กราฟอนันต์ของ diagonals มีองค์ประกอบอนันต์หรือไม่?

สมมติว่าเราเชื่อมต่อจุด$V = \mathbb{Z}^2$โดยใช้ชุดของขอบที่ไม่ได้บอกทิศทาง$E$ซึ่งทั้ง$(i, j)$เชื่อมต่อกับ$(i + 1, j + 1)$หรือ$(i + 1, j)$เชื่อมต่อกับ$(i, j + 1)$ , อิสระและสม่ำเสมอที่สุ่มทั้งหมดของ$i, j$ J

(ได้รับแรงบันดาลใจจากชื่อและปกของหนังสือเล่มนี้)

ความน่าจะเป็นที่กราฟนี้มีองค์ประกอบที่เชื่อมต่อขนาดใหญ่ไม่สิ้นสุดคืออะไร ในทำนองเดียวกันให้พิจารณาซึ่งเป็นส่วนประกอบของการฝังภาพถ่ายในระนาบ ความน่าจะเป็นที่ส่วนประกอบนั้นมีส่วนประกอบที่เชื่อมต่อไม่สิ้นสุดคืออะไร?$\mathbb{R}^2 \setminus G$

เห็นได้ชัดว่าถ้าเส้นทแยงมุมชี้ไปในทางเดียวกันทั้งกราฟและส่วนประกอบนั้นมีองค์ประกอบไม่สิ้นสุด กราฟสุ่มที่มีลักษณะเหมือนกันของด้านบนล่ะ?

ความน่าจะเป็นคือ 0

สิ่งนี้ตามมาจากทฤษฎีบทต่อไปนี้ (ดูทฤษฎีบท 5.33 ในความน่าจะเป็นของกริมม์ในกราฟ, http://www.statslab.cam.ac.uk/~grg/books/USpgs-rev3.pdf ):

ทฤษฎีบทพิจารณาการแทรกซึมของพันธบัตรบนโดยที่แต่ละขอบระหว่างจุดขัดแตะเปิดด้วยความน่าจะเป็น$\mathbb Z^2$ . ความน่าจะเป็นที่จุดกำเนิดอยู่ในองค์ประกอบที่เชื่อมต่อไม่สิ้นสุดคือ 0$\frac12$

เราสามารถลดลงจากปัญหาของเราในการแก้ไขปัญหานี้โดยทั่วไปจะเป็นเพียง 2 เคล็ด ( แต่ขึ้นอยู่) สำเนาซึมพันธบัตร 2 พิจารณาการกำหนดค่าD 1โดยที่ขอบก่อตัวเป็นตาข่ายที่ไม่มีที่สิ้นสุดของเพชรที่มีต้นกำเนิด ถ้าเราพลิกขอบทั้งหมดที่เราได้รับอีกตาข่ายที่ไม่มีที่สิ้นสุดของเพชรD 2 พิจารณาจุดตัดของการกำหนดค่าที่เกิดขึ้นจริงกับD 1และD 2 แต่ละเหล่านี้เป็นสิ่งที่รูปแบบของพันธบัตรซึมบนZ 2เพียงแค่หมุน45 ∘ ความน่าจะเป็นที่จุดใด ๆ อยู่ในกลุ่มอนันต์จึงเป็น 0 (ไม่มีขอบในD $\mathbb Z^2$$D_1$$D_2$$D_1$$D_2$$\mathbb Z^2$$45^{\circ}$$D_1$สามารถเชื่อมต่อกับขอบใน )$D_2$

เพื่อสรุปให้ทราบว่าผลรวมของจำนวนเหตุการณ์ที่นับได้ด้วยความน่าจะเป็น 0 มีความน่าจะเป็น 0 หาผลรวมของความน่าจะเป็นที่จุดขัดแตะอยู่ในกลุ่มที่ไม่มีที่สิ้นสุด

(การมีอยู่ของส่วนประกอบที่มีขนาดใหญ่ตามอำเภอใจเป็นปลาเฮอริ่งแดงหนึ่งควรแก้ไขจุดและถามว่ามันอยู่ในองค์ประกอบที่ไม่ จำกัด )

อืมนี่คือความพยายามครั้งแรก ลองสังเกตสองสิ่งที่สำคัญ:

1. หากกราฟนี้มีองค์ประกอบที่เชื่อมต่อขนาดใหญ่โดยอินฟินิตี้ของKönigก็จะมีเส้นทางที่ไม่สิ้นสุด
2. เหตุการณ์ที่กราฟมีเส้นทางที่ไม่มีที่สิ้นสุดอย่างอิสระนั้นไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกของการวางแนวขอบแต่ละอัน ดังนั้นจึงเป็นเหตุการณ์หางและตามกฎศูนย์หนึ่งของ Kolmogorov ความน่าจะเป็นอาจเป็นศูนย์หรือหนึ่ง

ดังนั้นมันเป็นศูนย์หรือหนึ่ง มันไม่ชัดเจนในทันทีแม้ว่าเราสามารถคาดเดาได้เนื่องจากจากทฤษฎี "ลิงไม่มีที่สิ้นสุดกับเครื่องพิมพ์ดีด" กราฟนี้มีเส้นทางที่เรียบง่ายที่มีความยาวใหญ่โดยพลการ แน่นอนว่ามีความจำเป็นมากกว่าที่จะพิสูจน์อย่างจริงจังว่ามันมีเส้นทางที่ไม่มีที่สิ้นสุดพร้อมกับความน่าจะเป็น

นี่คือหลักฐานเชิงประจักษ์ที่อ่อนแอว่าคำตอบคือใช่ ให้เป็นกราฟแบบสุ่มใน2 n + 1 × 2 n + 1ตาข่ายกำหนดโดยการเลือกแต่ละเส้นทแยงมุมสุ่ม นี่คือพล็อตของการประมาณความน่าจะเป็นที่สามารถเข้าถึงได้เทียบกับn (ไม่สนใจจุดยอดที่ไม่สามารถเข้าถึงได้เสมอเนื่องจากความเท่าเทียมกัน)$G_n$$2n+1 \times 2n+1$$n$

หากเราลดขนาดของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นความน่าจะเป็นที่ปรากฏขึ้นมาบรรจบกับฟังก์ชันที่ราบรื่นซึ่งไม่ขึ้นอยู่กับขนาด$[0,1]^2$

อย่างไรก็ตามเป็นไปได้ว่าฉันไม่ได้คำนวณไกลพอที่จะเห็นแนวโน้มขาลง ( พล็อตดูเหมือนจะเล็กกว่าอีกเล็กน้อย)$n = 800$

รหัสที่นี่: https://gist.github.com/girving/16a0ffa1f0abb08934c2

อัปเดต:ตามที่ระบุไว้ในความคิดเห็นบทแทรกไม่ได้หมายความถึงเส้นทางที่ไม่มีที่สิ้นสุดหลังจากทั้งหมดดังนั้นคำตอบนี้โดยรวมผิด ไม่แน่ใจว่าสามารถใช้ในลักษณะอื่นได้หรือไม่

คำตอบคือใช่: มีเส้นทางที่ไม่มีที่สิ้นสุด แน่นอนมีเส้นทางที่ไม่มีที่สิ้นสุดสำหรับกราฟทุกอัน ไม่จำเป็นต้องมีความน่าจะเป็น

$G$$n \times n$$n \ge 2$. จากนั้นจะมีเส้นทางจากซ้ายไปขวาผ่านจุดยอดเสมอกันหรือเส้นทางจากด้านบนไปด้านล่างผ่านจุดยอดพาริตี้คี่

หลักฐานภาพร่าง: นี่คือทฤษฎีบทการตัดสินใจใน Hex บนกราฟที่แตกต่างกัน ความเท่าเทียมกันที่เท่าเทียมกันและแปลก ๆ ของ$G$เป็นแบบโลคัลคู่ดังนั้นสิ่งกีดขวางในพาริตีหนึ่งคือการเชื่อมต่อในอีกอันหนึ่ง อย่างไรก็ตามฉันจะละเว้นรายละเอียดเนื่องจากยากที่จะเขียนลงโดยไม่มีรูปภาพและ / หรือการวิเคราะห์เคส

หากบทแทรกเป็นจริงรุ่นที่ไม่สิ้นสุดจะตามมาจากKönigตามที่โจสังเกต ( อัปเดต:ผิดดูความคิดเห็น)