ขอบเขตที่ต่ำกว่าสำหรับ Frege และ Extended Frege

Wikipedia [1] ระบุว่าขอบเขตล่างที่รู้จักกันเป็นอย่างดีสำหรับขนาดของการพิสูจน์ Frege นั้นเป็นกำลังสองและไม่มีใครรู้ขอบเขตที่ต่ำกว่ายอดเยี่ยมสำหรับจำนวนบรรทัดการพิสูจน์ Frege

คำถาม:

1) ขอบเขตล่างที่รู้จักกันเป็นอย่างดีที่สุดสำหรับจำนวนบรรทัดของการพิสูจน์ Frege แบบขยายคืออะไร

2) ขอบเขตล่างที่รู้จักกันดีที่สุดสำหรับขนาดของการพิสูจน์แบบ Frege แบบขยายคืออะไร มันยังคงเป็นกำลังสองเช่นเดียวกับใน Frege?

3) Extended Frege ที่คล้ายต้นไม้สามารถจำลอง Extended Frege ที่เหมือน DAG ในจำนวนพหุนามของขั้นตอน มีขอบเขตต่ำกว่ายอดเยี่ยมสำหรับขนาด / จำนวนบรรทัดบน Frege ที่ขยายเหมือนต้นไม้หรือไม่

4) อะไรคือความซ้ำซากที่นำไปสู่ขอบเขตล่างเชิงเส้นสำหรับจำนวนบรรทัดและขอบเขตล่างกำลังสองสำหรับขนาดในการพิสูจน์ Frege ตามที่ระบุไว้ที่วิกิพีเดีย?

Obs: ฉันทราบถึงความจริงที่ว่า Frege ที่มีความลึกคงที่นั้นเรามีขอบเขตที่ต่ำกว่าตามลำดับ $2^{\Omega(n^{6^{-d}})}$. แต่ฉันสนใจจริง ๆ ในพลังเต็มแรง Frege และ Extended Frege

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Frege_system

1, 2, 4) ขอบเขตล่างที่รู้จักกันเป็นอย่างดีบน Frege ที่ขยายเพิ่มนั้นเหมือนกับ Frege: จำนวนเส้นตรงและขนาดกำลังสอง สิ่งนี้ใช้กับความซ้ำซาก$\neg^{2n}\top$(โดยทั่วไปแล้วการเน้นย้ำที่ไม่ได้เป็นอินสแตนซ์การทดแทนของการออกเสียงซ้ำซ้อนที่สั้นลงและผลรวมของความยาวของฟอร์มย่อยทั้งหมดเป็นกำลังสอง) นี่คือการพิสูจน์ในKrajíčekของคณิตศาสตร์, แคลคูลัสเชิงประพจน์และทฤษฎีความซับซ้อนสำหรับระบบ Frege แต่ข้อโต้แย้งนี้ใช้สำหรับระบบ Frege ที่ขยายเพิ่มเช่นกัน

3) มันไม่ชัดเจนเลยสำหรับฉันว่าคุณกำหนด Frege ที่เหมือนต้นไม้ (ต้องมีกลไกที่อนุญาตให้ใช้ axioms ส่วนขยาย) ได้อีก แต่ฉันไม่ทราบขอบเขตที่ต่ำกว่าของจำนวนเส้นใน Treelike Frege หรือ ระบบ Frege เพิ่มเติม