จำนวน DFAs ขั้นต่ำที่มากที่สุด

Letเป็นตัวอักษรขนาดและพิจารณา DFAs น้อยที่สุดที่มีขนาดเป็นที่สิ้นสุดโดยที่มากที่สุดเมตรให้แทนจำนวน DFA ขั้นต่ำที่แตกต่างกันดังกล่าว $\Sigma$ $2$ $m$ $f(m)$

เราสามารถหาสูตรปิดสำหรับหรือไม่? $f(m)$

พิจารณาว่าสำหรับฟังก์ชั่นการเปลี่ยนแปลงของ DFA ที่มีขนาดมากที่สุดคือกราฟ เนื่องจากระดับโหนดมีขอบเขตโดยสำหรับแต่ละโหนดมีความเป็นไปได้ของของคู่ของส่วนโค้ง (ตามที่แนะนำในความคิดเห็น) ในกราฟนี้มีที่มากที่สุดทางเลือกที่เป็นไปได้ของรัฐเริ่มต้นและที่มากที่สุดทางเลือกที่เป็นไปได้ของชุดสุดท้ายรัฐ ดังนั้นจำนวนสูงสุดของ DFAs ขนาดที่มากที่สุดเป็น1} $|\Sigma|=2$ $m$ $2$ $m^2$ $m$ $2^m$ $m$ $f(m) \leq m^{2m}\cdot m\cdot2^m = 2^m\cdot m^{2m+1}$

เราสามารถพูดคุยกับตัวอักษรโดยพลการ $\Sigma$ : ขอบเขตกลายเป็น $f(m) \le 2^m\cdot m^{|\Sigma|m+1}$ .

แต่เรา จำกัด ขอบเขต DFA โดยพลการที่นี่และฉันสนใจที่จะ จำกัด จำนวน DFA ขั้นต่ำ ดังนั้นดูเหมือนว่าข้อ จำกัด นี้จะเข้มงวดขึ้น ... มีใครประมาณที่ดีกว่านี้ไหม

ฉันจะขอขอบคุณถ้าเป็นไปได้เอกสารบางอย่างที่เกี่ยวข้องกับปัญหานี้หรือหลักฐาน / ตัวอย่างเคาน์เตอร์

— Luz
แหล่งที่มา

ฉันไม่คิดว่าขอบเขตบนของคุณถูกต้อง ดูเหมือนว่าควรจะเป็น

f (m) \leq m \times 2^{m} \times m^{2 m}

$f(m) \le m \times 2^m \times m^{2m}$ , ค่อนข้างมากกว่า

f (m) \leq m \times 2^{m} \times 2^{2 m}

$f(m) \le m \times 2^m \times 2^{2m}$ . สำหรับแต่ละโหนดให้พิจารณาสองอาร์คที่นำออกมาจากโหนดนั้น มี

m

$m$ ความเป็นไปได้สำหรับที่ส่วนโค้งแรกไปและ

m

$m$ ความเป็นไปได้สำหรับส่วนโค้งที่สองไปดังนั้น

m^{2}

$m^2$ ความเป็นไปได้โดยรวม มี

m

$m$ โหนดดังนั้นเราจึงได้รับ

(m^{2})^{m} = m^{2 m}

$(m^2)^m = m^{2m}$ ความเป็นไปได้สำหรับชุดของส่วนโค้ง ลักษณะทั่วไปจะเป็น

f (m) \leq m \times 2^{m} \times m^{| Σ | m}

$f(m) \le m \times 2^m \times m^{|\Sigma| m}$ .

— DW

นี่คือข้อมูลอ้างอิงที่อาจมีความเกี่ยวข้อง: "ในจำนวนภาษาที่แตกต่างที่ได้รับการยอมรับโดย AUTOMATA FINITE ที่มี n STATES" - citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.8.2838

— Michael Wehar

ขอขอบคุณทั้งสองท่านที่แก้ไขข้อผิดพลาดของฉันและให้การอ้างอิงนี้แก่ฉันซึ่งเป็นสิ่งที่เกี่ยวข้อง

— Luz

คำตอบ:

ตามที่ Ishigami Y. Tani S. (1993) มิติ VC ของขอบเขต จำกัด ของออโตมาตะกับ n รัฐ, http://link.springer.com/chapter/10.1007/3-540-57370-4_58 , มิติ VC ของ คลาสแนวคิดของ $n$ รัฐ DFAs มากกว่าตัวอักษรขนาด $k$ คือ

d = d (n, k) = (k - 1 + โอ (1)) n {เข้าสู่ระบบ}_{2} n .

$d=d(n,k) := (k-1+o(1))n\log_2 n.$ มันติดตามว่ามีอย่างน้อย

2^{d}

$2^d$ แตกต่าง

n

$n$ - ออโตมาตาบน

k

$k$ - ตัวอักษรตัวอักษร ขอบเขตด้านบนของตัวเลขออโตมาตะดังต่อไปนี้จากอาร์กิวเมนต์การนับง่าย ๆ (ระบุในกระดาษ) และเป็นอย่างมาก

2^{d}

$2^d$ .

— Aryeh
แหล่งที่มา

ขอบคุณ ฉันเข้าใจจากคำตอบของคุณว่ามี

m^{(| Σ | - 1 + o (1)) m}

$m^{(|\Sigma| - 1 + o(1)) m}$

m

$m$ -states DFAs (อย่างน้อยและมากที่สุด) แต่ฉันสนใจที่จะนับ DFA ขั้นต่ำ ดังนั้นขอบเขตบนของคุณไม่ได้ขัดแย้งกับคำตอบของฉันใช่ไหม?

— Luz

ฉันคิดว่านี่นับ DFA ขั้นต่ำด้วยเช่นกันเนื่องจาก VC-Dimage เป็นตัวแทนที่ไม่ขึ้นกับใครจริง ๆ แล้วมันนับภาษาที่แตกต่างกัน- ซึ่งตรงกับ DFAs น้อยที่สุด

— Aryeh

โอ้ :( จากนั้นขอบเขตของคุณขัดแย้งกับฉัน ... เนื่องจากของฉันมีตัวส่วนใหญ่

(m - 1)!

$(m-1)!$ ซึ่งทำให้คุณอยู่ต่ำกว่าคุณมาก ...

— Luz

ฉันไม่เห็นความขัดแย้ง - ตัวส่วนใหญ่

(m - 1)!

$(m-1)!$ ยังคงล้นมือโดย

m^{m}

$m^m$ ในตัวเศษ

— Aryeh

ในความเป็นจริงถ้าคุณดูหลักฐานของ Thm 3.2 ในบทความที่ฉันเชื่อมโยงคุณจะเห็นการแสดงออกที่แน่นอนในตัวส่วน

— Aryeh

(NB: ขอบเขตบนที่ให้ในคำตอบที่ยอมรับนั้นดีกว่าหรือเท่ากับที่ให้ไว้ที่นี่)

ผูกพันบนจะถูกนำเสนอในบทความนี้ได้รับในหนึ่งในความคิดเห็นก่อนหน้านี้: “ ในจำนวนภาษาที่แตกต่างกันได้รับการยอมรับโดยออโต จำกัด กับ n รัฐ ” (2002, M. Domaratzki, D. Kisman เจ Shallit)

ในบทความนี้:

$f_{|\Sigma|}(m)$ ฟังก์ชั่นให้จำนวน DFAs ขั้นต่ำสุดที่ไม่ใช่แบบไม่ผันแปรด้วย $m$ - รัฐมากกว่า ${|\Sigma|}$ -letter อักษร ,
$g_{|\Sigma|}(m)$ ฟังก์ชั่นให้จำนวนภาษาที่แตกต่างที่ยอมรับโดย DFAs ด้วย $m$ รัฐมากกว่า ${|\Sigma|}$ -letter อักษร

เรามีความสนใจในขอบเขตบนสำหรับ $g_{|\Sigma|}(m)$ ฟังก์ชั่นเนื่องจากคำถามของฉันถามหาขอบเขตบนจำนวน DFA ขั้นต่ำที่มากที่สุด $m$ รัฐ (และไม่แน่นอน $m$ )

สิ่งที่ฉันเข้าใจจากหน้า $6$ ด้านล่างทฤษฎีบท $8$ คือว่า $g_{|\Sigma|}(m) \leq \frac{2^m\cdot m^{|\Sigma|m}}{(m-1)!}$ ซึ่งเป็นขอบเขตที่ดีกว่าคำถามของฉัน (เช่น $2^m\cdot m^{|\Sigma|m+1}$ ) ส่วนนี้ตอบคำถามของฉัน

แต่บทความอ้างว่าขอบเขตบนนี้เล็กน้อยและสามารถปรับปรุงได้ อย่างไรก็ตามการปรับปรุงเกี่ยวข้องเฉพาะกับ $f_{|\Sigma|}(m)$ (เท่าที่ฉันเข้าใจ)

— Luz
แหล่งที่มา