ความขัดแย้งระหว่างทฤษฎีความไม่สมบูรณ์ครั้งที่สองของGödelกับทรัพย์สินของ CIC ของ Rosser หรือไม่?

ในอีกด้านหนึ่งทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ครั้งที่สองของGödelระบุว่าทฤษฎีทางการที่สอดคล้องกันใด ๆ ที่มีความแข็งแกร่งเพียงพอที่จะแสดงข้อความเกี่ยวกับคณิตศาสตร์พื้นฐานไม่สามารถพิสูจน์ความมั่นคงของตนเองได้ ในทางตรงกันข้ามทรัพย์สินของ Church-Rosser ของระบบ (การเขียนใหม่) อย่างเป็นทางการบอกเราว่ามันสอดคล้องกันในแง่ที่ว่าสมการทั้งหมดไม่สามารถทำได้ตัวอย่างเช่นK $\neq$ ฉันเนื่องจากพวกเขาไม่มีรูปแบบปกติเหมือนกัน

จากนั้นแคลคูลัสของการสร้างอุปนัย (CIC) จะแสดงสถานะทั้งสองอย่างชัดเจน มันแข็งแรงพอที่จะเป็นตัวแทนของข้อเสนอเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ (ที่จริงแล้ว, $\lambda\beta\eta$ - แคลคูลัสเพียงอย่างเดียวสามารถเข้ารหัสเลขคริสตจักรและแสดงฟังก์ชั่นการเรียกซ้ำทั้งหมด) นอกจากนี้ CIC ยังมีการรวมตัวหรือทรัพย์สิน Church-Rosser แต่:

CIC ไม่ควรจะพิสูจน์ความสอดคล้องของตนเองโดยทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ที่สองหรือไม่?

หรือเป็นเพียงแค่กล่าวว่า CIC ไม่สามารถพิสูจน์ความมั่นคงของตัวเองในระบบและคุณสมบัติการบรรจบกันเป็น meta-theorem หรือบางทีทรัพย์สินที่บรรจบกันของ CIC ไม่รับประกันความมั่นคง?

ฉันจะขอขอบคุณอย่างมากถ้ามีใครบางคนสามารถทำให้เข้าใจถึงปัญหาเหล่านั้นได้!

ขอบคุณ!

lo.logic type-theory lambda-calculus

— StudentType
แหล่งที่มา

CR หมายถึงความสอดคล้องในแง่ใด พิจารณาความสัมพันธ์

x \to y

$x \rightarrow y$ เมื่อไรก็ตาม

x, y \in X

$x, y \in X$ .

— Martin Berger

@MartinBerger ดังนั้นคุณกำลังบอกว่า CR ไม่ได้หมายความถึงความมั่นคงใน CIC เพราะมันอยู่ใน

λ

$\lambda$ - แคลคูลัสเช่นK

\neq

$\neq$ ผม และขออภัยฉันไม่เข้าใจคุณในการพิจารณาความสัมพันธ์ข้างต้น

— StudentType

ฉันไม่รู้อะไรเกี่ยวกับ CIC แต่ความเป็นไปได้ที่ชัดเจนคือมันไม่ได้พิสูจน์คุณสมบัติของ Church-Rosser

— Emil Jeřábek

การฟื้นฟูที่แข็งแกร่งจะใกล้เคียงกับความสอดคล้องสำหรับทฤษฎีประเภทไม่ CR หมายถึงมีเงื่อนไขที่ไม่เท่ากัน แต่นั่นไม่ได้ยกเว้นผู้ที่อาศัยอยู่ในโมฆะ การฟื้นฟูที่แข็งแกร่งไม่สามารถพิสูจน์ได้จากภายในเพื่อให้ทฤษฎีบท Godels ยังคงมีอยู่

— Daniel Gratzer

สัญชาตญาณคือโดยทั่วไปมันง่ายที่จะแสดงว่าไม่มีวัตถุปกติที่ไม่ดีในระบบ ตอนนี้ถ้าเราสามารถพิสูจน์ได้ว่าเงื่อนไขทั้งหมดมีรูปแบบปกติที่เราทำ อัลกอริทึมการทำให้เป็นมาตรฐานนั้นง่ายต่อการทำให้เป็นระเบียบ ส่วนที่ยากคือการแสดงให้เห็นว่ามันยุติ หากเรามีฟังก์ชั่นที่เติบโตเร็วพอในระบบเราสามารถใช้ฟังก์ชันเหล่านี้เพื่อพิสูจน์ขอบเขตบนของการยกเลิกอัลกอริทึมการทำให้เป็นมาตรฐาน ฉันคิดว่าหนังสือเก่าของ Girard ควรมีสิ่งเหล่านี้ หลักฐานและประเภทอาจ (หนังสือทฤษฎีการพิสูจน์ที่ดีซึ่งกล่าวถึงฟังก์ชั่นรวมที่เป็นไปได้ทั้งหมดของทฤษฎีควรมี)

— Kaveh

ครั้งแรกที่คุณมีความสับสนความสอดคล้องของ CIC เป็น equational ทฤษฎีที่มีความสอดคล้องของ CIC เป็นทฤษฎีตรรกะ วิธีแรกหมายถึงไม่ใช่ข้อกำหนดทั้งหมดของ CIC (ประเภทเดียวกัน) $\beta\eta$ เทียบเท่า ประการที่สองหมายความว่าประเภท $\bot$ ไม่ได้อาศัยอยู่ CR หมายถึงความมั่นคงชนิดแรกไม่ใช่ลำดับที่สอง สิ่งนี้ดังที่ได้มีการชี้ให้เห็นในความคิดเห็นโดยนัยแทน (อ่อนแอ) การฟื้นฟู ตัวอย่างต้นแบบของสถานการณ์นี้คือบริสุทธิ์ $\lambda$ - แคลคูลัส: มันมีความสอดคล้องกันอย่างเท่าเทียมกัน (CR เก็บ) แต่ถ้าคุณคิดว่ามันเป็นระบบเชิงตรรกะ (ตามที่โบสถ์อลองโซหรือจุดมุ่งหมายดั้งเดิม) มันไม่สอดคล้องกัน

ประการที่สองที่ Emil ชี้ถึงแม้ว่า CIC มีคุณสมบัติที่กำหนด (CR หรือการทำให้เป็นมาตรฐาน) เป็นไปได้อย่างสมบูรณ์แบบที่ CIC จะไม่สามารถพิสูจน์คุณสมบัตินั้นได้ ในกรณีนี้ฉันไม่เห็นความไม่สอดคล้องใด ๆ ในความจริงที่ว่า CIC สามารถพิสูจน์ทรัพย์สิน CR ของตัวเองและฉันเดาว่านี่เป็นกรณีจริง ๆ (อาร์กิวเมนต์ combinatorial ระดับประถมศึกษามักจะเพียงพอสำหรับ CR และข้อโต้แย้งดังกล่าวตกอยู่ภายในขนาดใหญ่ พลังตรรกะของ CIC) อย่างไรก็ตาม CIC ไม่ได้พิสูจน์คุณสมบัติการฟื้นฟูของตัวเองอย่างแน่นอนเพราะทฤษฎีบทที่สองไม่สมบูรณ์

— Damiano Mazza
แหล่งที่มา

+1 ขอบคุณ! คุณช่วยอธิบายรายละเอียดหน่อยได้ไหมว่าคุณสมบัติการทำให้เป็นมาตรฐาน (อ่อน) นั้นแสดงถึงความมั่นคง (ของทฤษฎีเชิงตรรกะ) ได้อย่างไร? คือวิธีการที่ความจริงที่ว่าทุกคำมีรูปแบบปกติแสดงให้เห็นว่า

⊥

$\bot$ อาศัยอยู่หรือไม่

— StudentType

แน่นอน! โดยพื้นฐานแล้วความจริงที่ว่าการตัดแบบตัดหมายถึงความมั่นคง รายละเอียดเพิ่มเติม: เนื่องจากการทำให้มาตรฐานรักษาประเภทไว้การทำให้เป็นมาตรฐานที่ไม่สมบูรณ์ก็หมายความว่าหาก

⊥

$\bot$ เป็นที่อยู่อาศัยจากนั้นจะอยู่ในระยะปกติ แต่มันเป็น (โดยปกติ) เป็นผลมาจากความหมายของระบบตรรกะ (เช่น CIC หรือแคลคูลัสของ

λ

$\lambda$ -cube) ว่าไม่มีคนปกติของ

⊥

$\bot$ .

— Damiano Mazza

@StudentType: มันเป็นบทแทรกที่ค่อนข้างตรงไปตรงมา (โดยอุปนัยมากกว่า derivations) ว่าคำของประเภทอุปนัยในรูปแบบปกติในบริบทที่ว่างเปล่าจะต้องมีคอนสตรัคเตอร์ที่ใช้กับข้อโต้แย้ง

⊥

$\bot$ เป็นอุปนัยประเภทที่ไม่มีสิ่งก่อสร้าง หลักฐานที่คล้ายกันทำงานกับคำจำกัดความทางเลือกของ

⊥

$\bot$ .

— ดี้

ใช่คุณถูก @cody! ฉันควรจะพูดว่า (ในระบบดั้งเดิม) ไม่มีคนอาศัยอยู่ที่ปกติปิด

⊥

$\bot$ มีคนปกติจำนวนมาก

⊥

$\bot$ ซึ่งไม่ได้ปิด!)

— Damiano Mazza