กำกับการคัดลายมือเป็นออโตมาตะขั้นต่ำสุด

รับภาษาปกติ $L$ บนตัวอักษร $A$ออโตเมติกที่กำหนดได้น้อยที่สุดสามารถมองเห็นได้ว่าเป็นการเชื่อมต่อแบบมัลติจิงที่เชื่อมโยงโดยตรงกับค่าคงที่ $|A|$และสถานะเริ่มต้นที่ทำเครื่องหมายไว้ (โดยการลืมเลเบลการเปลี่ยนสถานะสุดท้าย) เราคงสถานะเริ่มต้นไว้เนื่องจากจุดสุดยอดทุกจุดต้องสามารถเข้าถึงได้

การสนทนาเป็นจริงหรือไม่ เช่นได้รับการเชื่อมต่อที่หลากหลาย$G$ ด้วยระดับคงที่ออกและสถานะเริ่มต้นเช่นว่าทุกจุดสุดยอดสามารถเข้าถึงได้จากมันมีเสมอภาษา $L$ ดังนั้น $G$ เป็นกราฟพื้นฐานของออโตเมติกขั้นต่ำของ $L$ ?

เช่นถ้า $|A|=1$ เป็นจริงเนื่องจากกราฟจะต้องเป็น "lasso" ที่มีส่วนนำหน้าขนาด $i$ และขนาดวนซ้ำ $j$และสอดคล้องกับออโตเมติกขั้นต่ำของ $L=\{a^{i+nj}~|~n\in\mathbb N\}$.

แรงจูงใจมาจากปัญหาที่เกี่ยวข้องที่พบในการลดความสามารถในการตัดสินใจซึ่งวิธีแก้ปัญหานั้นง่ายกว่า: เริ่มจากกราฟที่ไม่เน้นความเรียบง่ายและมีการอนุญาตเพิ่มเติมเช่นการเพิ่มอ่างล้างมือ แต่ฉันสงสัยว่ามีใครบางคนได้ดูคำถามที่เป็นธรรมชาติมากกว่านี้อยู่แล้ว?

สิ่งเดียวที่เชื่อมโยงจากระยะไกลที่ฉันสามารถหาได้ในวรรณคดีคือเอกสารเช่นความซับซ้อนของการระบายสีบนท้องถนนด้วยคำตั้งค่าที่กำหนดไว้ล่วงหน้าซึ่งเป้าหมายคือการใช้สีของการพิมพ์มัลติริงเพื่อให้หุ่นยนต์ที่เกิด อย่างไรก็ตามดูเหมือนจะไม่ได้รับการพิจารณาน้อยที่สุด

ปรับปรุง : คำถามติดตามหลังจากคำตอบของ Klaus Draeger: ความซับซ้อนของการตัดสินใจว่ากราฟเป็นรูปร่างนี้หรือไม่? เราสามารถเดาได้ว่าการติดฉลากและตรวจสอบพหุนามน้อยที่สุดของหุ่นยนต์ดังนั้นมันจึงอยู่ใน NP แต่เราจะพูดมากกว่านี้ได้ไหม?

โหนดการดูดซับใด ๆ $n$ จะต้องได้รับการยอมรับหรือไม่ (เพื่อให้ทุกอย่างหรือไม่มีอะไรได้รับการยอมรับครั้งเดียว $n$ถูกป้อน) หากกราฟมีโหนดการดูดซับมากกว่าสองโหนดบางโหนดจะสิ้นสุดลงเทียบเท่ากับตัวเลือกการติดฉลากและการยอมรับชุดใด ๆ

โดยทั่วไปสำหรับกราฟที่เชื่อมต่ออย่างยิ่ง $H$ มีจำนวน จำกัด เท่านั้น $n(H)$การติดฉลากที่เป็นไปได้ที่แตกต่างกันและการยอมรับชุดย่อย; ถ้ากราฟของคุณมีมากกว่า$n(H)$ เทอร์มินัลเชื่อมต่ออย่างยิ่งส่วนประกอบเทียบเท่า $H$ (ติดอยู่ที่ใบของต้นไม้, พูด), มันไม่สามารถสอดคล้องกับออโตเมติกขั้นต่ำใด ๆ

แก้ไขเกี่ยวกับคำถามติดตาม: นี่ฟังดูยุ่งยาก วิธีการหนึ่งที่แนะนำโดยข้อโต้แย้งของฉันอาจมีลักษณะเช่นนี้:

• กั้น $G$เป็น SCC นี่คือราคาถูก;$O(|V|+|E|)$ ใช้อัลกอริทึมของ Tarjan
• จัดเรียง SCCs เป็นคลาสมอร์ฟิซึ่มส์ น่าเสียดายที่กราฟมอร์ฟิสต์ไม่เป็นที่รู้จัก$P$.
• สำหรับคลาสมอร์ฟิซึ่มแต่ละขั้วให้พิจารณาจำนวนของออโตมาตาย่อยที่อนุญาตที่อนุญาตและล้มเหลวหากมีไม่เพียงพอ โปรดทราบว่าอนุญาตให้ใช้ชุดค่าผสมย่อยและการติดฉลากขอบไม่ได้ทุกครั้งตัวอย่างเช่นสมมติว่าตัวอักษรของเราคือ$\{a,b\}$และส่วนประกอบมีสองโหนดแต่ละโหนดมีการวนรอบตัวเองและมีขอบไปยังโหนดอื่น การทำให้ทั้งสองโหนดยอมรับและทำเลเบลทั้งสองลูปด้วย$a$ (และขอบอื่น ๆ ด้วย $b$) ให้ออโตเมติกซึ่งมีลักษณะแปลกประหลาดไปเป็นสถานะการดูดซับเพียงครั้งเดียว
• ปฏิบัติต่อ SCC ที่เหลือใน DAG ในทำนองเดียวกันโดยคำนึงถึงตัวล่าง ฉันค่อนข้างคลุมเครือในรายละเอียดของส่วนนี้

นั่นเป็นขั้นตอนหนึ่งที่มีความซับซ้อนเปิดชื่อเสียงและอีกขั้นซึ่งดูเหมือนว่าอาจต้องใช้เวลาแทน (เนื่องจากอาจมีหลายพาร์ติชันชี้แจงในคลาส bisimilarity เพื่อยกเว้นเมื่อพิจารณาออโตมาตาที่อนุญาต) เราทำได้ดีกว่านี้ไหม