มีปัญหาแบบสมบูรณ์แบบ NP ที่แก้ปัญหาได้หรือไม่?

จะมีปัญหาใด ๆ ที่สมบูรณ์ NP ไม่มีเซตอนันต์ของกรณีดังกล่าวว่าสมาชิกในสามารถตัดสินใจในเวลาพหุนามและสำหรับทุก ,จะสามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนาม? (สมมติว่า )ไวx ∈ ไวx P ≠ N $\Phi$$\Phi$$x \in \Phi$$x$$P \neq NP$

ดูคำตอบของ Josh Grochow สำหรับชุดเต็มเวลาของโพลีภาษา NP ที่สมบูรณ์พร้อมด้วยสตริงจำนวนมากที่ไม่รวมอยู่ในชุด ตามที่คำตอบว่าภายใต้สมมติฐานการเข้ารหัสลับบางธรรมชาติสำหรับทุกปัญหาร่วม NP-สมบูรณ์มีเซตอนันต์กรณีดังกล่าวว่าสมาชิกในΦเป็นเวลาพหุนามและปัญหาการตัดสินใจที่ถูก จำกัด ให้Φเป็นเล็กน้อย (คำตอบเสมอไม่ได้) .$\Phi$$\Phi$$\Phi$

สิ่งนี้สามารถทำให้เป็นทางการได้โดยการระบุว่าไม่มีชุด co-NP-complete เป็น P-ภูมิคุ้มกัน มันเป็นที่รู้จักกันอีกครั้ง (ภายใต้สมมติฐานการเข้ารหัสลับ) ว่าไม่มีชุดสมบูรณ์ NP เป็น P-ภูมิคุ้มกัน ดังนั้นมีอีกเซตอนันต์ดังกล่าวว่าสมาชิกในΦ 'เป็นพหุนามทดสอบเวลาและปัญหาการตัดสินใจที่ถูก จำกัด ให้Φ 'มักจะมีคำตอบที่ใช่ ดูเช่น Glasser et al, "คุณสมบัติของ NP-สมบูรณ์ชุด" SICOMP 2006. ดอย: 10.1137 / S009753970444421X$\Phi'$$\Phi'$$\Phi'$

การสังเกตครั้งแรกคือการมีสิ่งที่คุณถามอย่างแน่นอนจะเป็นหลักฐานว่าตามที่บ่งบอกว่าชุดของทุกกรณีไม่สามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนาม$P \neq NP$

อย่างไรก็ตามและฉันคิดว่านั่นคือสิ่งที่คุณหมายถึงเราสามารถเล่นกับสิ่งที่เราหมายถึงโดย "แก้ไขในเวลาพหุนาม" ถ้าเราหมายถึงเซตย่อยทั้งหมดที่ไม่มีที่สิ้นสุดของอินสแตนซ์ที่เป็นสมาชิกในPคือN P-สมบูรณ์ดังนั้นคำตอบคือไม่โดยทฤษฎีบทของ Mahaney ( http://blog.computationalcomplexity.org/2007/06/sparse-sets-tribute) -to-mahaney.html ) ทฤษฎีบทนี้ระบุว่าไม่มีปัญหา NP-สมบูรณ์สามารถจะเบาบางเว้นแต่P = N P ตอนนี้รับเซตย่อยของอินสแตนซ์{ 0 i ∣ i ∈ N }เรามีเซตย่อยกระจัดกระจายไม่สิ้นสุดของอินสแตนซ์ที่ทดสอบการเป็นสมาชิกอยู่ใน$\phi$$P$$NP$$P = NP$$\{0^i \mid i \in \mathbb{N}\}$ที่ไม่สามารถเป็น N P ได้สมบูรณ์ยกเว้น P = N Pโดยทฤษฎีบทของ Mahaney$P$$NP$$P = NP$