ความสมบูรณ์ภายใต้ Karp ฉีดลด

การลดคาร์ปเป็นการคำนวณแบบพหุนามเวลาลดลงแบบหลายคนระหว่างสองปัญหาการคำนวณ การลดคาร์ปจำนวนมากเป็นฟังก์ชั่นหนึ่งเดียวที่จริงแล้ว นี่ทำให้เกิดคำถามว่าการลด Karp ทุกครั้งเป็นแบบฉีด (ฟังก์ชั่นหนึ่งเดียว)

มีสมบูรณ์ตามธรรมชาติของที่ทราบกันว่าสมบูรณ์ภายใต้การลด Karp จำนวนมากและไม่ทราบว่าเสร็จสมบูรณ์ภายใต้การลด Karp แบบฉีดหรือไม่? เราจะได้อะไร (และสูญเสีย) ถ้าเรานิยามความสมบูรณ์แบบโดยใช้การลดคาร์ปแบบฉีด$NP$$NP$

สิ่งหนึ่งที่เห็นได้ชัดเจนคือชุดเบาบางไม่สามารถทำให้เสร็จสมบูรณ์ได้ภายใต้การลดการฉีดของคาร์ป

นี่คือคำตอบสำหรับกรณีพิเศษเมื่อเรา จำกัด ตัวเองไว้เฉพาะกรณีที่การลดคาร์ปสามารถเพิ่มความยาวได้พร้อมกับทำให้เป็นแบบฉีด (ความยาวที่เพิ่มขึ้นหมายถึงโดยที่คือฟังก์ชันที่แสดงถึงการลดลง)$|f(x)|>|x|$$f$

การอ้างสิทธิ์:ถ้าทุกลดคาร์พในสามารถเปลี่ยนเป็นหนึ่งที่นึงและ ความยาวเพิ่มมากขึ้นแล้วถือP ≠ N $NP$$P\neq NP$

พิสูจน์ ให้เราสมมติว่าการลด Karp ทุกครั้งในสามารถเปลี่ยนเป็นอันที่ฉีดและเพิ่มความยาวได้ จากนั้นมีความเป็นไปได้สองอย่าง:$NP$

1. การลดลงทั้งหมดนี้ไม่เพียงคำนวณได้ในเวลาพหุนาม แต่ส่วนกลับของแต่ละฟังก์ชั่นซึ่งมีอยู่หลังจากการทำฟังก์ชั่นการฉีดก็ยังคำนวณได้ในเวลาพหุนาม เป็นที่ทราบกันว่าหากทั้งสองภาษาลดทอนซึ่งกันและกันโดยการลดค่าที่คำนวณได้จาก polytime, polytime invertible และเพิ่มความยาวแล้วพวกเขาก็เป็น polytime isomorphic (ดูทฤษฎีบท 7.4 ในหนังสือ "Theory of Computational Complexity" โดย Ding-Zhu Du และ Ker-I Ko) นี้จะหมายความว่าทุกภาษาสมบูรณ์ -isomorphic, ที่อยู่, มอร์ฟคาดคะเนถือซึ่งเป็นที่รู้จักที่จะบ่งบอกNPp P ≠ N $NP$$p$$P\neq NP$

2. มีอย่างน้อยหนึ่งฟังก์ชั่นเหล่านี้ซึ่งอินเวอร์สนั้นไม่สามารถคำนวณได้ในเวลาพหุนาม ฟังก์ชันนี้จะให้ตัวอย่างของฟังก์ชันทางเดียวที่แย่ที่สุด เป็นที่รู้จักกัน แต่ที่การดำรงอยู่ของที่เลวร้ายที่สุดกรณีที่ฟังก์ชั่นทางเดียวก็หมายความNP (ดูทฤษฎีบท 2.5 ในหนังสือ "The Complexity Theory Companion" โดย Hemaspaandra และ Ogihara)$P\neq NP$

ดังนั้นการสันนิษฐานว่าการลดคาร์ปทุกครั้งสามารถทำได้ทั้งแบบฉีดและเพิ่มความยาวหมายถึงดังนั้นจึงเป็นไปได้ยากที่จะพิสูจน์ ในทางกลับกันมันอาจจะหักล้างได้ง่ายกว่าเพราะมันดูเหมือนจะไม่มีผลที่น่าทึ่ง มันยังไม่ชัดเจนจะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราทิ้งสมมติฐานที่เพิ่มความยาว$P\neq NP$

ไม่ไม่ทราบปัญหาธรรมชาติดังกล่าว เหตุผลก็คือเท่าที่ฉันรู้ปัญหาธรรมชาติทั้งหมดสมบูรณ์นั้นเป็นที่รู้กันว่า p-isomorphic ถึง SAT$\mathsf{NP}$และทฤษฎีบทคุก - เลวินแสดงให้เห็นว่า SAT นั้นสมบูรณ์สำหรับภายใต้การลดแบบหนึ่งต่อหนึ่ง การรวมการลด one-one เข้ากับ SAT กับ p-isomorphism ช่วยลดปัญหาแบบ p-isomorphic แบบหนึ่งต่อหนึ่ง$\mathsf{NP}$

ในความเป็นจริงแล้วแม้แต่ความเป็นไปได้ที่จะเกิด "ผิดธรรมชาติ" ต่อการคาดเดาของอิสมอร์ฟิสต์ซึ่งเป็นชุด k-creative ของทฤษฎีบทของโจเซฟและ Young 2.2 ก็สำเร็จลงได้ด้วยการลดลงครั้งเดียว

[ซ้ำจากความคิดเห็นของฉันที่นี่ :] เนื่องจากการลดลงหลายครั้งส่วนใหญ่ที่เราสร้างอยู่ในความเป็นจริงการลดลงหนึ่งต่อหนึ่งทำไมเราไม่ศึกษาสิ่งเหล่านั้นเมื่อพวกเขาแข็งแกร่งขึ้นอย่างเป็นทางการและเราทำให้พวกเขาเกือบตลอดเวลา? ฉันคิดว่าเพราะมันง่ายกว่าที่จะไม่ต้องไปยุ่งกับการพิสูจน์การฉีดยาแม้ว่าเรามักจะมีมัน ในแง่นั้นการลดลงของหลายคนอาจเป็น "การลดลงของ Goldilocks:" แค่พลังที่เหมาะสมเพียงความเรียบง่ายที่ถูกต้องของการพิสูจน์

ที่จริงแล้วการลดแบบฉีดมีประโยชน์ในการเข้ารหัส สมมติว่าคุณมีระบบพิสูจน์ ZK สำหรับความสัมพันธ์ NP เหนือภาษา L หากคุณต้องการสร้างหลักฐาน ZK สำหรับอีกความสัมพันธ์ NP R 'เหนือภาษา L' คุณต้องค้นหาฟังก์ชันสองฟังก์ชัน f และ g ด้วยคุณสมบัติต่อไปนี้ : 1. x เป็นของ L 'iff f (x) เป็นของ L, 2 ถ้า (x, w) เป็นของ R' ดังนั้น (f (x), g (x, w)) เป็นของ R 3. f และ g ต้องคำนวณอย่างมีประสิทธิภาพ

คุณสมบัติข้างต้นบอกเป็นนัยว่าหากระบบการพิสูจน์สำหรับ R นั้นสมบูรณ์และเสียงระบบการพิสูจน์สำหรับ R '(กำหนดไว้ในวิธีที่ชัดเจนโดยใช้ฟังก์ชั่นด้านบนเพื่อลดอินสแตนซ์ของความสัมพันธ์กับอีกระบบหนึ่ง)

สิ่งที่เกี่ยวกับการพิสูจน์ว่าระบบใหม่เป็น ZK หรือไม่สามารถแยกแยะพยานได้ (WI) หาก f กลับด้านคุณสามารถพิสูจน์ได้ว่าระบบพิสูจน์ที่ได้รับคือ ZK มิฉะนั้นเพื่อพิสูจน์ว่าคุณต้องสมมติว่าระบบพิสูจน์สำหรับ R คืออินพุต ZK เสริม (แทนที่จะเป็นเพียง ZK) สำหรับ WI ถ้า f กลับด้านคุณสามารถพิสูจน์ได้ว่าระบบพิสูจน์สำหรับ R 'คือ WI หากปราศจากข้อเท็จจริงที่ว่า f สามารถย้อนกลับได้ฉันไม่แน่ใจว่าคุณสามารถพิสูจน์ได้หรือไม่