การเพิ่มความเร็วในการคำนวณแบบไม่กำหนดค่า

nondeterminism สามารถเร่งความเร็วในการคำนวณได้หรือไม่? ถ้าใช่เท่าไหร่

โดยการเร่งการคำนวณที่กำหนดขึ้นโดย nondeterminism ฉันหมายถึงผลลัพธ์ของรูปแบบ:

$\mathsf{DTime}(f(n)) \subseteq \mathsf{NTime}(n)$

เช่นสิ่งที่ชอบ

$\mathsf{DTime}(n^2) \subseteq \mathsf{NTime}(n)$

อะไรคือผลของการเร่งความเร็วที่รู้จักกันดีที่สุดของการคำนวณแบบกำหนดค่าโดย nondeterminism? แล้วหรือแทนที่ ? $\mathsf{\Sigma^P_kTime}(n)$ $\mathsf{ATime}(n)$ $\mathsf{NTime}(n)$

สมมติว่าคลาสความซับซ้อนถูกกำหนดโดยใช้เครื่องทัวริงเทปหลายเทปเพื่อหลีกเลี่ยงลักษณะเฉพาะที่ดีของเครื่องทัวริงเทปเดี่ยวแบบสองช่วงเวลา

— Kaveh
แหล่งที่มา

(โดยทฤษฎีบท 4.1และเวลาลำดับชั้นทฤษฎีบทตัวอย่างของคุณไม่สามารถถือสำหรับหน่วยความจำ 1 เทป.)

คำตอบ:

คุณไม่ควรคาดหวังความเร็วที่น่าตื่นเต้น เรามี

D T ผม M E (ฉ (n)) \subseteq ยังไม่มีข้อความ T ผม M E (ฉ (n)) \subseteq A T ผม M E (ฉ (n)) \subseteq D S P A ค E (ฉ (n)),

$\mathrm{DTIME}(f(n))\subseteq\mathrm{NTIME}(f(n))\subseteq\mathrm{ATIME}(f(n))\subseteq\mathrm{DSPACE}(f(n)),$

และการจำลองเวลาที่กำหนดขึ้นโดยอวกาศที่รู้จักกันเป็นอย่างดียังคงเป็นทฤษฎีบท Hopcroft – Paul – Valiant

D T I M E (f (n)) \subseteq D S P A C E (f (n) / \log f (n)) .

$\mathrm{DTIME}(f(n))\subseteq\mathrm{DSPACE}(f(n)/\log f(n)).$

ดังนั้นจึงไม่เป็นที่รู้จักกันในนามของมอนเทอร์มินมิจิสติกหรือการสับเปลี่ยนเพื่อเร่งความเร็วมากกว่าปัจจัยลอการิทึม (ฉันสงสัยว่าจะไม่มีการเพิ่มความเร็วในแนวเส้นตรงอย่างเป็นทางการเช่นกัน แต่ฉันไม่แน่ใจว่าทฤษฎีบท HPV ไม่สามารถทำงานกับ ATIME แทน DSPACE ได้)

— Emil Jeřábekสนับสนุน Monica
แหล่งที่มา

สำหรับเครื่องจักรทัวริงออนไลน์เทปเดียวมันเป็นนิทานพื้นบ้านที่

)

N T I M E (n) \subseteq D S P A C E (\sqrt{n})

$NTIME(n) \subseteq DSPACE(\sqrt{n})$

— Michael Wehar

สำหรับเครื่องทัวริงสองเทปเรามี

ตามที่ระบุไว้ข้างต้น

D T I M E (n) \subseteq D S P A C E (n / \log (n))

$DTIME(n) \subseteq DSPACE(n/\log(n))$

— Michael Wehar

คำถามเกี่ยวกับเครื่องทัวริงมัลติทาสก์

— Emil Jeřábekสนับสนุนโมนิก้า

ฉันแค่ต้องการให้คำชี้แจงเพิ่มเติมสำหรับผู้อ่านที่สนใจ

— Michael Wehar

โดย Paul-Pippenger-Szemerédi-Trotter, การรวมแรกคือ

สำหรับกรณีพิเศษที่

DTIME (f (n)) ⊊ NTIME (f (n))

$\text{DTIME}(f(n)) \subsetneq \text{NTIME}(f(n))$

f (n) = n

$f(n)=n$

— András Salamon

มีแนวคิดที่แตกต่างกันสองประการ:

(1)การจำลองที่มีประสิทธิภาพของเครื่องจักรที่กำหนดขึ้นโดยเครื่องจักรที่ไม่ได้กำหนดไว้

(2)ผลการเร่งความเร็วที่ได้จากการใช้การจำลองซ้ำแล้วซ้ำอีก

ฉันไม่รู้เกี่ยวกับการจำลองประสิทธิภาพของเครื่องจักรที่กำหนดขึ้นโดยคนที่ไม่ได้กำหนดค่าไว้ แต่ฉันรู้ถึงผลการเร่งความเร็วหลายอย่างที่สามารถใช้ได้หากมีการจำลองที่มีประสิทธิภาพอยู่

พิจารณาคลาสของภาษาที่ decidable โดยเครื่องทัวริงที่ไม่ได้กำหนดไว้ซึ่งทำงานสำหรับเวลาโดยใช้เท่านั้นโดยใช้การเดาแบบไม่กำหนดค่า ในคำอื่น ๆ ความยาวพยานเป็นที่สิ้นสุดโดย ) $NTIGU(t(n), g(n))$ $t(n)$ $g(n)$ $g(n)$

หากคุณมีการจำลองที่มีประสิทธิภาพมากขึ้นโดยใช้เพียงการ คาดเดาแบบไม่สามารถกำหนดค่าได้ฉันเชื่อว่าคุณสามารถเพิ่มความเร็วได้เล็กน้อย โดยเฉพาะฉันเชื่อว่าคุณสามารถพิสูจน์สิ่งต่อไปนี้: $\log(n)$

ถ้าจากนั้น $DTIME(n \log(n)) \subseteq NTIGU(n, \log(n))$ ) $DTIME(2^{\sqrt{n}}) \subseteq NTIME(n)$

หากคุณพบว่าสิ่งนี้น่าสนใจฉันสามารถเขียนหลักฐานได้

Ryan Williams แนะนำการเพิ่มความเร็วที่เกี่ยวข้องใน "การปรับปรุงการค้นหาแบบละเอียดครบถ้วนโดยละเอียด Superpolynomial Lower Bounds"

— Michael Wehar
แหล่งที่มา

อย่างที่คุณเห็น

เป็นข้อสันนิษฐานที่ค่อนข้างใหญ่และมันค่อนข้างสมเหตุสมผลที่คุณสามารถพิสูจน์สมมติฐานว่าเป็นเท็จ . แจ้งให้เราทราบหากคุณทำ :)

D T I M E (n \log (n)) \subseteq N T I G U (n, \log (n))

$DTIME(n \log(n)) \subseteq NTIGU(n, \log(n))$

— Michael Wehar

@AndrasSalamon: วิธีไม่ว่า

ตามมาจากการค้นหาหมดจด?

\subseteq

$\subseteq$

@RickyDemer คุณพูดถูก ได้ลบความคิดเห็น ฉันสันนิษฐานโดยปริยายว่าลัทธิมนเทอมินอมินิสม์อยู่ในตอนท้ายของการคำนวณ แต่มันควรจะเป็นจุดเริ่มต้น

— András Salamon

ปรับปรุง: ในที่สุดก็เริ่มเขียนผลเสนอความเร็วที่ฉันพูดถึง ดูเหมือนว่าจะแตกต่างจากผลลัพธ์ความเร็วอื่น ๆ ที่ฉันพบ โปรดตอบกลับหรือส่งอีเมลฉันหากคุณสนใจที่จะพูดคุย ขอขอบคุณ! :)

— Michael Wehar

จะดูอย่างแน่นอนนี่เป็นวิธีที่น่าสนใจ

— András Salamon

นี่คือคำอธิบายว่าทำไมความเร็วในการคำนวณแบบควอร์ติกทั่วไปแบบไม่ระบุค่าถึงแม้ว่าความจริงจะยากที่จะพิสูจน์:

สมมติว่าควอร์ทีค nondeterministic ทั่วไปเร่งความเร็วของการคำนวณที่กำหนดเช่นถือ เพื่อประโยชน์ของความขัดแย้งสมมติว่า )มีการลดเวลากำลังสองจากปัญหาใด ๆ ใน $\mathsf{DTime}(n^4) \subseteq \mathsf{NTime}(n)$ $\mathsf{SAT} \in \mathsf{DTime}(o(n^2/\lg n))$ เพื่อ Tรวมเหล่านี้เราจะมี ขัดแย้งทฤษฎีบทลำดับชั้นของเวลา $\mathsf{NTime}(n)$ $\mathsf{SAT}$ $\mathsf{DTime}(n^4) \subseteq \mathsf{DTime}(o(n^4/\lg n))$

ดังนั้นการเพิ่มความเร็วในการคำนวณแบบควอร์ติคแบบ nonterministic ทั่วไปจะเป็นการ จำกัด ขอบเขตสำหรับ : $\mathsf{SAT}$

) $\mathsf{DTime}(n^4) \subseteq \mathsf{NTime}(n) \to \mathsf{SAT} \notin \mathsf{DTime}(o(n^2/\lg n))$

ดังนั้นพิสูจน์สมการกำลังสองทั่วไปความเร็วขึ้น nondeterministic ของการคำนวณที่กำหนดอย่างน้อยเป็นเรื่องยากที่พิสูจน์สมการกำลังสองเกือบจะต่ำกว่าขอบเขตใน T $\mathsf{SAT}$

ในทำนองเดียวกันสำหรับฟังก์ชั่นที่ใช้งานได้ดี : $f(n)$

) $\mathsf{DTime}(f(n^2)) \subseteq \mathsf{NTime}(n) \to \mathsf{SAT} \notin \mathsf{DTime}(o(f(n)/\lg n))$

(ถ้าในสถานที่ของเราเลือกปัญหาซึ่งเป็นเรื่องยากสำหรับภายใต้การลดลงของเส้นเวลาแล้วนี้จะให้ขอบเขตล่างสำหรับปัญหาที่. ถ้าเราแก้ไข จำนวนเครื่องเทปไปที่บางส่วน จากนั้นเราสามารถใช้ทฤษฎีลำดับชั้นเวลาของFürer ซึ่งไม่มีปัจจัย ) $\mathsf{SAT}$ $\mathsf{NTime}(n)$ $f(n)/\lg n$ $k\geq 2$ $\lg n$

— Kaveh
แหล่งที่มา

เนื่องจากเราไม่รู้ด้วยซ้ำว่า SAT ไม่ได้อยู่ใน DTime (n) เราจึงไม่ทราบความเร็วที่เพิ่มขึ้น

ω (n \lg n)^{2}

$\omega(n \lg ⁡n)^2$

— Kaveh