ปัญหาเกือบสมบูรณ์แบบ "เกือบจะง่าย"

ให้เราบอกว่าภาษา $L$ คือP -density-close หากมีอัลกอริธึมเวลาพหุนามที่ตัดสินใจ $L$ บนอินพุตทั้งหมดอย่างถูกต้อง

$A\in$ $L\Delta A$

lim_{n \to \infty} \frac{| (L Δ A) \cap {0, 1}^{n} |}{2^{n}} = 0.

$\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{|(L\Delta A) \cap \{0,1\}^n|}{2^n}=0.$

A

$A$

L

$L$

L

$L$

โปรดทราบว่าไม่จำเป็นต้องกระจัดกระจาย ตัวอย่างเช่นหากมี บิตสตริงมันจะยังคงหายไป (ที่อัตราเอ็กซ์โปเนนเชียล) ตั้งแต่ . $L\Delta A$ $2^{n/2}$ $n$ $2^{n/2}/2^n=2^{-n/2}$

ไม่ยากที่จะสร้างปัญหาที่ไม่สมบูรณ์(เทียม) ที่ P -density-close ตามคำนิยามข้างต้น ตัวอย่างเช่นสมมติใด ๆNPภาษาที่สมบูรณ์และกำหนด\} จากนั้นจะรักษาความสมบูรณ์ของNPแต่มีอย่างน้อย bit ใช่อินสแตนซ์ ดังนั้นอัลกอริธึมเล็กน้อยที่ตอบว่า "ไม่" สำหรับทุกอินพุตจะต้องตัดสินใจในอินพุตเกือบทั้งหมดอย่างถูกต้อง มันจะผิดพลาดในส่วนของอินพุต bit $L$ $L^2=\{xx\,|\, x\in L\}$ $L^2$ $2^{n/2}$ $n$ $L^2$ $\leq 1-2^{-n/2}$ $n$

ในทางกลับกันมันจะน่าแปลกใจมากถ้า ปัญหา NP ที่สมบูรณ์ทั้งหมด เป็นP -density-close นั่นหมายความว่าปัญหาที่ไม่สมบูรณ์ของNPทั้งหมดนั้นเกือบจะง่าย สิ่งนี้กระตุ้นให้เกิดคำถาม:

สมมติว่าP NPซึ่งเป็น ปัญหาธรรมชาติที่สมบูรณ์แบบที่ไม่ใช่ P -density-close $\neq$

— Andras Farago
แหล่งที่มา

ตั้งแต่Heuristicaไม่ได้ตัดออกมีไม่ได้เป็นปัญหาที่ไม่จำเป็นต้องเป็นธรรมชาติที่ P ≠ NP เป็นที่รู้จักกันจะบ่งบอกว่าปัญหาไม่ได้อยู่ในเกือบพี

ฉันเชื่อว่าปัญหาการโพสต์การติดต่อเป็นปัญหาที่ดี มันเป็นเรื่องยากแม้ในกรณีที่มีการสุ่มอย่างสม่ำเสมอดังนั้นจึงเป็นเรื่องยากในกรณีทั่วไป

— Mohammad Al-Turkistany

FYI: ทางเลือกของการตั้งชื่อของคุณในขณะที่เป็นธรรมชาติมีความขัดแย้งกับระบบการตั้งชื่อที่มีอยู่: คลาสเกือบ Pประกอบด้วยภาษาเหล่านั้น L เช่นที่

มีการวัด 1 คุณอาจสนใจที่จะรู้ว่า รุ่นของความหมายของคุณได้ถูกนำมาใช้และมีการเชื่อมต่อกับความคิดอื่น ๆ อีกหลายดูP-ใกล้ เมื่อพิจารณาจาก P-close อาจเป็นชื่อที่ดีสำหรับแนวคิดของคุณคือ P-density-close หรือ P-close-พอ :)

{A : L \in P^{A}}

$\{A : L \in P^A\}$

— Joshua Grochow

ในทางกลับกันปัญหาการตัดสินใจ "การทำสีกราฟ " น่าจะเป็นผู้สมัครสำหรับปัญหาดังกล่าว

$\;$

ฉันไม่มั่นใจว่านี่เป็นคำจำกัดความที่ถูกต้อง ถ้าความหนาแน่นของ

หายไปมันก็ "เกือบจะง่าย" ผ่านภาษาที่ไม่สำคัญ

ไม่ว่ามันจะยากแค่ไหน แต่มันก็เป็นเรื่องยากที่จะจัดแสดงภาษาที่ยากอย่างเป็นธรรมชาติบนตัวอักษร

มีความหนาแน่นซึ่งไม่หายไปเพียงเพราะการเข้ารหัส ควรแยกไม่ได้อยู่กับขนาด

ปัจจัยการผลิตที่ถูกต้อง (เพื่อให้ปัญหานี้เป็นปัญหาสัญญา) มากกว่าสตริงทั้งหมดหรือไม่ มิฉะนั้นสิ่งนี้ส่วนใหญ่ต้องตอบคำถาม: มีการเข้ารหัสบูลีนของภาษา NP- ฮาร์ดบางอย่างที่มีความหนาแน่นที่ไม่หายไป?

L

$L$

A

$A$

{0, 1}

$\{0,1\}$

n

$n$

— András Salamon

ฉันดูว่ามีสมมติฐานที่ยอมรับกันโดยทั่วไปในทฤษฎีความซับซ้อนหรือไม่ซึ่งหมายความว่าต้องมีภาษาสมบูรณ์แบบNPที่ไม่สามารถยอมรับได้ในเวลาพหุนามในอินพุตเกือบทั้งหมด (ตามที่กำหนดไว้ในคำถาม)

ที่น่าสนใจที่สุด "มาตรฐาน" สมมติฐานดูเหมือนจะไม่ได้หมายความว่ามัน นั่นคือดูเหมือนว่าจะไม่ปฏิบัติตาม (ยกเว้นกรณีที่ฉันมองข้ามบางอย่าง) จากP NP , P BPP , NP coNP , E NE , EXP NEXP , NP PSPACE , NP EXP , NP P / โพลี, PHไม่ยุบเป็นต้น $\neq$ $=$ $\neq$ $\neq$ $\neq$ $\neq$ $\neq$ $\not\subseteq$

ในทางกลับกันฉันพบสมมติฐานหนึ่งซึ่งน้อยกว่ามาตรฐานเล็กน้อยซึ่งบ่งบอกถึงการมีอยู่ของปัญหา NP ที่หาได้อย่างสมบูรณ์แม้ว่าจะไม่ใช่ธรรมชาติก็ตาม ในทางทฤษฎีของทรัพยากรที่ล้อมรอบวัดสมมติฐานพื้นฐานคือNPไม่ได้มี -measure ศูนย์แสดงโดย NP 0อย่างไม่เป็นทางการซึ่งหมายความว่าภาษาNPภายในEไม่ได้เป็นชุดย่อยที่เล็กน้อย ดูรายละเอียดการสำรวจที่นี่ ในทฤษฎีนี้พวกเขาพิสูจน์ว่าเหนือสิ่งอื่นใด NP $p$ $\mu_p($ $)\neq 0$ $\mu_p($ หมายถึงการดำรงอยู่ของที่Pภาษา -bi ภูมิคุ้มกันในNP ภาษาคือP-bi ภูมิคุ้มกันถ้าค่าหรือส่วนประกอบที่มีเซตอนันต์P ภาษาดังกล่าวตอบสนองความต้องการของเราอย่างแข็งแกร่ง $)\neq 0$ $L$ $L$

อย่างไรก็ตามมันยังคงไม่ชัดเจนว่ามีตัวอย่างที่แสดงถึงปัญหาธรรมชาติหรือไม่

— Andras Farago
แหล่งที่มา

Bi-ภูมิคุ้มกันยังเป็นมากแข็งแรงกว่าสภาพของคุณและมีความเกี่ยวข้องกับการใช้งานทั่วไปอื่น ๆ ของ "เกือบทั้งหมด" ในทางทฤษฎีโครงสร้างที่ซับซ้อนกล่าวคือ "สำหรับทุกคน แต่หลายขีด" ...

— โจชัว Grochow

@JoshuaGrochow ฉันเห็นด้วย แต่ปรากฏว่าในแง่หนึ่ง P-bi-immunity นั้นหมายถึงการ รบกวนที่รุนแรงเกินไป ดูเหมือนว่ามันจะไม่เกิดขึ้นท่ามกลางปัญหา NP-complete ตามธรรมชาติ มันน่าแปลกใจสำหรับฉันที่เห็นได้ชัดว่าไม่มีผลลัพธ์ที่ให้เงื่อนไขเพียงสำหรับการมีอยู่ของภาษา NP- สมบูรณ์แบบ "อ่อนแอเกือบทุกแห่ง" โดย "อ่อนแอเกือบทุกที่" ฉันหมายความว่าเงื่อนไข "ทั้งหมด แต่มีจำนวน จำกัด " ถูกแทนที่ด้วย "ทั้งหมด แต่หายไปมาก" นั่นอาจเกี่ยวข้องกับสิ่งที่เกิดขึ้นจริงในทางปฏิบัติ

— Andras Farago

เป็นที่รู้กันว่า NP สามารถวัดค่าได้หรือไม่?

@ RickyDemer เท่าที่ฉันรู้มันไม่มีใครรู้ว่า NP นั้นสามารถวัดได้

— Andras Farago