ความถูกต้องของการยกกำลังในการลดเวลาพหุนาม

ฉันถามคำถามนี้เมื่อ 10 วันก่อนที่ cs.stackexchange ที่นี่แต่ฉันไม่มีคำตอบใด ๆ

ในกระดาษที่มีชื่อเสียงมาก (ในชุมชนเครือข่าย), Wang & Crowcroft นำเสนอบางส่วนของความไม่สมบูรณ์ของการคำนวณเส้นทางภายใต้ข้อ จำกัด เพิ่มเติม / การคูณหลายอย่าง ปัญหาแรกคือต่อไปนี้:$\mathsf{NP}$

ให้กราฟกำกับและเมตริกน้ำหนักสองw 1และw 2เหนือขอบ, กำหนด, สำหรับเส้นทางP , w ฉัน ( P ) = ∑ a ∈ P w ฉัน ( a ) ( i = 1 , 2 ) กำหนดสองโหนดsและtปัญหาคือหาเส้นทางPจากsถึงt st $G=(V,A)$$w_1$$w_2$$P$$w_i(P)=\sum_{a\in P}w_i(a)$$i=1,2$$s$$t$$P$$s$$t$โดยที่ W ฉันจะได้รับตัวเลขบวก (ตัวอย่าง: ข้อ จำกัด การหน่วงเวลาและค่าใช้จ่ายในเครือข่าย)$w_i(P)\leq W_i$$W_i$

ผู้เขียนพิสูจน์ว่าปัญหานี้คือสมบูรณ์โดยการลดพหุนามจาก PARTITION$\mathsf{NP}$

จากนั้นพวกเขานำเสนอปัญหาเดียวกันยกเว้นว่าตัวชี้วัดที่มีการคูณคือ ) เพื่อพิสูจน์รุ่นคูณเป็นN Pสมบูรณ์พวกเขาให้ลดลง "พหุนาม" จากรุ่นสารเติมแต่งเพียงโดยการวางW ' ฉัน ( ) = อีW ฉัน ( )และW ' ฉัน = อีWฉัน$w'_i(P)=\prod_{a\in P}w'_i(a)$$\mathsf{NP}$$w'_i(a)=e^{w_i(a)}$$W'_i=e^{W_i}$

ฉันงงมากกับการลดลงนี้ เนื่องจากและw ′ ฉัน ( a )เป็นส่วนหนึ่งของอินพุต (ในไบนารีฉันเดา) จากนั้นจึง| w ′ i ( a ) | และ| W ′ i | ไม่ใช่พหุนามใน| W ฉัน ( ) | และ| W ฉัน| . ดังนั้นการลดไม่ใช่พหุนาม$W'_i$$w'_i(a)$$|w'_i(a)|$$|W'_i|$$|w_i(a)|$$|W_i|$

ฉันขาดสิ่งที่น่ารำคาญหรือมีข้อบกพร่องในการพิสูจน์หรือไม่? ข้อสงสัยของฉันเกี่ยวกับความถูกต้องของการพิสูจน์แม้ว่าผลลัพธ์จะเป็นจริงอย่างชัดเจน

เอกสารอ้างอิง: Zheng Wang, Jon Crowcroft คุณภาพการให้บริการเส้นทางเพื่อสนับสนุนการประยุกต์ใช้งานมัลติมีเดีย วารสาร IEEE ในบางพื้นที่ด้านการสื่อสาร 14 (7): 1228-1234 (1996)

หลักฐานตามที่ปรากฏในเอกสารไม่ได้ข้อสรุป

อย่างไรก็ตามผลลัพธ์ที่ระบุนั้นถูกต้อง มันสามารถเกิดขึ้นได้ง่าย ๆ โดยการเปลี่ยนการลดลงเล็กน้อยและใช้ SUBSET PRODUCT แทน SUBSET SUM

ลิงค์ที่มีประโยชน์สำหรับปัญหาผลิตภัณฑ์ย่อย:
/cs/7907/is-the-subset-product-problem-np-complete