กล่องที่เรียงแนวแกนที่เล็กที่สุดที่มีจุด

การป้อนข้อมูล: ชุดของคะแนนในและจำนวนเต็มn $n$ $\mathbb{R}^3$ $k \le n$

เอาท์พุท: กล่องขอบเขตแนวแกนเสียงที่เล็กที่สุดที่มีอย่างน้อยของจุดเหล่านี้ $k$ $n$

ฉันสงสัยว่าขั้นตอนวิธีใดเป็นที่รู้จักสำหรับปัญหานี้หรือไม่ สิ่งที่ดีที่สุดที่ฉันนึกได้ก็คือเวลาอย่างอิสระดังนี้: กำลังเดรัจฉานเหนือขอบเขตบนและล่างที่เป็นไปได้ทั้งหมดสำหรับสองมิติ สำหรับความเป็นไปได้เราสามารถแก้ไขปัญหามิติในเวลาโดยใช้อัลกอริทึมหน้าต่างแบบเลื่อน $O(n^5)$ $O(n^4)$ $1$ $O(n)$

cg.comp-geom

— GMB
แหล่งที่มา

เราไม่สามารถคำนวณตารางที่มีขนาดสำหรับจำนวนคะแนนด้วยหรือไม่ การคำนวณจำนวนคะแนนและปริมาณสามารถทำได้ด้วยจำนวนการดำเนินการ const และเราสามารถใช้การเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกด้วยตารางขนาดและควรจะได้รับอัลกอริทึม

n^{3}

$n^3$

p

$p$

p . x < x, p . y < y, p . z < z

$p.x< x, p.y<y, p.z <z$

k n^{3}

$k n^3$

O (k n^{3})

$O(kn^3)$

— Kaveh

ตกลง. ในกรณีนี้ที่คุณไม่สามารถจริงๆหวังว่าจะทำดีกว่า 5 เนื่องจากมีกล่องที่แตกต่างกันแตกต่างกันและโดยค่าเฉลี่ยอาร์กิวเมนต์ (บนค่าสุ่มของ k) มี กล่องที่มีจุด k อย่างแน่นอน เว้นแต่คุณจะสามารถใช้วอลลุ่มอย่างใดเพื่อทำให้พื้นที่การค้นหามีขนาดเล็กลง แต่อย่างใดดูเหมือนว่าจะเป็นแง่ดี ...

k = Θ (n)

$k=\Theta(n)$

n^{5}

$n^5$

n^{6}

$n^6$

n^{5}

$n^5$

— Sariel Har-Peled

BTW ในกรณีของคุณคุณจะได้รับกล่องที่มีของคะแนนและมีขนาดเล็กกว่ากล่องที่ดีที่สุดที่มีคะแนนในเวลา สำหรับนี่คือเวลาโพลิlogเป็นหลัก, ..

(1 - ϵ) k

$(1-\epsilon)k$

k

$k$

O (((n / k) / ϵ^{2} \log n)^{O (1)})

$O( ((n/k)/\epsilon^2 \log n)^{O(1)})$

k = Θ (n)

$k = \Theta(n)$

— Sariel Har-Peled

สำหรับจุดมีช่องว่างดูการแนะนำของบทความนี้http://www.cs.uwm.edu/faculty/ad/maximal.pdf เราสามารถคำนวณกล่องเหล่านี้ได้ในเวลานี้โดยประมาณ (ดูช่วงแนะนำสำหรับการอ้างอิง) $n$ $O(n^3)$

สำหรับปัญหาของคุณใช้ตัวอย่างที่สุ่มจากจุดที่ทุกจุดจะเลือกด้วย porbability k ตัวอย่างแบบสุ่มนั้นมีขนาด (ตามความคาดหมาย) [และเพื่อความขัดแย้งถือว่าเป็น] มีกล่องเปล่ามีคะแนนจากด้านข้างโดยด้านบน สำหรับแต่ละกล่องดังกล่าวให้ใช้ช่วงโครงสร้างมุมฉากค้นหาข้อมูลโครงสร้างเพื่อคำนวณจำนวนจุดที่มีอยู่ ทำซ้ำกระบวนการนี้ครั้ง ด้วยความน่าจะเป็นสูงกล่องใดกล่องหนึ่งที่คุณได้ลองคือกล่องที่ต้องการ $1/k$ $n/k$ $O((n/k)^3)$ $R$ $O(k^6 \log n)$

โดยรวม, เวลาการทำงานของที่นี่คือn) $O((n/k)^3 * k^6 * polylog n) = O(n^3 k^3 \log^{O(1)} n )$

หากต้องการดูว่าทำไมงานนี้ให้พิจารณากล่องที่เหมาะสมที่สุด มันมี 6 คะแนนของ P บนขอบเขตของมัน ความน่าจะเป็นที่กลุ่มตัวอย่างสุ่มเลือกหกจุดและไม่มีจุดภายในกล่องอย่างน้อยp ดังนั้นหากคุณทำซ้ำขั้นตอนครั้งด้วยความน่าจะเป็นสูงหนึ่งในตัวอย่างแบบสุ่มจะชักนำให้กล่องที่ต้องการเป็นกล่องเปล่า $\frac{1}{k^6} ( 1-1/k)^{k-6} \approx 1/k^6 = p$ $O( (1/p) \log n)$

เนื่องจากมีจำนวน จำกัด สำหรับกล่องที่ว่างเปล่า (ดูหน้ากระดาษข้างต้นสำหรับการอ้างอิงที่เกี่ยวข้อง) จึงไม่น่าเป็นไปได้ที่อัลกอริธึมที่เร็วกว่า $\Theta(n^3)$

[ในการอ้างอิงที่ฉันให้พวกเขาพูดถึงว่า [17] ให้อัลกอริทึมที่แจกแจงกล่องเปล่าสูงสุดทั้งหมดระหว่างจุดใน 3d ในเวลาซึ่งเป็นกล่องดำที่คุณต้องการสำหรับข้างต้น .] $O(n^3 \log^2 n)$

— Sariel Har-Peled
แหล่งที่มา

ขอบคุณ - นี่ยอดเยี่ยมมาก! รายละเอียดที่ผมควรจะได้กล่าวถึง (ขออภัย!) คือสำหรับวัตถุประสงค์ของฉันดังนั้นเป็นเพียงเกี่ยวกับการเป็นดีเป็น6) แต่ถึงกระนั้นมีความคิดดีๆมากมายที่นี่ซึ่งอาจเป็นประโยชน์สำหรับรุ่นขนาดใหญ่...

k = Θ (n)

$k = \Theta(n)$

O (n^{3} k^{3})

$O(n^3 k^3)$

O (n^{6})

$O(n^6)$

k

$k$

— GMB