ความซับซ้อนของเวลาของอัลกอรึทึมของ Bellman-Held-Karp สำหรับ TSP ใช้เวลา 2

คำถามที่ผ่านมากล่าวถึงขั้นตอนวิธีการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกตอนนี้คลาสสิกสำหรับ TSP เนื่องจากอิสระเพื่อยามและถือคาร์พ อัลกอริทึมเป็นสากลรายงานให้ทำงานใน$O(2^n n^2)$เวลา อย่างไรก็ตามในฐานะที่เป็นหนึ่งในนักเรียนของฉันเมื่อเร็ว ๆ นี้ชี้ให้เห็นเวลาทำงานนี้อาจต้องใช้แบบจำลองการคำนวณที่ทรงพลังอย่างไม่มีเหตุผล

นี่คือคำอธิบายสั้น ๆ ของอัลกอริทึม การป้อนข้อมูลประกอบด้วยกำกับกราฟ$G=(V,E)$กับ$n$จุดและที่ไม่ใช่เชิงลบฟังก์ชั่นความยาว$\ell\colon E\to\mathbb{R}^+$ + สำหรับจุดยอด$s$และ$t$ใด ๆ และเซตย่อย$X$ของจุดยอดที่แยก$s$และ$t$ให้$L(s,X,t)$แสดงความยาวของเส้นทางแฮมิลโตเนียนที่สั้นที่สุดจาก$s$ถึง$t$ใน subgraph เหนี่ยวนำให้เกิด$G[X\cup\{s,t\}]$ ] อัลกอรึทึมของ Bellman-Held-Karp นั้นมีพื้นฐานมาจากการเกิดซ้ำดังต่อไปนี้ (หรือในฐานะนักเศรษฐศาสตร์และนักทฤษฎีควบคุมที่เรียกมันว่า "สมการของเบลแมน"):

สำหรับการใด ๆ จุดสุดยอดความยาวของการท่องเที่ยวที่ดีที่สุดในการเดินทางของพนักงานขายที่เป็นs) เนื่องจากพารามิเตอร์แรกเป็นค่าคงที่ในการเรียกซ้ำทั้งหมดมี\ Theta (2 ^ nn)ปัญหาย่อยที่แตกต่างกันและแต่ละปัญหาย่อยขึ้นอยู่กับnอื่น ๆมากที่สุด ดังนั้นขั้นตอนวิธีการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกวิ่งในO (2 ^ NN ^ 2)เวลา$s$$L(s,V\setminus\{s\}, s)$$s$$\Theta(2^n n)$$n$$O(2^n n^2)$

หรือไม่!

โมเดล RAM จำนวนเต็มมาตรฐานช่วยให้สามารถจัดการกับจำนวนเต็มด้วยบิต$O(\log n)$บิตได้ แต่อย่างน้อยสำหรับการคำนวณทางคณิตศาสตร์และการดำเนินการทางตรรกะ (ไม่เช่นนั้นอาจเกิดเรื่องประหลาดขึ้นได้) นี่เป็นเรื่องจริงหรือไม่ที่การเข้าถึงที่อยู่หน่วยความจำอีกต่อไปยังใช่หรือไม่ หากอัลกอริทึมใช้พื้นที่ superpolynomial มันสมเหตุสมผลหรือไม่ที่จะสมมติว่าการเข้าถึงหน่วยความจำต้องใช้เวลาคงที่เท่านั้น?

สำหรับอัลกอริทึม Bellman-Held-Karp โดยเฉพาะอัลกอริทึมจะต้องแปลงคำอธิบายของเซตย่อย$X$เป็นคำอธิบายของเซตย่อย$X\setminus\{v\}$สำหรับแต่ละ$v$เพื่อเข้าถึงตารางบันทึกช่วยจำ หากเซตย่อยแสดงด้วยจำนวนเต็มจำนวนเต็มเหล่านี้ต้องการบิต$n$ดังนั้นจึงไม่สามารถจัดการได้ในเวลาคงที่ หากพวกเขาไม่ได้เป็นตัวแทนจากจำนวนเต็มการแสดงของพวกเขาไม่สามารถใช้โดยตรงเป็นดัชนีลงในตารางการบันทึก

ดังนั้น: เวลาทำงานเชิงซีมโทติคจริงของอัลกอรึทึมของ Bellman-Held-Karp คืออะไร?

นี่เป็นคำตอบทางคณิตศาสตร์น้อยกว่าคำตอบทางปรัชญา แต่ฉันชอบคิดว่ารูปแบบ RAM ที่อนุญาตการจัดการจำนวนเต็มตลอดเวลาด้วยจำนวนบิต B จำนวนหนึ่งซึ่งไม่ทราบ แต่อย่างน้อยใหญ่ที่สุดเป็นโดยที่ S คือจำนวนพื้นที่ที่อัลกอริทึมต้องการ เพราะถ้าจำนวนเต็มไม่ใหญ่คุณจะจัดการหน่วยความจำของคุณได้อย่างไร สำหรับอัลกอริธึมเวลาและพื้นที่พหุนามก็เหมือนกับบิต O (log n) แต่สำหรับอัลกอริธึมพื้นที่เอ็กซ์โปเนนเชียลมันหลีกเลี่ยงปัญหา$\log_2 S$

แน่นอนถ้า S เกินจำนวนหน่วยความจำที่คุณมีจริงอัลกอริทึมของคุณจะไม่ทำงานเลย หรือมันจะทำงานโดยการเพจข้อมูลเข้าและออกจากหน่วยความจำและคุณควรใช้โมเดลลำดับชั้นของหน่วยความจำแทนรุ่น RAM

มีการสนทนาเกี่ยวกับปัญหานี้ในหนังสือเล่มล่าสุดโดย Fedor V. Fomin และ Dieter Kratsch " อัลกอริธึม Exponential Exact " ซึ่งพวกเขาระบุเวลาการทำงานในรูปแบบ RAM ราคาต่อหน่วยและรูปแบบ RAM ต้นทุนบันทึก ( - ระยะทางสูงสุด ระหว่างเมืองและถ้า ):$W$$f(n)=\mathcal{O}^{\ast}(g(n))$$f(n)=\mathcal{O}(g(n)poly(n))$

$\mathcal{O}^{\ast}(2^n)$และ (หมายเหตุ$2^n\log Wn^{\mathcal{O}(1)}$ ) ตามลำดับ$2^n\log Wn^{\mathcal{O}(1)}\notin\mathcal{O}^{\ast}(2^n)$