนี้แตกต่างจากที่คุณถาม แต่เนื่องจากเกี่ยวข้องฉันคิดว่าฉันสามารถพูดถึงมันได้

คาร์เตอร์และ Wegman (1977)นำความคิดของคร่ำเครียดสากล ความคิดที่ใช้ในเอกสารต่าง ๆ นานา ( Sipser (1983) , Stockmeyer (1983) , Babai (1985)และGoldwasser และ Sipser (1986) ) เพื่อพิสูจน์ขอบเขตที่ต่ำกว่าโดยประมาณ

นี้จนกระทั่งปี 1987 ซึ่งในFortnowทำให้การใช้งานของคร่ำเครียดสากลเพื่อพิสูจน์ขอบเขตบนโดยประมาณ (อันที่จริงแล้วจัดทำโปรโตคอลสำหรับการพิสูจน์ขอบเขตโดยประมาณ)

แก้ไข:

เหล่านี้ไม่ใช่ผลลัพธ์ที่มีขอบเขตต่ำ แต่อาจมีประโยชน์ได้:

$\rm{NP} \subset \rm{P/poly} \quad \Rightarrow \quad \rm{PH}=\rm{\Sigma_2^p}=\rm{\Pi_2^p}$

$\rm{NP} \subset \rm{P/poly} \quad \Rightarrow \quad \rm{AM}=\rm{MA}$

$\rm{coNP} \subset \rm{NP/poly} \quad \Rightarrow \quad \rm{PH}=\rm{\Sigma_3^p}=\rm{\Pi_3^p}$

ผมพบว่าตัวอย่างที่ดีในบล็อกดิ๊กลิปตัน, แนวทางที่ P = NP ผ่านพรรณนาความซับซ้อนเขานำเสนอบนการคาดเดาที่ถูกผูกไว้ (สมมติฐาน H) ที่จะบ่งบอกถึงNP$P\ne NP$

สมมติฐาน H : สมมติว่ามีคำสั่งฮอร์น{m} หากพอใจก็จะมีการมอบหมายที่ถูกต้องสำหรับคำสั่งที่มีความซับซ้อนของคำอธิบายที่มากที่สุดในพหุนามในคำอธิบายที่ซับซ้อนของคำสั่ง$C$$C_{1} \wedge \dots \wedge C_{m}$

ทฤษฎีบท : สมมติว่าสมมติฐาน H เป็นจริง จากนั้น$P \ne NP$

นี่คือตัวอย่างจากการคำนวณที่ซับซ้อน: วิธีการที่ทันสมัยโดย Arora และ Barak (หน้า 128):

หากทุกภาษาในมีวงจรขนาดดังนั้น$EXP$$o(2^{n} /n)$$P \ne NP$