การแบ่งพาร์ติชันของสี่เหลี่ยมโดยไม่ทำอันตรายสี่เหลี่ยมด้านใน

$C$คือสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ขนานกับแกน

$C_1,\dots,C_n$เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าแกนคู่ขนานภายในแยกออกจากกันซึ่งดังนี้:$C_1\cup\dots\cup C_n \subsetneq C$

พาร์ทิชันสี่เหลี่ยมผืนผ้ารักษาของ$C$คือพาร์ทิชัน$C = E_1\cup\dots\cup E_N$เช่นว่า$N\geq n$ที่$E_i$เป็นรูปสี่เหลี่ยมแกนขนานคู่-ภายใน-เคลื่อนและสำหรับทุก$i=1,\dots,n$ : $C_i \subseteq E_i$กล่าวคือสี่เหลี่ยมที่มีอยู่แต่ละอันมีอยู่ในสี่เหลี่ยมผืนผ้าใหม่ที่ไม่ซ้ำใครเช่นนี้

อัลกอริทึมสำหรับการค้นหาพาร์ติชันที่เก็บรักษาสี่เหลี่ยมผืนผ้าด้วยN ตัวเล็ก$N$คืออะไร

โดยเฉพาะมีอัลกอริทึมสำหรับการค้นหาพาร์ติชันที่เก็บรักษาสี่เหลี่ยมผืนผ้าด้วย$N=O(n)$ส่วนหรือไม่

ใหม่คำตอบ: อัลกอริทึมแบบง่าย ๆ ต่อไปนี้เป็นแบบอะซิมโตติติกที่ดีที่สุด:

ยืดแต่ละสี่เหลี่ยมโดยพลการสูงสุดเท่าที่เป็นไปได้เพื่อให้สี่เหลี่ยมยังคงแยกกันเป็นสองส่วน$C_i$

จำนวนของหลุมที่มากที่สุดk-2นี่คือ asymptotically ดีที่สุดเนื่องจากมีการกำหนดค่าที่จำนวนหลุมเป็นอย่างน้อยk)$k-2$$k-O(\sqrt k)$

หลักฐานอยู่ในเอกสารนี้

คำตอบเดิม:

ขั้นตอนวิธีการดังต่อไปนี้ในขณะที่ไม่เหมาะสมก็ดูเหมือนจะเพียงพอสำหรับการหาพาร์ทิชันสี่เหลี่ยมผืนผ้ารักษาด้วยชิ้นส่วน$N=O(n)$

ขั้นตอนวิธีการทำงานร่วมกับเส้นตรงรูปหลายเหลี่ยมซึ่งจะเริ่มต้นที่จะสี่เหลี่ยมC$P$$C$

ขั้นตอนที่ 1:เลือกสี่เหลี่ยมผืนผ้าซึ่งอยู่ติดกับขอบเขตตะวันตกของ (กล่าวคือไม่มีสี่เหลี่ยมผืนผ้าอื่น ๆระหว่างด้านตะวันตกของและขอบเขตตะวันตกของ ) สถานที่ภายในและยืดมันจนกว่าจะสัมผัสกับพรมแดนด้านตะวันตกของPให้ (สำหรับ ) เป็นรุ่นยืดของC_iให้E_i ทำซ้ำเฟส 1ครั้งจนกระทั่งทั้งหมด$C_i$$P$$C_j$$C_i$$P$$C_i$$P$$P$$E_i$$i=1,\dots,n$$C_i$$P=P\setminus E_i$$n$$n$สี่เหลี่ยมต้นฉบับถูกวางและเหยียด ในภาพด้านล่างลำดับที่เป็นไปได้ของการวางรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าคือ :$C_1,C_2,C_4,C_3$

ตอนนี้เป็นรูปหลายเหลี่ยมรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า (อาจตัดการเชื่อมต่อ) เช่นนี้:$P$

ฉันเรียกร้องว่าจำนวนของจุดเว้าในที่มากที่สุด2nเนื่องจากเมื่อใดก็ตามที่รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ยืดออกจะถูกลบออกจากมีความเป็นไปได้ 3 ประการ:$P$$2n$$P$

• มีการเพิ่มจุดยอดเว้าใหม่ 2 อัน (เช่นเมื่อวาง )$C_1,C_4$
• มีการเพิ่มจุดยอดเว้าใหม่ 3 รายการและลบ 1 จุด (เช่นเดียวกับ )$C_3$
• มีการเพิ่มจุดยอดเว้าใหม่ 4 รายการและลบ 2 จุด (เช่นเดียวกับ )$C_2$

ขั้นตอนที่ 2:แบ่งพาร์ติชันเป็นสี่เหลี่ยมขนานแกนโดยใช้อัลกอริทึมที่มีอยู่ (ดูKeil 2000, หน้า 10-13และEppstein 2009, หน้า 3-5สำหรับการตรวจสอบ)$P$

Keil อ้างถึงทฤษฎีบทที่บอกว่าจำนวนของรูปสี่เหลี่ยมในพาร์ติชั่นน้อยที่สุดนั้นถูก จำกัด โดย 1 + จำนวนของจุดยอดเว้า ดังนั้นในกรณีของเราเป็นจำนวนที่มากที่สุดและจำนวนรวมของรูปสี่เหลี่ยมในพาร์ทิชัน 1$2n+1$$N\leq 3n+1$

อัลกอริทึมนี้ไม่เหมาะสม เช่นในตัวอย่างข้างต้นจะช่วยให้ในขณะที่การแก้ปัญหาที่ดีที่สุดมี 5 ดังนั้นคำถามสองข้อยังคงอยู่:$N=13$$N=5$

A. ขั้นตอนวิธีนี้ถูกต้องหรือไม่?

B. มีอัลกอริธึมเวลาพหุนามสำหรับการหาดีที่สุดหรืออย่างน้อยก็ประมาณที่ดีกว่า?$N$