การแจกแจงประเภททอพอโลยีของ DAG ที่ติดป้ายจุดสุดยอด

ให้เป็นผู้กำกับวัฏจักรกราฟและให้จะเป็นฟังก์ชั่นการติดฉลากการทำแผนที่จุดสุดยอดแต่ละป้ายกำกับในบาง จำกัด ตัวอักษรLกำลังเขียนการเรียงลำดับทอพอโลยีของเป็น bijectionจากเพื่อ (เช่นการสั่งซื้อของในลำดับ) เช่นว่าเมื่อใดก็ตามแล้ว (เช่นถ้ามีขอบจากถึง$G = (V, E)$$\lambda$$v \in V$$\lambda(v)$$L$$n := |V|$$G$$\sigma$$\{1, \ldots, n\}$$V$$V$$(v, v') \in E$$\sigma^{-1}(v) < \sigma^{-1}(v')$$v$$v'$จากนั้นเกิดขึ้นก่อนตามลำดับ) ฉลากของเป็นคำที่ใน n$v$$v'$$\sigma$$\sigma(1) \cdots \sigma(n)$$L^n$

ให้ฉันต้องการแจกแจงฉลากของประเภททอพอโลยีของอย่างมีประสิทธิภาพ ความซับซ้อนของการระบุฉลากของทอพอโลยีแปลก ๆ คืออะไร? แน่นอนว่าอาจมีจำนวนมากแทนฉันต้องการศึกษาความซับซ้อนเป็นหน้าที่ของขนาดของผลลัพธ์หรือในแง่ของความล่าช้า โดยเฉพาะอย่างยิ่งการแจงนับสามารถดำเนินการได้ด้วยความล่าช้าแบบพหุนาม (หรือแม้กระทั่งความล่าช้าคงที่?)$(G, \lambda)$$G$

ในกรณีที่จุดทั้งหมดของดำเนินการป้ายชื่อที่แตกต่างกัน (หรือเท่ากันจุดที่มีป้ายกำกับด้วยตัวเอง) ผมรู้ว่าป้ายที่สามารถแจกแจงคงตัดจำหน่ายเวลาโดยผลนี้บน การแจกแจงการขยายเชิงเส้นของ posets (ซึ่งเป็นสิ่งเดียวกันกับการแจกแจงการจัดเรียงทอพอโลยีประเภทของ DAG) อย่างไรก็ตามเมื่อจุดยอดถูกติดป้ายกำกับโดยพลการมันอาจเป็นกรณีที่จำนวนทอพอโลยีจำนวนมากมีป้ายชื่อเดียวกันดังนั้นคุณจึงไม่สามารถระบุประเภททอพอโลยีและคำนวณฉลากเพื่อรับวิธีที่มีประสิทธิภาพในการระบุฉลาก . ในคำศัพท์ poset, ป้าย DAGสามารถมองเห็นเป็นป้าย$G$$\{1, \ldots, n\}$$G$$(G, \lambda)$ poset และฉันไม่สามารถหาผลลัพธ์การแจงนับเกี่ยวกับสิ่งเหล่านั้นได้

ฉันรู้ถึงความแข็งของปัญหาที่เกี่ยวข้องแล้วด้วยคำตอบของคำถามอื่นที่นี่ โดยเฉพาะอย่างยิ่งฉันรู้ว่าการหาป้ายที่น้อยที่สุดคือ lexicographically NP-ยาก ฉันยังรู้ด้วยว่าการตัดสินใจว่าฉลากที่กำหนดสามารถทำได้โดยการจัดเรียงโทโพโลยีบางอย่างคือ NP-hard (จากความแข็งของปัญหานี้ : ให้ลำดับเลเบลผู้สมัครขอการเรียงลำดับทอพอโลยีของที่จุดสุดยอดแต่ละจุด ในกรณีที่ฉลากที่เหมาะสมเกิดขึ้นใน$s$$G$$s$) อย่างไรก็ตามฉันไม่คิดว่าสิ่งนี้มีความแข็งสำหรับการแจงนับเนื่องจากคุณอาจระบุในลำดับใด ๆ ที่คุณชอบ (ไม่จำเป็นต้องใช้พจนานุกรม) และอัลกอริทึมการแจงนับไม่สามารถตัดสินใจได้อย่างมีประสิทธิภาพว่าฉลากทำได้หรือไม่ ด้วยการหน่วงเวลาคงที่ (เนื่องจากอาจมีหลายลำดับที่ชี้แจงแทนการแจกแจงก่อน)

โปรดทราบว่ามันเป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นได้ชัดระบุแรกฉลาก (ใช้เวลาเพียงแค่การจัดเรียง topological ใด ๆ ) เพื่อระบุอีกฉลากกว่าคุณสามารถดำเนินการโดยการจัดเก็บภาษีว่าบางองค์ประกอบของได้รับการแจกแจงที่ตำแหน่งบางที่ : ลองทุกและและตรวจสอบว่ามีการเรียงโทโพโลยีที่อยู่ที่ตำแหน่งซึ่งสามารถทำได้อย่างชัดเจนใน PTIME แต่เมื่อคุณแสดงป้ายกำกับมากขึ้นเรื่อย ๆ ฉันไม่แน่ใจว่าจะทำแนวทางนี้ได้อย่างไร$s$$s$$v$$V$$i \in \{1, \ldots, n\}$$s_i \neq \lambda(v)$$v$$i$$G$$v$$i$

หนึ่งในวิธีที่ง่ายที่สุดในการคำนวณการจัดเรียงโทโพโลยีคือการค้นหาความลึกครั้งแรกใน DAG ที่กำหนด orderings ทอพอโลยีที่แตกต่างกันสามารถสร้างขึ้นโดยการใช้ประโยชน์จากความยืดหยุ่นในการเลือกจุดสุดยอดต่อไปจะได้รับการสำรวจจากเพื่อนบ้าน unvisited ของยอดปัจจุบันยูเนื่องจากมันเป็นขั้นตอนแบบเรียกซ้ำที่แจกแจงการสำรวจเส้นทางที่เป็นไปได้ทั้งหมด (และคำสั่งทอพอโลยี) จึงเป็นเรื่องง่ายโดยการเลือกคำสั่งต่าง ๆ ที่เพื่อนบ้านของไม่ได้แวะไป$v$$u$$u$

ตอนนี้เพื่อ จำกัด การทำซ้ำการสำรวจเส้นทางเดียวกันเนื่องจากป้ายกำกับที่คล้ายกันเราสามารถเปรียบเทียบเพื่อนบ้านที่ไม่ได้เข้าชมของมีป้ายกำกับที่คล้ายกัน พิจารณาสองจุดและที่มีเพื่อนบ้าน unvisited เดียวกันเมื่อถึงสำรวจเส้นทางยูการเลือกอย่างใดอย่างหนึ่งก่อนจะสร้างทรี DFS เดียวกันดังนั้นจึงสามารถหลีกเลี่ยงได้$v_1,v_2,...,v_k$$u$$v_i$$v_j$$u$

ตอนนี้การเปรียบเทียบเพื่อนบ้านของทั้งหมดจะนำไปสู่ค่าใช้จ่ายของในเวลาทั้งหมด แต่สามารถทำได้อย่างมีประสิทธิภาพมากขึ้นในโดยใช้ข้อมูลที่เหมาะสม โครงสร้าง$v_1,...,v_k$$O(n^2)$$\tilde{O}(n)$