การตัดสินใจว่าภาษาที่คำนึงถึงบริบทเป็นสิ่งปกติหรือไม่

มันเป็นผลที่รู้จักกันดีว่าคำถาม

ไวยากรณ์ที่ไม่มีบริบทสร้างภาษาปกติหรือไม่

ไม่สามารถตัดสินใจได้ อย่างไรก็ตามมันจะกลายเป็น decidable ในตัวอักษร unary เพียงเพราะในกรณีนี้ชั้นเรียนของภาษาที่ไม่มีบริบทและภาษาปกติตรง

คำถามของฉันคือการรู้ว่าจะเกิดอะไรขึ้นกับภาษาที่ไม่คำนึงถึงบริบท

มันเป็น decidable หรือไม่ที่จะรู้ว่าไวยากรณ์ไวต่อบริบทที่กำหนดในตัวอักษร unary สร้างภาษาปกติ

หากคำตอบเป็นบวกการประมาณความซับซ้อนจะได้รับการต้อนรับ

fl.formal-languages decidability

— J.-E. หมุด
แหล่งที่มา

อนิจจาปัญหาของคุณไม่สามารถตัดสินใจได้ วิธีที่ฉัน stumbled เมื่อ (ซึ่งอาจจะประณีตเพื่อให้ทุกคนที่มีวิธีการที่สมควรเพิ่มเติมควรจะก้าวขึ้น!) ครั้งแรกที่ใช้อาร์กิวเมนต์ทแยงเพื่อแสดงให้เห็นว่ามีความเป็นเอกภาค CSL $X$ ซึ่งไม่ได้เป็นปกติ (ในทางตรงกันข้ามกับผลบวก สำหรับ unary CFLs) จากนั้นลดปัญหาการหยุดเครื่องจักรของทัวริงโดยกำหนด TM $M$ สร้าง CSG $G$ ซึ่งจำลอง $M$ บนความยาวของเทปที่สั้นกว่าสายอักขระแยก $w$ โดยรู้จัก $X$ ถ้า $M$ หยุดทำงานโดยไม่ทำเกินขอบเขต และล้มเหลวในการแยกวิเคราะห์เป็นอย่างอื่นดังนั้น $G$ วิเคราะห์คำทั้งหมด $w \in X$ นั่นก็เพียงพอแล้วถ้า iff $M$ หยุด (เพื่อให้ $L(G)$ แตกต่างจาก $X$ ในขอบเขตที่ จำกัด จำนวนมากเท่านั้นดังนั้นจึงไม่สามารถเป็นปกติได้) มิฉะนั้น $G$ จดจำภาษาที่ว่างเปล่า (ซึ่งเห็นได้ชัดเป็นปกติ)

กุญแจสำคัญในวิธีการนี้คือการสังเกตว่า CSG ไม่เพียง แต่เกี่ยวข้องกับเรื่องทางไวยากรณ์เช่นโครงสร้างวลี - จริง ๆ แล้วลำดับ CSG ที่มาสามารถดำเนินการคำนวณพื้นที่ จำกัด โดยพลการ nondeterministic (แน่นอนมี $\mathbf{PSPACE}$ - CSLs ที่สมบูรณ์) ก่อนที่จะเริ่มทำธุรกิจของการจัดตำแหน่งกับสตริงการแยกวิเคราะห์ สิ่งนี้สามารถสังเกตได้ง่ายที่สุดผ่านการแปลงมาตรฐานระหว่าง CSGs และไวยากรณ์แบบโมโนโทนิก (ซึ่งยังคงทำงานเมื่อ จำกัด ตัวอักษรเอก) และการใช้งานของโปรดักชั่นแบบโมโนโทนิกง่าย ๆ เพื่อจำลองการเปลี่ยนผ่านเครื่องทัวริง ตลอดคำตอบนี้ฉันจะถือว่าผู้อ่านสามารถใส่รายละเอียดส่วนใหญ่เมื่อ CSG จำเป็นต้องจำลองการคำนวณที่กำหนด (ฉันคิดว่าผู้ถามพอใจกับสิ่งเหล่านี้ทั้งหมด แต่ฉันจะข้ามมันไปเพื่อความสมบูรณ์อย่างไรก็ตามอย่าลังเลที่จะขอคำชี้แจงในความคิดเห็น)

ประการแรกเราต้องการ CSG ที่ไม่ธรรมดาของเรา ( แก้ไข:ดังนั้นนี่คือ overkill - ไม่ธรรมดา CSLs เอกภาพสามารถแสดงได้อย่างง่ายดายเช่นผ่านการแทรกบทแทรกในภาษาใด ๆ ที่แสดงถึงพื้นฐานที่สุดของความไม่สม่ำเสมอดูความคิดเห็นสำหรับตัวอย่างในการเข้าใจถึงปัญหาหลังเส้นทแยงมุม เป็นเหมือนการนำหัวรบนิวเคลียร์มาใช้ในการต่อสู้ด้วยมีดตรวจดูสิ่งปลูกสร้างนี้หากคุณสงสัยหรือข้ามไปที่การลด)

Let เป็นนับ DFAs มากกว่าตัวอักษรเช่นว่าจำนวนของรัฐในเพิ่มขึ้นของฉันเราอธิบาย CSG ในแง่ของพฤติกรรมขณะแยกวิเคราะห์สตริง : $D_1, D_2, ...$ $\{1\}$ $D_i$ $i$ $G_X$ $1^n \in \{1\}^*$

Nondeterministically สร้างสตริงของ "blank" ที่ไม่ใช่เทอร์มินัลซึ่งเราคิดว่าเป็น "เทป" หนึ่งในเทอร์มินัลที่ไม่ใช่ช่องว่างควรเป็น "เทอร์มินัล + อ่าน - เขียน + สถานะเริ่มต้น" แยกต่างหาก หากสตริงการแยกไม่ได้แล้วการสืบทอดนี้จะจบลงด้วยความล้มเหลว เราอธิบายส่วนที่เหลือของกระบวนการในแง่ของการคำนวณที่กำหนดขึ้นจากการจำลองที่เป็นไปได้เท่านั้น $n$ $1^n$
พิมพ์ลงบนเทปเป็นการเข้ารหัสของตามด้วยหมายเลขในไบนารี่โดยที่และถูกเลือกเพื่อให้เรามีพื้นที่เพียงพอบนเทปของเราเพื่อทำสิ่งที่เราต้องการ (สิ่งนี้เป็นไปได้เนื่องจากพื้นที่ที่จำเป็นในการเข้ารหัสทั้งและเติบโตขึ้นตามลอการิทึมใน ) $D_i$ $i$ $i = n - c$ $c$ $D_i$ $i$ $i$
ประเมินกับการป้อนข้อมูลฉันนี้ไม่จำเป็นต้องเป็นตัวแทนของ 's เทป - คุณเพียงแค่สามารถเก็บเป็นรัฐเดียวที่คุณจะเปลี่ยนไปตามการเปลี่ยนของเป็นคุณพร่องฉัน $D_i$ $1^i$ $D_i$ $D_i$ $i$
หากปฏิเสธเขียนทับเทปทั้งหมดที่มีอาคารที่ไม่ใช่ที่ผลิต1มิฉะนั้นจะล้มเหลว $D_i$ $1^i$ $1$

เราใช้ )เห็นได้ชัดว่าสำหรับการใด ๆตั้งแต่ ) $X = L(G_X)$ $X \ne L(D_i)$ $i$ $1^{i+c} \in X \Leftrightarrow 1^{i+c} \notin L(D_i)$

ขั้นตอนต่อไปคือการออกแบบการลดจากปัญหาการหยุดพักไปจนถึงปัญหาของผู้ถาม (หากคุณข้ามส่วนข้างต้นให้เป็น CSL แบบเอกภาพที่ไม่ใช่แบบปกติที่สร้างโดย CSG ) $X$ $G_X$

ให้เป็น TM โดยพลการ เราแปลงเป็น CSG ซึ่งทำหน้าที่ดังต่อไปนี้ในการวิเคราะห์สตริง : $M$ $M$ $G$ $1^n$

สร้างเทอร์มินัลที่ไม่มีช่องว่างทางซ้ายสุดเป็นเทอร์มินัลที่ว่าง + อ่าน - เขียนที่แยกต่างหากและยังสร้างเทอร์มินัล "ขอบเขต" ในแต่ละด้าน อีกครั้งหากเราสร้างจำนวนเทอร์มินัลที่ไม่ใช่จำนวนที่ผิดเราก็ล้มเหลว $n-2$
จำลองในช่องว่างระหว่างขั้วที่ไม่ใช่ขอบเขต หากเลื่อนไปยังหนึ่งในรัฐขอบเขตเรายุติการจำลองและคิดว่าไม่หยุด $M$ $M$ $M$
หากหยุดทำตัวเหมือน Xหากเราต้องยุติการจำลองแล้วล้มเหลว $M$ $G_X$

โปรดทราบว่าหากจัดการให้ทำงานตลอดไปภายในขอบเขตจะไม่สามารถสร้างสตริงการแยกวิเคราะห์ได้และจะล้มเหลว หากหยุดแล้วมีเงินบางส่วนของพื้นที่ซึ่งพอเพียงที่จะมี 's ทั้งการคำนวณจึงแยกเมื่อใดก็ตามที่และและด้วยเหตุนี้เป็นสหภาพของและภาษาที่ จำกัด ดังนั้น $M$ $G$ $M$ $n$ $M$ $G$ $1^m$ $m \ge n+2$ $1^m \in X$ $X$ $L(G)$ $L(G)$ ไม่ปกติ ในทางกลับกันถ้าไม่หยุดนิ่งดังนั้นเป็นปกติอย่างชัดเจน $M$ $L(G) = \varnothing$

อัลกอริทึมสำหรับการตัดสินใจว่าเป็นปกติหรือไม่จะตัดสินว่าหยุดชะงักหรือไม่บนเทปเปล่าซึ่งไม่สามารถตัดสินใจได้ มันติดตามว่าปัญหาของผู้ถามไม่สามารถตัดสินใจได้ $L(G)$ $M$

— gdmclellan
แหล่งที่มา

สำหรับส่วนแรกของคำตอบของคุณ

และ

เป็นตัวอย่างของภาษา nonregular บริบทเอก {an2∣n⩾0} $\{a^{n^2} \mid n \geqslant 0\}$

{ap∣p is prime} $\{a^p \mid \text{$p$ is prime}\}$

— เจ

เฮ้อจริง ๆ แล้วมันอาจจะเกิดขึ้นกับฉันได้ว่าการทะเลาะกันในแนวทแยงจะเกินความจริง ฉันเดาว่าฉันจะแก้ไขบันทึกย่อเป็นคำตอบ หวังว่าส่วนที่สองก็มีประโยชน์

— gdmclellan

@ J.-E.Pin: ฉันไม่ได้คิดมากเกินไปมันเป็นเรื่องง่ายหรือไม่ที่จะสร้างไวยากรณ์ที่ละเอียดอ่อนสำหรับบริบทของ

? {ap∣p is prime} $\{a^p \mid p \mbox{ is prime}\}$

— Marzio De Biasi

@ marzio-de-biasi ฉันต้องสารภาพฉันไม่ได้ตรวจสอบตัวเอง แต่พึ่งพาคำตอบ

— J.

@MarzioDeBiasi ง่ายมาก เมื่อพิจารณาว่าภาษานั้นไวต่อบริบทหรือไม่กระบวนการปกติคืออะไรเช่น 1. nondeterministically 2. ดำเนินการคำนวณขอบเขตที่มีขอบเขตเพื่อพิจารณาว่าสตริงการแยกวิเคราะห์ตอบสนองเพรดิเคตบางตัวหรือไม่ และ 3. สร้างสตริง iff กล่าวว่าเพรดิเคตพบว่าพอใจ Space อาจเป็นปัญหาเล็กน้อย (พื้นที่จะถูกกำหนดโดยความยาวของสตริงการแยกวิเคราะห์เนื่องจากคุณไม่สามารถทำสัญญาสตริงที่ได้รับโดยใช้การผลิตตามบริบท) แต่ในกรณี unary คุณมีพื้นที่ชี้แจงเพื่อทำงานกับ .

— gdmclellan

นี่เป็นคำตอบเดียวกับข้างต้น แต่เนื่องจากคำตอบที่ "สะดวกกว่า" ฉันกำลังพูดถึงสิ่งนี้: (และนี่คือโพสต์แรกของฉันที่นี่ดังนั้นโปรดยกโทษให้ฉันถ้าฉันโพสต์เรื่องไม่สำคัญ!)

สังเกตว่าความว่างเปล่านั้นไม่สามารถอธิบายได้สำหรับภาษาที่ไวต่อบริบท แก้ไขบริบท แต่ภาษาที่ไม่ปกติ *รับ LBA สำหรับหนึ่งสามารถสร้าง LBA สำหรับ }จากนั้นได้อย่างชัดเจนเป็นปกติถ้าหากว่าเป็นที่ว่างเปล่า $N\subseteq a^*$ $L\subseteq a^*$ $L'=\{ a^n \mid \text{$a^n\in N$ and $\exists m\le n\colon a^m \in L$}\}$ $L'$ $L$

อัปเดต: แน่นอนว่าอาร์กิวเมนต์เดียวกันนั้นแสดงให้เห็นว่าความไม่สามารถตัดสินใจได้มีอยู่สำหรับพื้นที่ลอการิทึมที่กำหนดไว้แล้ว

— เฟรดริกเซทเช
แหล่งที่มา

"ความว่างเปล่าไม่สามารถอธิบายได้สำหรับภาษาที่มีความอ่อนไหวต่อบริบท": เป็นความจริงที่รู้จักกันดีหรือไม่? คุณจะมีการอ้างอิง?

— เจ

กำหนด Contex ไวต่อภาษา

ใช้ซึ่มส์

ที่แมปทุกตัวอักษรจะ ดังนั้น

จะว่างเปล่าถ้าหาก

ว่างเท่านั้น สำหรับ logspace ที่กำหนดค่าได้รับ TM

เราสามารถสร้าง det logspace TM สำหรับชุดของทุก

ดังกล่าวว่า

มีการคำนวณลังเลของความยาวn

$L\subseteq\Sigma^*$

$h\colon\Sigma^*\to\{a\}^*$

$a$

$h(L)$

$L$

$T$

$a^{2^n}$

$T$

$n$

— Georg Zetzsche