ข่าวมรณกรรมของการคาดเดาที่ตายแล้ว

ฉันกำลังมองหาการคาดเดาเกี่ยวกับอัลกอริทึมและความซับซ้อนที่หลายคนมองว่าน่าเชื่อถือในบางช่วงเวลา แต่หลังจากนั้นพวกเขาก็ไม่ได้รับการพิสูจน์หรืออย่างน้อยก็ไม่เชื่อ นี่คือสองตัวอย่าง:

1. สมมติฐาน oracle แบบสุ่ม:ความสัมพันธ์ระหว่างคลาสที่ซับซ้อนซึ่งมีไว้สำหรับโลกที่สัมพันธ์กันเกือบทั้งหมดรวมถึงในกรณีที่ไม่เกี่ยวข้อง นี้ได้รับการพิสูจน์โดยผลและแสดงให้เห็นว่าถือสำหรับเกือบทุกสุ่มออราเคิลดูสุ่มออราเคิลสมมติฐานเป็นเท็จฉันP X ≠ P S P A C E X$IP=PSPACE$$IP^X\neq PSPACE^X$$X$

2. ข้อผิดพลาดที่มีขอบเขต จำกัด การขยายอำนาจของเวลาพหุนามอย่างถูกต้อง (เช่น ) สิ่งนี้ถูกเชื่อมาระยะหนึ่ง แต่ต่อมาเนื่องจากผลของการสุ่มตัวอย่างที่ซับซ้อนและการเชื่อมต่อกับความซับซ้อนของวงจรทำให้การคาดเดาตรงกันข้าม ( ) กลายเป็นที่แพร่หลาย (แม้ว่าจะยังเปิดอยู่)P = B P $P\neq BPP$$P=BPP$

การคาดเดาอื่นใดที่ไม่สามารถทดสอบเวลาได้

$\mathsf{NL} \neq \mathsf{coNL}${} ก่อนที่จะเห็นว่าทั้งสองมีความเท่าเทียมกันฉันคิดว่ามันเป็นที่เชื่อกันอย่างกว้างขวางว่าพวกเขามีความชัดเจนโดยการเปรียบเทียบกับความเชื่อที่ว่า (เช่นหลักการทั่วไปที่ว่า "nondeterministism nondeterminism แตกต่างกัน "สิ่งนี้กลายเป็นเท็จภายใต้ขอบเขตความซับซ้อนของพื้นที่ที่มีลอการิทึมอย่างน้อย)$\mathsf{NP} \neq \mathsf{coNP}$

ก่อนที่จะP = P S P A C Eก็คิดว่าเป็นไปได้ว่าแม้c o N Pไม่ได้อยู่ในI P : ในFortnow-Sipser 1988พวกเขาคาดเดาสิ่งนี้เป็นกรณีและให้ oracle สัมพันธ์กับที่มัน เป็นจริง$\mathsf{IP} = \mathsf{PSPACE}$$\mathsf{coNP}$$\mathsf{IP}$

โปรแกรมการแยกสาขาที่มีความกว้างคงที่นั้นต้องการความยาวมากกว่าพหุนามที่จะนับ : หลังจาก Furst-Saxe-Sipser และ Ajtai ในปี 1981 แสดงให้เห็นว่าวงจรAC ⁰ไม่สามารถนับได้ ความยาวไม่สามารถนับได้ซึ่งถือกันอย่างแพร่หลาย เดวิดบาริงตันในปี 1986 แสดงให้เห็นว่าพวกเขาไม่เพียง แต่พวกเขาสามารถนับ แต่ที่พวกเขาจะเทียบเท่ากับ NC 1

-conjecture: นั่นขั้นตอนวิธีการกำหนดใด ๆ สำหรับ3 S U Mต้องΩ ( n 2 )เวลา$\mathsf{3SUM}$$\mathsf{3SUM}$$\Omega(n^2)$

นี้ถูก disproven ในปี 2014 โดยอัลลันและเซทGrønlund Pettie ซึ่งทำให้ขั้นตอนวิธีการที่กำหนดว่าวิ่งในเวลา [1]$O(n^2/(\log n/\log \log n)^{2/3})$

[1] Threesomes, Degenerates และ Love Triangles Allan Grønlundและ Seth Pettie ในรากฐานของวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ (FOCS) 2014, pp. 621-630 arXiv: 1404.0799 [cs.DS]

คำตอบของปัญหาที่สิบของฮิลแบร์ตโดยเดวิสมาติยาเซวิชพัทและโรบินสันแสดงให้เห็นว่าฉากที่นับซ้ำได้นั้นเป็นฉากของไดโอแฟนไทน์

(ผมทำซ้ำที่นี่โพสต์บล็อก , ย้อนหลังจากสองสามปีที่ผ่านมาเป็นข้อเสนอแนะในการแสดงความคิดเห็น.)

จากการทบทวนของGeorg Kreisel เกี่ยวกับปัญหาการตัดสินใจสำหรับสมการไดโอแฟนไทน์แบบเอกซ์โปเนนเชียลโดย Martin Davis, Hilary Putnam และ Julia Robinson, Ann ของคณิตศาสตร์ (2), 74 (3) , (1961), 425–436 MR0133227 (24 # A3061)

บทความนี้ระบุว่าทุกชุดสามารถกำหนดซ้ำได้ซ้ำในแง่ของการยกกำลัง […] ผลลัพธ์เหล่านี้มีความสัมพันธ์อย่างผิวเผินกับปัญหาที่สิบของ Hilbert ใน (สมการสามัญ, เช่น, ไม่ใช่เลขชี้กำลัง) สมการไดโอแฟนไทน์ การพิสูจน์ผลลัพธ์ของผู้แต่งแม้ว่าจะสวยงามมากไม่ได้ใช้ข้อเท็จจริงซ้ำในทฤษฎีของตัวเลขหรือในทฤษฎีของการตั้งค่าใหม่และดังนั้นจึงเป็นไปได้ว่าผลลัพธ์ในปัจจุบันไม่ได้เชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับปัญหาที่สิบของฮิลแบร์ต นอกจากนี้ยังเป็นไปไม่ได้เลยที่ปัญหาทั้งหมด (ธรรมดา) ของไดโอแฟนไทน์จะลดลงอย่างสม่ำเสมอในระดับคงที่ของตัวแปรคงที่ซึ่งจะเป็นกรณีหากทุกชุดเป็นไดโอแฟนไทน์

แน่นอนคำพูดที่ชื่นชอบในความสัมพันธ์กับปัญหาที่สิบมาจากคำนำโดยมาร์ตินเดวิสที่ยูริ Matiyasevich ของปัญหาที่สิบฮิลแบร์ต

ในช่วงปี 1960 ฉันมักจะมีโอกาสบรรยายปัญหาที่สิบของ Hilbert ในเวลานั้นเป็นที่ทราบกันดีว่าความไม่สามารถแก้ไขได้จะเกิดขึ้นจากการมีสมการไดโอแฟนไทน์เดี่ยวซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไขที่จูเลียโรบินสันสร้างขึ้น อย่างไรก็ตามดูเหมือนว่ายากเป็นพิเศษในการสร้างสมการดังกล่าวและแน่นอนความเห็นที่เกิดขึ้นคือว่าไม่มีใครอยู่ ในการบรรยายของฉันฉันจะเน้นถึงผลที่สำคัญที่ตามมาจากการพิสูจน์หรือการป้องกันการมีอยู่ของสมการดังกล่าว อย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ในช่วงเวลาคำถามฉันจะถูกถามถึงความคิดเห็นของตัวเองว่าเรื่องจะเกิดขึ้นได้อย่างไรและฉันได้รับคำตอบพร้อม:“ ฉันคิดว่าสมมติฐานของ Julia Robinson เป็นจริงและจะพิสูจน์โดยรัสเซียหนุ่มที่ฉลาด”

โปรแกรมฮิลแบร์ตและ "คาดเดา" ของเขาเกี่ยวกับ decidability ทฤษฎีอย่างเป็นทางการ มันเป็นสูตรในช่วงต้นปี ค.ศ. 1920 และถูกติดตามโดยเขาและผู้ทำงานร่วมกันของเขาที่มหาวิทยาลัย Gottingen และที่อื่น ๆ ในช่วงปี ค.ศ. 1920 และ 1930

"ด้วยพื้นฐานใหม่ของคณิตศาสตร์ - ซึ่งเราสามารถเรียกทฤษฎีการพิสูจน์ได้อย่างเหมาะสม - ฉันเชื่อว่าจะทิ้งคำถามพื้นฐานในวิชาคณิตศาสตร์เช่นครั้งเดียวและทั้งหมดโดยการเปลี่ยนคำแถลงทางคณิตศาสตร์ทุกฉบับให้เป็นสูตรที่แสดงออกได้อย่างชัดเจนและสืบเนื่อง ความซับซ้อนของคำถามในโดเมนของคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ "

เป็นที่ทราบกันดีว่าฮิลแบร์ตข้อเสนอ "ชน" (ค่อนข้างรวดเร็ว [1931]) ลงทฤษฎีบทไม่สมบูรณ์ของGödel

สำหรับภาพรวมที่ดีของโปรแกรมของฮิลแบร์ตและการพัฒนาในภายหลังดูได้ที่: Richard Zach; โปรแกรมของฮิลแบร์ตแล้วตอนนี้; คู่มือปรัชญาวิทยาศาสตร์ เล่มที่ 5: ปรัชญาของตรรกะ; 2006

ดูคำตอบของAndrés Caicedoสำหรับแง่มุมอื่นของเรื่องนี้: ปัญหาที่สิบของ Hilbert ที่แก้ไขในปี 1970 เท่านั้น

$s > 1/2$$\text{PCP}_{1,s}[ \log n, 3] \subseteq \text{P}$

$\text{PCP}_{1,1/2}[ \log n, 3] = \text{P}$

(* ฉันพบการบรรยายของ Madhu ที่ตีพิมพ์ใน "ทฤษฎีการคำนวณเชิงซ้อนที่แก้ไขโดย Rudich / Wigderson")

การคาดเดาช่วงบนสเปกตรัมจากเป็นทางการถึงไม่เป็นทางการ ตัวอย่างเช่นการคาดคะเนที่มีชื่อเสียงของ Hilberts เกี่ยวกับความสามารถในการคำนวณของคณิตศาสตร์ได้กลายเป็นปัญหาสองสามอย่างเช่นปัญหาที่ 10 ของ Hilberts แต่มันก็เป็นการคาดเดาที่ไม่เป็นทางการที่ยิ่งใหญ่กว่าซึ่งครอบคลุมทั้งฟิลด์ มันสามารถถูกมองว่าเป็นโครงการวิจัยที่เสนอ

สูตรง่าย ๆ อย่างหนึ่งในการค้นหา "ข่าวมรณกรรมของการคาดคะเนตาย" จะต้องพิจารณาคำสั่ง "เมตา -" "[x] การคาดคะเนสามารถพิสูจน์ได้ในชีวิตของฉัน" วรรณกรรมคณิตศาสตร์เต็มไปด้วยข้อความ / ความคาดหวังที่กลายเป็น "เท็จ" ในแง่ที่ท้าทายความคาดหวังอย่างเต็มที่เกี่ยวกับความยากลำบากและการเข้าถึงหลักฐาน คลาสสิกคือ Riemann conjecture ที่เปิดมานานกว่าศตวรรษ ~ 1. การใช้แบบจำลองเดียวกันนี้กับทฤษฎีความซับซ้อนนั้นไม่ง่ายนักเพราะทฤษฎีความซับซ้อนนั้นเป็นสาขาวิทยาศาสตร์ที่อายุน้อยกว่ามาก อย่างไรก็ตามนี่คือตัวอย่างสำคัญ

การค้นพบครั้งแรกของปัญหา P vs NP (ตอนนี้เปิด4½ทศวรรษ) มีความไร้เดียงสาในการที่นักวิจัยดั้งเดิมทำไม่ได้และไม่สามารถจินตนาการได้ว่าปัญหาที่ยากหรือการตัดขวางจะกลายเป็นอย่างไร เพื่อให้มีความเฉพาะเจาะจงมากขึ้นพิจารณาวงจรของความซับซ้อนของวงจรที่คิดค้นในต้นทศวรรษ 1980 เช่นโดย Sipser นี่เป็นโครงการวิจัยที่ค่อนข้างคล้ายกับ Hilberts ที่ติดตั้งส่วนหนึ่งเพื่อโจมตี P vs NP ผลลัพธ์ทางประวัติศาสตร์บางส่วนถูกสรุปโดย Arvind ในบทคัดย่อ / บทนำคอลัมน์ความซับซ้อนของการคำนวณ BEATCS 106 :

ปี 1980 เป็นช่วงเวลาทองสำหรับความซับซ้อนของวงจรบูลีนที่ต่ำกว่าขอบเขต มีความก้าวหน้าครั้งสำคัญ ยกตัวอย่างเช่นขอบเขตที่ลดลงของ Razborov สำหรับโมโนโพลวงจรบูลีนที่คำนวณฟังก์ชัน Clique และ Razborov-Smolensky superpolynomial ขนาดต่ำกว่าขอบเขตสำหรับวงจรเชิงลึกคงที่ด้วยประตู_{p p}สำหรับไพร์มไพร์ม ผลลัพธ์เหล่านี้ทำให้นักวิจัยมองโลกในแง่ดีเกี่ยวกับความคืบหน้าของคำถามที่มีขอบเขตล่างขนาดใหญ่และการแยกชั้นความซับซ้อน อย่างไรก็ตามในช่วงสองทศวรรษที่ผ่านมาการมองโลกในแง่ดีนี้ค่อยๆกลายเป็นความสิ้นหวัง เรายังไม่ทราบวิธีการพิสูจน์ขอบเขตล่างสุดพิเศษสำหรับวงจรความลึกคงที่ด้วยประตูMOD ₆สำหรับฟังก์ชันที่คำนวณได้ในเวลาเอ็กซ์โปเนนเชียล

มีสองเอกสารสำคัญที่ยิงลงความหวังในสนาม Razborov มีผลลัพธ์ที่ยอดเยี่ยม / โด่งดังในฟังก์ชั่น Clique แต่แล้วก็เขียนบทความตรงข้ามสองฉบับ กระดาษแผ่นหนึ่งแสดงให้เห็นว่าการจับคู่เป็นปัญหาเวลา P ต้องใช้วงจรโมโนโพเนนเชียลแบบเอกซ์โปเนนเชียลและดังนั้นในบางแง่มุมวิธีวงจรโมโนโทนไปยังขอบเขตที่ต่ำกว่านั้นถูกขัดขวางเนื่องจากการขาดการติดต่อที่ซับซ้อน เข้าใจ)

สิ่งนี้ได้ถูกขยายออกไปในเอกสารพิสูจน์ธรรมชาติอันโด่งดังของเขาซึ่งเขียนร่วมกับ Rudich ซึ่งแสดงให้เห็นว่าการพิสูจน์ขอบเขตล่างทั้งหมดของวงจรก่อนหน้านั้นมีรูปแบบเฉพาะซึ่งมีจุดอ่อนที่พิสูจน์ได้ในแง่ของความขัดแย้งกับขอบเขตล่างที่คาดเดา การอ่านรหัส

ดังนั้นในระดับวงจรมี "หลุดจากพระคุณ" มันยังคงเป็นพื้นที่การวิจัยขนาดใหญ่ แต่ภูมิปัญญาดั้งเดิมที่ได้รับการสนับสนุนจากผลลัพธ์ทางเทคนิคคือรูปแบบ / โครงสร้างการพิสูจน์แบบพิเศษที่ยังไม่ทราบที่จะต้องได้ผลลัพธ์ที่แข็งแกร่งในพื้นที่ถ้าเป็นไปได้ ในความเป็นจริงในทำนองเดียวกันอาจแนะนำว่าแม้ "ขอบเขตล่างที่แข็งแกร่งในทฤษฎีความซับซ้อน" โดยรวมแล้วตอนนี้เห็นว่าเป็นเรื่องยากมากและนี่ก็ไม่ได้คาดหวังอย่างกว้างขวาง / ทำนายในวันที่อายุน้อยกว่าของสนาม แต่ในทางกลับกันสิ่งนี้ก็จัดอันดับพวกเขาในความยากลำบาก / ความสำคัญ / ความสำคัญกับปัญหาใหญ่ (เปิด) ของคณิตศาสตร์