อะไรคือความซับซ้อนของการจำแนกสเปกตรัมฟูริเยร์ที่แท้จริงจากของปลอม?

เครื่องจะได้รับการเข้าถึงของออราเคิลเพื่อสุ่มแบบบูลฟังก์ชั่นและสองฟูริเยร์สเปกตรัมและเอช$PH$$f:\{0,1\}^n \to \{ -1,1 \}$$g$$h$

Fourier spectra ของฟังก์ชันถูกกำหนดเป็น :$f$$F:\{0,1\}^n \to R$

$F(s)=\sum_{x\in\{0,1\}^n} (-1)^\left( s\cdot x \mod\ 2 \right) f(x)$

หนึ่งใน$g$หรือ$h$คือสเปกตรัมฟูเรียร์ที่แท้จริงของ$f$และอีกหนึ่งเป็นเพียงสเปกตรัมปลอมของฟูริเยร์ที่เป็นของฟังก์ชันบูลีนสุ่มที่ไม่รู้จัก

ไม่ยากที่จะแสดงให้เห็นว่าเครื่อง$PH$ไม่สามารถประมาณค่า$F(s)$สำหรับsใด ๆ$s$ได้

ความซับซ้อนของแบบสอบถามในการตัดสินใจด้วยความน่าจะเป็นที่ประสบความสำเร็จสูงเป็นที่หนึ่งจริงหรือไม่

เป็นที่น่าสนใจกับผมเพราะถ้าปัญหานี้ไม่ได้อยู่ใน$PH$แล้วสามารถแสดงให้เห็นว่ามีการพยากรณ์ญาติที่$BQP$ไม่เซตของPH$PH$

ขอโทษฉันมาสาย - เป็นคำถามที่ยอดเยี่ยม! อย่างที่คนอื่น ๆ ชี้ไปแล้วนั่นคือเหตุผลที่ฉันถามคำถามในBQPของฉันกับกระดาษPHและทำไมฉันใช้เวลา 4 หรือ 5 เดือนในการทำงานโดยไม่ประสบความสำเร็จย้อนกลับไปในปี 2008 วิธีหนึ่งที่จะตอบคำถามก็คือการพิสูจน์ คำแถลงทั่วไปที่ฉันเรียกว่า "Generalized Linial-Nisan Conjecture" --- แต่น่าเสียดายที่การคาดเดานั้นกลายเป็นเท็จอย่างน้อยสำหรับวงจรความลึก 3 และสูงกว่า (ฉันยังคงคิดว่ามันอาจเป็นจริงสำหรับวงจรความลึก 2 ซึ่งอย่างน้อยก็จะให้การแยก oracle ระหว่าง BQP และ AM.) สำหรับแนวคิดล่าสุดเพิ่มเติม (ล่าสุดเท่าที่ฉันรู้) ไปสู่การแยก oracle ระหว่าง BQP และ PH ดูกระดาษติดตามที่ดีโดย Fefferman, Shaltiel, Umans

Scott Aaronson อาจเป็นคนที่ดีที่สุดในโลกที่จะตอบคำถามนี้บางทีเขาอาจมีคำตอบที่ดีกว่าหลังจากโพสต์นี้ เขาเสนอปัญหาดั้งเดิมซึ่งคำถามที่โพสต์นี้ดูเหมือนจะแตกต่างกันเล็กน้อยในปัญหาการตรวจสอบฟูริเยร์ที่เรียกว่า(อ้างอิงเพิ่มเติมในความคิดเห็น) ปัญหานั้นมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิด / เกือบเทียบเท่ากับการแยกคลาสความซับซ้อนที่สำคัญสอง PH และ BQP ซึ่งเป็นปัญหาเปิดที่สำคัญของทฤษฎีความซับซ้อนของ QM และมันยากมาก ไม่ปรากฏว่ามีการวิจัยโดยตรง / เพิ่มเติมจำนวนมากเกี่ยวกับปัญหาที่เกิดขึ้นโดยผู้อื่นนอกเหนือจาก Aaronson และอาจไม่ใช่เขา (ดูเหมือนจะเป็นเพียงแค่อายุมากกว่า 2 ปี)

อย่างไรก็ตามนี่คือกระดาษอย่างน้อยหนึ่งฉบับโดยคนอื่นที่ไม่ใช่ Aaronson ที่มุ่งเน้น / สร้างบนการคาดเดา / ปัญหาด้วยผลลัพธ์ใหม่บางอย่าง

การเพิ่มความเร็วแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลเป็นเรื่องทั่วไปโดย Fernando GSL BrandãoและMichał Horodecki

ในบทความของเรา [4] เราสรุปปัญหาการตรวจสอบฟูริเยร์ [1] และแสดงให้เห็นว่าการแปลงฟูริเยร์ทั้งในคำจำกัดความของปัญหาและในอัลกอริทึมควอนตัมในการแก้ปัญหานั้น เหล่านี้รวมทั้งแปลงฟูเรียกว่าใด ๆ (อาจจะไม่ใช่ศาสนาคริสต์) กลุ่มแน่นอนและเกือบทุกวงจรพอควอนตัมยาวจากกระจายพันธุ์ตามธรรมชาติในชุดของวงจรควอนตัม เราได้รับการแยกชี้แจงของควอนตัมและความซับซ้อนแบบสอบถามแบบดั้งเดิมที่เลือกโพสต์สำหรับวงจรดังกล่าวทั้งหมด