ตัวอย่างพยานที่มีความยาวลอการิทึมตรวจสอบได้ง่ายกว่าการค้นหา

สังเกตได้ง่ายคือว่าถ้าเป็นปัญหาคือ decidable โดยโปรแกรม nondeterministic พหุนามโดยใช้เวลาบิต nondeterministic (เช่นพยานทั้งหมดเป็นลอการิทึมยาว) แล้ว{P}O ( บันทึกn ) A ∈ $A$$O(\log n)$$A \in \mathsf{P}$

ถ้ามีใครถามคำถาม"มันง่ายกว่าที่จะพิสูจน์พยานมากกว่าจะหาใคร?" สำหรับปัญหาดังกล่าวและเราคิดว่าพหุนามวิ่งเท่ากันทุกครั้งดังนั้นคำตอบคือไม่เพราะเราสามารถหาพยานดังกล่าวในเวลาพหุนามโดยการค้นหาพยานที่มีศักยภาพ

แต่ถ้าเราพิจารณาความแตกต่างที่ละเอียดระหว่างเวลาวิ่งของพหุนาม ฉันสงสัยว่ามีตัวอย่างที่เป็นรูปธรรมของปัญหาธรรมชาติในที่มีพยานยาวลอการิทึมที่ง่ายต่อการตรวจสอบมากกว่าที่จะหาที่ "ง่าย" หมายถึงเวลาพหุนามที่เล็กลง$\mathsf{P}$

ตัวอย่างเช่นอัลกอริทึมที่รู้จักกันสำหรับการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบในกราฟใช้เวลาพหุนาม แต่มากกว่าเวลาบนกราฟที่มีโหนดแต่เมื่อได้รับชุดของโหนดn / 2คู่ (พยาน) จึงง่ายต่อการตรวจสอบในเวลาO ( n )ว่าเป็นการจับคู่ อย่างไรก็ตามการจับคู่นั้นต้องการบิตที่Ω ( n )ในการเข้ารหัส$O(n)$$n$$n/2$$O(n)$$\Omega(n)$

มีปัญหาตามธรรมชาติบางอย่างที่ประสบความสำเร็จอย่างรวดเร็ว (ชัดเจน) ในการตรวจสอบกับการค้นพบซึ่งพยานมีความยาวลอการิทึมหรือไม่?

พิจารณาปัญหาการตัดสินใจซึ่งตัดสินใจว่าการป้อนข้อมูลแบบไบนารี่ที่ได้รับของความยาวnนั้นเป็นแบบไม่ใช่หรือไม่$x$$n$

มีความซับซ้อนในการสื่อสารมาตรฐานที่พิสูจน์ได้ว่าเทป TM หนึ่งต้องใช้เวลาอย่างน้อยในการแก้ปัญหานี้$O(n^2)$

บนมืออื่น ๆ ที่เรายังสามารถแก้ปัญหานี้โดยใช้อัลกอริทึม nondeterministic กับพยานความยาวผม : อัลกอริทึมยอมรับเมื่อฉัน TH บิตจากจุดเริ่มต้นของxแตกต่างจากฉันบิต TH จากปลายx การระบุบิตที่iจากจุดเริ่มต้นหรือจุดสิ้นสุดของความยาวn bitstring สามารถทำได้ในเวลาO ( n log n )ในเทป TM เดียว$\log(n)$$i$$i$$x$$i$$x$$i$$n$$O(n \log n)$