เอกสารให้เครดิตสำหรับการแบ่งกราฟเชิงสเปกตรัม

หากเป็นแบบไร้ทิศทางdกราฟ -regular และSเป็นส่วนหนึ่งของจุดของ cardinality ≤ | V | / 2เรียกการขยายขอบของSปริมาณ$G=(V,E)$$d$$S$$\leq |V|/2$$S$

$\phi(S) := \frac {Edges(S,V-S)}{d\cdot |S|\cdot |V-S|}$

ที่ไหนคือจำนวนของขอบกับหนึ่งในปลายทางและเป็นหนึ่งในปลายทางB จากนั้นปัญหาการขยายขอบคือการหาชุดSด้วย| S | ≤ | V | / 2ที่ช่วยลดไว( S ) โทรϕ ( G )การขยายตัวของชุดที่ดีที่สุด$Edges(A,B)$$A$$B$$S$$|S|\leq |V|/2$$\phi(S)$$\phi(G)$

ผีแยกอัลกอริทึมสำหรับปัญหาการขยายขอบทำงานโดยการหาวิคเตอร์ของ eigenvalue ใหญ่อันดับสองของ, เมทริกซ์ถ้อยคำของGแล้วพิจารณาทุก `` เกณฑ์ชุด '' Sของรูปแบบ{ V : x ( โวลต์) ≤ T }มากกว่าทุกเกณฑ์ที ถ้าเราปล่อยλ 2เป็น eigenvalue ใหญ่เป็นอันดับสองของเมทริกซ์$x$$A$$G$$S$$\{ v : x(v) \leq t \}$$t$$\lambda_2$จากนั้นการวิเคราะห์อัลกอริธึมการแบ่งพาร์ติชันสเปกตรัมแสดงให้เห็นว่าชุดธรณีประตูที่ดีที่สุดSSPที่อัลกอริธึมเป็นที่พึงพอใจ$\frac 1d \cdot A$$S_{SP}$

$\phi(S_{SP}) \leq 2\sqrt {\phi(G)}$

ซึ่งติดตามมาจากความไม่เท่าเทียมของ Cheeger

$\phi(S_{SP}) \leq \sqrt{2\cdot (1-\lambda_2)}$

และ

$1-\lambda_2 \leq 2 \phi(G)$

กระดาษแผ่นแรกที่เรียกร้องเช่นนี้คืออะไร? เอกสารอะไรบ้างที่จะเครดิตสำหรับความคิด? นี่คือสิ่งที่ฉันได้รับ:

• N. Alon และ VD Milman , ความไม่เท่าเทียมกันทางสถิติสำหรับกราฟและ superconcentrators, วารสาร Combinatorial Theory, Series B, 1985, 38 (1): 73-88 $\lambda_1$

  พิสูจน์ผลลัพธ์ด้วยจิตวิญญาณของความไม่สมดุลของ Cheeger "ง่าย" แต่สำหรับการขยายจุดยอดแทนที่จะเป็นการขยายขอบ รับรู้ว่าความสัมพันธ์ระหว่างการขยายขอบและค่าลักษณะเฉพาะเป็นปัญหาที่ศึกษาโดย Cheeger $1-\lambda_2 \leq 2\phi(G)$

  J. Cheeger ขอบเขตล่างสำหรับค่าลักษณะเฉพาะเล็กที่สุดของ Laplacian ปัญหาในการวิเคราะห์ปี 1970

• N. Alon ค่าลักษณะเฉพาะและตัวขยาย Combinatorica 6 (2): 83-96, 1986

  พิสูจน์ให้เห็นผลในจิตวิญญาณของความไม่เท่าเทียมกันยาก Cheeger ที่แต่สำหรับการขยายจุดยอดแทนที่จะเป็นการขยายขอบ $\phi(S_{SP}) \leq \sqrt{2\cdot (1-\lambda_2)}$

• A. ซินแคลร์, M. Jerrum การนับโดยประมาณการสร้างเครื่องแบบและการผสมเชนมาร์คอฟอย่างรวดเร็ว ข้อมูลและการคำนวณ 82: 93-133, 1989 (รุ่นการประชุมปี 1987)

  พิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกันของ Cheeger ตามที่ระบุไว้ข้างต้น (เอกสารการศึกษา _conductance_ ของกลุ่มมาร์คอฟแบบย้อนกลับได้ซึ่งเกิดขึ้นกับ _edge การขยายตัว _ ที่เท่ากันในกราฟปกติ) พวกเขาให้เครดิตงานของ Alon และ Milman และ Alon สำหรับเทคนิค พวกเขายังให้เครดิตอัลบูสสำหรับขอบเขตที่เกี่ยวข้องระหว่างเวลาการผสมและการขยายขอบในกราฟปกติ

• M Mihail สื่อกระแสไฟฟ้าและการบรรจบกันของห่วงโซ่มาร์คอฟ - การบำบัดเชิงขยายของเครื่องขยาย FOCS 1989, หน้า 526-531

  ในขณะที่ประเด็นหลักของบทความก็คือเทคนิคนำไปใช้กับโซ่มาร์คอฟแบบย้อนกลับไม่ตรงเวลาเมื่อนำไปใช้กับกราฟที่ไม่ได้เปลี่ยนทิศทางปกติมันมีข้อได้เปรียบมากกว่างานก่อนหน้า: มันแสดงให้เห็นว่า เวกเตอร์หนึ่งยังคงได้รับอสมการโดยที่λ′คือความฉลาดทางเรย์ลีของเวกเตอร์ ข้อโต้แย้งของ Alon, Milman, Sinclair และ Jerrum นั้นต้องการตัวจริง สิ่งนี้เกี่ยวข้องกับอัลกอริธึมการแบ่งสเปกตรัมอย่างรวดเร็วซึ่งใช้ค่าประมาณโดยประมาณ $\phi(S_{SP}) \leq \sqrt{2\cdot (1-\lambda')}$$\lambda'$

เมื่อใดที่ความสำคัญของอัลกอริทึมของผลลัพธ์ข้างต้นเมื่ออัลกอริธึมการแบ่งกราฟเป็นที่รู้จักครั้งแรก เอกสารข้างต้นไม่มีการสนทนาดังกล่าว

ดูเหมือนว่ากระดาษแรกแนะนำชุดของความคิดนี้ (ใช้พีชคณิต invariant , eigenvalue ที่เล็กที่สุดที่สองของกราฟ Laplacian, เพื่อผูกคุณสมบัติต่าง ๆ ของกราฟ) เพื่อทฤษฎีกราฟเป็น Fiedler ของ "พีชคณิตการเชื่อมต่อของกราฟ" ใน Czechoslovak คณิตศาสตร์ วารสาร. มันปรากฏในปี 1973 ประมาณในเวลาเดียวกันกับกระดาษ Cheeger (1970) ซึ่งจัดการกับ manifolds ฉันไม่แน่ใจว่าใครเป็นคนแรกที่สังเกตความเท่าเทียมกันระหว่างกราฟและ manifolds ด้วยความเคารพ λ 2บางครั้งเรียกว่าหมายเลข Fiedler$\lambda_2$$\lambda_2$

ที่น่าสนใจมีการกล่าวถึงในตอนท้ายของบทความของ Fiedler ชี้ให้เห็นรายงานทางเทคนิคอิสระโดย Anderson และ Morley ชื่อ Eigenvalues ​​ของ Laplacian ในกราฟจากปี 1971 ซึ่งเห็นได้ชัดว่ามีความคิดคล้ายกัน อย่างไรก็ตามมันเป็นกระดาษโดย Anderson และ Morley ที่มีชื่อเดียวกันปรากฏในเชิงเส้นและพีชคณิตแบบหลายเส้นเท่านั้นในปี 1985

ข้อมูลอ้างอิงเพิ่มเติมที่ฉันจำได้ในยุคนั้น:

1) Diaconis และ Stroock ขอบเขตเรขาคณิตสำหรับค่าลักษณะเฉพาะของกลุ่มมาร์คอฟ, พงศาวดารของความน่าจะเป็นประยุกต์, 1991; แต่ฉันจำได้ว่าเอามือมาพิมพ์ล่วงหน้าในช่วงปี 2533 บทความนี้อ้างถึง

2) Dodziuk, สมการความแตกต่าง, ความไม่เท่าเทียมกันเชิงดุลยภาพและระยะเวลาของการเดินสุ่มบางรายการ, การทำธุรกรรมของสมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน, 1984

นอกจากนี้กระดาษ "อัลกอริทึมสหาย" ที่สำคัญสำหรับซินแคลร์และเจอร์ราดในขณะนั้นคือ

3) Dyer Frieze Kannan อัลกอริธึมเวลาแบบสุ่มสำหรับการประมาณปริมาตรของร่างกายนูน STOC 89 แน่นอนผลลัพธ์ที่นี่ถูกสร้างขึ้นที่ด้านบนของ SJ