การเปลี่ยนสับเปลี่ยนทางเดียวโดยไม่ต้อง Trapdoor

ในระยะสั้น:สมมติว่ามีการเปลี่ยนสับเปลี่ยนทางเดียวเราสามารถสร้างสิ่งที่ไม่มีกับดักได้หรือไม่?

ข้อมูลเพิ่มเติม:

การเปลี่ยนแปลงทางเดียวคือการเปลี่ยนแปลงซึ่งง่ายต่อการคำนวณ แต่ยากที่จะกลับ (ให้ดูที่วิกิพีเดียแท็กทางเดียวฟังก์ชั่นสำหรับคำนิยามที่เป็นทางการมากขึ้น) เรามักจะพิจารณาครอบครัวของทางเดียวการเปลี่ยนแปลง,ซึ่งแต่ละคือการเปลี่ยนแปลงทางเดียวที่ทำหน้าที่ในขอบเขตโดเมนD_nการเปลี่ยนแปลงทางกลทางเดียวกับดักประตูถูกกำหนดไว้ด้านบนยกเว้นว่ามีชุดดักจับและอัลกอริธึมกลับโพลี - เวลาเช่นนั้นสำหรับ ,และ$\pi$$\pi = \{\pi_n\}_{n \in \mathbb{N}}$$\pi_n$$D_n$$\{t_n\}_{n \in \mathbb{N}}$$I$$n$$|t_n| \le {\rm poly}(n)$$I$สามารถกลับให้ว่ามันจะได้รับt_n$\pi_n$$t_n$

ฉันรู้วิธีเรียงสับเปลี่ยนแบบทางเดียวซึ่งสร้างขึ้นเพื่อที่จะไม่สามารถหาประตูกล (ยังมีประตูกล) ตัวอย่างขึ้นอยู่กับอาร์เอส-สมมติฐานจะได้รับที่นี่ คำถามคือ,

มีการเปลี่ยนแปลงทางเดียวแบบทางเดียวซึ่งไม่มีกับดัก (ชุด) หรือไม่?

แก้ไข: (การทำให้เป็นระเบียบมากขึ้น)

สมมติมีอยู่บางส่วนทางเดียวการเปลี่ยนแปลงกับ (อนันต์) โดเมน * นั่นคือมีความน่าจะเป็นพหุนามอัลกอริธึม - เวลา (ซึ่งอยู่ที่อินพุตทำให้เกิดการกระจายไปทั่ว ) เช่นนั้น พหุนาม - เวลาใด ๆ ,ใด ๆและมีจำนวนเต็ม :$\pi$$D \subseteq \{0,1\}^*$$\mathcal{D}$$1^n$$D_n=\\{0,1\\}^n \cap D$$\mathcal{A}$$c>0$$n$

$\Pr[x \leftarrow \mathcal{D}(1^n) \colon \quad \mathcal{A}(\pi(x))=x]<n^{-c}$

(ความน่าจะเป็นนำไปสู่การโยนเหรียญภายใน$\mathcal{D}$และ$\mathcal{A}$ )

คำถามคือว่าเราสามารถสร้างการเปลี่ยนรูปทางเดียวซึ่งมีอัลกอริธึมแบบพหุนามแบบคงที่เวลานั้นสำหรับครอบครัวโพลีที่มีขนาดวงจร ,ใด ๆและจำนวนเต็มขนาดใหญ่เพียงพอ :$\pi'$$\mathcal{D}'$ $\mathcal{A}'=\{\mathcal{A}'_n\}_{n \in \mathbb{N}}$$c>0$$n$

$\Pr[x \leftarrow \mathcal{D}'(1^n) \colon \quad \mathcal{A}'_n(\pi'(x))=x]<n^{-c}$

(ความน่าจะเป็นนำไปสู่การโยนเหรียญภายในเนื่องจากเป็นสิ่งที่กำหนดขึ้นแล้ว)$\mathcal{D}'$$\mathcal{A}'$

พิจารณากรณีต่อไปนี้:

1) การเรียงสับเปลี่ยนแบบทางเดียว (OWP) มีอยู่ แต่การเปลี่ยนรูปแบบทางกล (TDP) ไม่ได้ (นั่นคือเราอยู่ในโลกของ " minicrypt " ของImpagliazzo ) ในกรณีนี้คุณเพียงแค่ใช้ OWP ที่รับประกันว่ามีอยู่และคุณรู้ว่ามันไม่มีกับดัก

2) มีทั้ง OWP และ TDP ที่นี่คุณมีสองตัวเลือก:

(a) OWP ทุกตัวมีอัลกอริธึมการสร้างคีย์ G ที่ส่งออกคำอธิบาย "สาธารณะ" ของฟังก์ชั่น f พร้อมกับประตูกลตัวอย่าง ในกรณีนี้ให้พิจารณาการสร้างคีย์ที่แก้ไขแล้วซึ่งจะให้ผลลัพธ์เฉพาะ f สิ่งนี้จะช่วยให้คุณ OWP และยิ่งไปกว่านั้นมันเป็นไปไม่ได้ที่จะหา f ที่กำหนด (มิฉะนั้นคุณมีวิธีที่มีประสิทธิภาพในการสลับ f) นี่ควรจะเป็นตัวแปรที่ไม่เหมือนกันด้วย

(b) มี OWP f อยู่เช่นนั้นซึ่งไม่มีอัลกอริทึม G สามารถส่งออกทั้ง f และ t ดังนั้น t จึงเปิดใช้งานการผกผันของ f (x) สำหรับการสุ่ม x ในกรณีนี้ f เป็น OWP ที่ไม่มีกับดัก

หนึ่งในความคิดเห็นในเธรดข้างต้นดูเหมือนจะแนะนำว่าคำถามของคุณเป็นจริงหรือไม่ว่าการมีอยู่ของ OWP นั้นบ่งบอกถึงการมีอยู่ของ TDP หรือไม่ สิ่งนี้แสดงว่าไม่ถือการสร้าง / ลดกล่องดำ wrt และลดลงและเปิดโดยทั่วไป (ดูความคิดเห็นของฉันในเธรดด้านบน)

ผมไม่ทราบว่าเกี่ยวกับการก่อสร้างจากสมมติฐานทั่วไป แต่คุณจะได้รับผู้สมัครที่เป็นไปได้สำหรับ "ทางเดียวการเปลี่ยนแปลงโดยไม่ต้องประตูกลเป็น" โดยใช้บันทึกต่อเนื่องแบบโมดูโลนายกพีนั่นคือให้เป็นรากดั้งเดิมแบบโมดูโลและกำหนดP จากนั้นคือการเปลี่ยนแปลงของจำนวนเต็มระหว่างถึงและโดยทั่วไปจะถือว่าเป็นทางเดียว สำหรับส่วน "ไม่มีกับดัก" ฉันคิดว่าคุณจำเป็นต้องกำหนดสิ่งที่หมายถึง แต่เท่าที่ฉันรู้เราไม่มีวิธีตั้งค่าสิ่งต่าง ๆ เพื่อเปิดใช้งานการผกผัน (ถ้าเราทำเช่นนั้นมันจะมีแอปพลิเคชั่นดีๆ (บวก) ทุกประเภทในการเข้ารหัส!)$p$$g$$p$$\pi(x) = g^x\!\mod p$$\pi$$1$$p-1$