ความซับซ้อนของปัญหาเมทริกซ์

ปัญหาต่อไปนี้เพิ่งปรากฏในงานวิจัยของฉัน การไม่มีความเชี่ยวชาญในคำถามอัลกอริทึมฉันได้ Googled อย่างกว้างขวางในการค้นหาปัญหาที่เหมาะสมเพื่อลด ฉันไม่เห็นว่า 3SAT จะทำงานอย่างไรและแม้ว่า ZOE จะคล้ายกันในจิตวิญญาณ แต่การลดลงก็ไม่ชัดเจน ความเป็นไปได้อีกอย่างก็คือทฤษฎีอัตถิภาวนิยมของ reals ดูเหมือนจะไม่เป็นการแข่งขันมากนัก แต่ฉันอาจผิดไป

ปัญหา: $A$ และ $B$ เป็นทั้ง $n\times n$ เมทริกซ์เหนือสนามที่คุณชื่นชอบ เราคิดว่าชุดของค่า $A$ โดยพลการของถูกตั้งค่าเป็น 0 ในทำนองเดียวกันชุดของโดยพลการของ $B$ ถูกตั้งค่าเป็น 0 คำถาม: เราสามารถเติมดัชนีที่เหลือของ $A$ และ $B$ ที่ $AB = I_n$ หรือไม่?

ตัวอย่าง: , ]เป็นไปไม่ได้. $A = \begin{bmatrix} 0 & a_1 \\ a_2 & 0 \end{bmatrix}$ $B = \begin{bmatrix} b_1 & 0 \\ 0 & b_2 \end{bmatrix}$

ความซับซ้อนในการคำนวณของสิ่งนี้ (ใน $n$ ) คืออะไร?

คำแนะนำหรือความคิดใด ๆ ที่จะมองหาผลลัพธ์ที่คล้ายกันในวรรณคดีจะได้รับการชื่นชมอย่างมาก

แก้ไข (ลืมเกี่ยวกับโพสต์นี้อย่างสมบูรณ์): ในงานล่าสุดที่มีอยู่ใน arXiv (ถ้าใครสนใจแจ้งให้ฉันทราบ) เราได้แสดงให้เห็นแล้วว่าปัญหานั้นยากมากสำหรับฟิลด์ จำกัด ใด ๆ

cc.complexity-theory

— MB
แหล่งที่มา

หากฟิลด์พื้นฐานมีขนาดใหญ่พอปัญหาในการตรวจสอบว่าคุณสามารถทำให้

กลับด้านลดการทดสอบอัตลักษณ์พหุนามได้หรือไม่ เพียงสังเกตว่าดีเทอร์มีแนนต์ของ

เป็นพหุนามในค่าของรายการที่หายไป

A B

$AB$

A B

$AB$

— Andrew Morgan

นอกจากนี้กรณีที่เรา จำกัด รายการของ

และ

ให้เป็นศูนย์และลักษณะของสนามมีขนาดใหญ่กว่า

ลดการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบของสองฝ่าย คุณสามารถจินตนาการการเลือกสำหรับแต่ละดัชนี

ดัชนีอื่น

เพื่อให้คุณตั้ง

และรายการที่เหลือเป็นศูนย์ (การนำสิ่งที่มากกว่านี้มาทำร้ายเท่านั้น) จากนั้นเงื่อนไข

สามารถแสดงเป็นกราฟสองส่วนที่มีดัชนี

A

$A$

B

$B$

n

$n$

i

$i$

k_{i}

$k_i$

A_{i, k_{i}} = B_{k_{i}, i} = 1

$A_{i,k_i} = B_{k_i,i} = 1$

A B = I_{n}

$AB = I_n$

i

$i$ ที่ด้านซ้ายของทางเลือก

ด้านขวาและขอบ

คู่ที่เราสามารถตั้งค่า

และ

ผม

k_{i}

$k_i$

(i, k_{i})

$(i,k_i)$

A_{i, k_{i}}

$A_{i,k_i}$

B_{k_{i}, i}

$B_{k_i,i}$

— Andrew Morgan

@MB: นอกจากนี้โปรดทราบว่าในขณะที่ตรวจสอบว่า

สามารถทำให้ invertible เหมือนกับการตรวจสอบว่าทั้ง

และ

สามารถแยกกันทำสลับกลับกันได้หรือไม่ตรวจสอบว่า

สามารถทำให้ invertible ไม่เหมือนกับการตรวจสอบหรือไม่

สามารถทำบัตรประจำตัว สำหรับการตรวจสอบว่า

(resp.

) สามารถทำให้กลับด้านได้หรือไม่คุณพูดว่า "สามารถทำได้อย่างมีประสิทธิภาพ" แต่ในการตั้งค่าของคุณนี่เทียบเท่ากับการตรวจสอบการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบระหว่างการสนับสนุนของ

(resp.

A B

$AB$

A

$A$

B

$B$

A B

$AB$

A B

$AB$

A

$A$

B

$B$

A

$A$

B

$B$ ) (ปัญหาเดียวกัน แต่การตั้งค่าที่แตกต่างกันเล็กน้อยจากความคิดเห็นที่สองของ Andrew Morgan)

— Joshua Grochow

กรณีพิเศษบางอย่างของปัญหานี้ดูเหมือนว่าจะอยู่ใน PPAD เช่นปัญหาความเป็น Linear Complementarity: kintali.wordpress.com/2009/08/04/linear-complementarity-prob‌ lem สิ่งนี้จะแสดงให้เห็นว่าการหาทางออกนั้นยาก

— domotorp

ในกรณีที่ผู้อื่นยังไม่ได้คิดออกมานี้มีตัวเลือก

(เหนือฟิลด์ใดก็ได้) ที่

แต่การทดสอบการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบล้มเหลว คือไม่มีการเปลี่ยนแปลงเมทริกซ์

เพื่อให้

ได้รับการสนับสนุนในการสนับสนุนของและ

ได้รับการสนับสนุนในการสนับสนุนของB

ตัวเลือกถูกกำหนดโดย

และ

A, B

$A,B$

A B = I

$AB = I$

P

$P$

P

$P$

A

$A$

P^{- 1} = P^{⊺}

$P^{-1}=P^{\intercal}$

B

$B$

A = [\begin{matrix} 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 \end{matrix}]

$A=\begin{bmatrix}1&-1&0\\1&0&1\\1&-1&1\end{bmatrix}$

]

B = [\begin{matrix} 1 & 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 1 \\ - 1 & 0 & 1 \end{matrix}]

$B=\begin{bmatrix}1&1&-1\\0&1&-1\\-1&0&1\end{bmatrix}$

— Andrew Morgan

ดีที่นี่เป็นที่ไม่น่ากลัวที่ถูกผูกไว้บนเหนือ : หรือสมมติว่า Riemann สมมุติฐาน, Mนี่เป็นเพราะสำหรับรูปแบบของศูนย์สำหรับตรวจสอบว่าใครสามารถทำให้คือการตรวจสอบว่าระบบที่แน่นอนของสมการพหุนามจำนวนเต็มมีวิธีแก้ปัญหาในหรือไม่และสามารถทำได้ในส่วนบน ขอบเขตโดย Koiran $\mathbb{C}$ $\mathsf{PSPACE}$ $\mathsf{AM}$ $A,B$ $AB=I_n$ $n^2$ $\mathbb{C}$

อีกวิธีคือพยายามใช้ประโยชน์จากข้อเท็จจริงที่ว่านี่คือความจริงแล้วเป็นระบบของสมการbilinear การแก้สมการ bilinear เทียบเท่ากับการหาคำตอบ "อันดับ 1" กับสมการเชิงเส้น ฉันพยายามที่จะตรวจสอบว่ามีขอบเขตที่ดีกว่าสำหรับการแก้ปัญหาระบบ bilinear ทั่วไปหรือไม่ แต่โชคไม่ดี อาจเป็นไปได้ว่าเราสามารถยกระดับโครงสร้างเฉพาะของสมการ bilinear เหล่านี้เพื่อให้ได้สิ่งที่ดีกว่าที่รู้จักกันโดยทั่วไป ...

— Joshua Grochow
แหล่งที่มา

PSPACE ไม่ติดตามปัญหาที่เกิดขึ้นใน NP หรือไม่

— MB

@MB: เหนือขอบเขต จำกัด ปัญหาชัดเจนใน NP (เพียงแสดงการตั้งค่าของตัวแปร) ซึ่งเป็นขอบเขตบนที่ดีกว่า AM แม้ เมื่ออินพุตเป็นพหุนามจำนวนเต็ม แต่คุณขอวิธีแก้ปัญหาในจำนวนเชิงซ้อนเมื่อมีวิธีแก้ปัญหาก็ไม่เห็นได้ชัดเลยว่าคุณสามารถเขียนมันลงในหน่วยความจำ จำกัด จำนวน จำกัด ขอบเขตพหุนามเพียงอย่างเดียว

— Joshua Grochow